8. (2024 • 通州区月考) 如图,直线 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$,$OE$ 平分$∠ BOD,OE⊥ OF$,若$∠ AOC=$$60°$,则$∠ BOF$ 的度数是（）

A.$50°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$55°$

8.B

9. 如图,点A在射线OX上,$OA=2\ \mathrm{cm}$,如果OA绕点O按逆时针方向旋转$30°$到$OA'$,那么点$A'$的位置可以用$(2,30°)$表示.若$OB=3\ \mathrm{cm}$,且$OA'⊥ OB$,则点B的位置可以表示为.

9.$(3,120°)$

10. 如图，$OA ⊥ OB$，垂足为$O$，射线$OC$在$∠ AOB$的内部，$∠ AOC ＜ 30°$，若$∠ BOD = ∠ AOC$，$OE$平分$∠ AOD$，设$∠ EOD = m°$，则$∠ COB =$$°$.(用含$m$的代数式表示)

10.$2m$或$(180-2m)$

11. 如图,直线 A B, C D 相交于点 $O, O M ⊥ A B$.
(1) 若 $∠ 1=40°, ∠ 2=30°$, 求 $∠ N O D$ 的度数;
(2) 如果 $O N ⊥ C D$, 那么 $∠ 1=∠ 2$ 吗? 请说明理由.

11.解:(1)因为$OM⊥AB$,所以$∠AOM=90°$.
因为$∠1=40°$,
所以$∠AOC=∠AOM-∠1=90°-40°=50°$,
所以$∠NOD=180°-∠AOC-∠2=180°-50°-30°=100°$.
(2)$∠1=∠2$.理由如下:
因为$ON⊥CD$,所以$∠CON=90°$,
所以$∠COA+∠2=90°$.
因为$OM⊥AB$,所以$∠AOM=90°$,
所以$∠COA+∠1=90°$,所以$∠1=∠2$.

12. 如图,直线 $EF,CD$ 相交于点 $O$,$OA⊥ OB$,且 $OC$ 平分$∠ AOF$.
(1)若$∠ AOE=40^{\circ }$,求$∠ BOD$的度数;
(2)若$∠ AOE=α$,求$∠ BOD$的度数;(用含$α$的代数式表示)
(3)从(1)(2)的结果中能得出$∠ AOE$和$∠ BOD$有何关系?

12.解:(1)因为$∠AOE+∠AOF=180°$,$∠AOE=40°$,
所以$∠AOF=140°$.
又因为OC平分$∠AOF$,所以$∠FOC=\frac{1}{2}∠AOF=70°$,
所以$∠EOD=∠FOC=70°$.
因为$OA⊥OB$,所以$∠AOB=90°$,
所以$∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-40°=50°$,
所以$∠BOD=∠EOD-∠BOE=70°-50°=20°$.
(2)因为$∠AOE+∠AOF=180°$,$∠AOE=α$,
所以$∠AOF=180°-α$.
又因为OC平分$∠AOF$,
所以$∠FOC=\frac{1}{2}∠AOF=90°-\frac{1}{2}α$,
所以$∠EOD=∠FOC=90°-\frac{1}{2}α$.
因为$OA⊥OB$,所以$∠AOB=90°$,
所以$∠BOE=∠AOB-∠AOE=90°-α$,
所以$∠BOD=∠EOD-∠BOE=90°-\frac{1}{2}α-(90°-α)=\frac{1}{2}α$.
(3)从(1)(2)的结果中能得出$∠AOE=2∠BOD$.