23.（10分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点P，Q分别在边BC，CD上，AP⊥BQ于O.
（1）求证：$AP=BQ$；
（2）如图2，以OB为边作正方形OBMN，连接DN，若$∠BAP=30°$，求DN的长；
（3）在（2）的条件下，将正方形OBMN绕点B旋转至图3的位置，连接AM，CO，求$AM^2+CO^2$的值.

（1）证明见上述解析；
（2）$\boldsymbol{DN=\sqrt{6}}$；
（3）$\boldsymbol{AM^2+CO^2=10}$。

（1）证明$AP=BQ$
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=BC$，$∠ ABP=∠ BCQ=90°$，
∴ $∠ BAP + ∠ APB=90°$。
又∵ $AP⊥ BQ$，即$∠ BOP=90°$，
∴ $∠ CBQ + ∠ APB=90°$，
∴ $∠ BAP=∠ CBQ$。
在$△ ABP$和$△ BCQ$中：
$\begin{cases}∠ BAP=∠ CBQ \\AB=BC \\∠ ABP=∠ BCQ\end{cases}$
∴ $△ ABP≌△ BCQ(\mathrm{ASA})$，
∴ $AP=BQ$。
---
（2）求$DN$的长
以点$B$为原点，$BC$为$x$轴正方向，$BA$为$y$轴正方向建立平面直角坐标系：
由正方形边长为2，得$A(0,2)$，$C(2,0)$，$D(2,2)$。
已知$∠ BAP=30°$，$AP⊥ BQ$，在$\mathrm{Rt}△ ABO$中：
$BO=AB·\sin30°=2×\frac{1}{2}=1$，
可得$O$点坐标为$(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
∵ 四边形$OBMN$是边长为1的正方形，将向量$\overrightarrow{BO}$顺时针旋转$90°$得到向量$\overrightarrow{BM}$，得$M(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$，
由正方形顶点坐标性质，得$N$点坐标为$O+\overrightarrow{BM}=(\frac{\sqrt{3}+1}{2},\frac{1-\sqrt{3}}{2})$。
计算$DN$的长度：
$\begin{aligned}DN^2&=(2-\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2+(2-\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2\\&=(\frac{3-\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3+\sqrt{3}}{2})^2\\&=\frac{9-6\sqrt{3}+3+9+6\sqrt{3}+3}{4}=6\end{aligned}$
∴ $DN=\sqrt{6}$。
---
（3）求$AM^2+CO^2$的值
设正方形$OBMN$绕点$B$旋转后，$∠ OBC=α$，由$BO=1$得$O(\cosα,\sinα)$。
向量$\overrightarrow{BO}$顺时针旋转$90°$得到$\overrightarrow{BM}$，故$M(\sinα,-\cosα)$。
分别计算$AM^2$和$CO^2$：
$\begin{aligned}AM^2&=(\sinα-0)^2+(-\cosα-2)^2\\&=\sin^2α+\cos^2α+4\cosα+4=5+4\cosα\\CO^2&=(\cosα-2)^2+(\sinα-0)^2\\&=\cos^2α-4\cosα+4+\sin^2α=5-4\cosα\end{aligned}$
两式相加得：$AM^2+CO^2=5+4\cosα+5-4\cosα=10$。