1. 下列条件中,一定能作出唯一三角形的是
（）

A.已知两边
B.已知两角
C.已知两边一角
D.已知两角一边

1. D 解析:A,B选项都不能判定两个三角形全等,C选项不一定能作出唯一三角形,D选项已知两角一边能判定两个三角形全等.故选D.

2. (2026·扬州校级月考)如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是（）

A.ASA
B.SAS
C.AAS
D.SSS

2. A 解析:由题图可知,三角形有两角和它们的夹边是完整的,所以可以根据"ASA"画出.故选A.

3. 如图,四边形 $ABCD$ 中,$AB// CD,AB=CD,E,F$是对角线 $BD$ 上的两点,如果再添加一个条件,使$△ ABE≌△ CDF$,则添加的条件不能是
（）

A.$AB=CF$
B.$BE=FD$
C.$BF=DE$
D.$∠ 1=∠ 2$

3. A 解析:$\because AB// CD,\therefore ∠ ABD=∠ CDB$.又$\because AB=CD,BE=DF,\therefore △ ABE≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$,故B正确;$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$.又$\because AB=CD,BF=DE,\therefore BF-EF=DE-EF$,$\therefore BE=DF$,$\therefore △ ABE≌ △ CDF(\mathrm{SAS})$,故C正确;$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ABD=∠ CDB$.又$\because AB=CD$,$∠ 1=∠ 2$,$\therefore △ ABE≌ △ CDF(\mathrm{ASA})$,故D正确;添加$AB=CF$后,不能得出$△ ABE≌ △ CDF$.故选A.

4. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $∠ A=55°$,过点 $C$ 的直线与 $AB$ 交于点 $D$,且将 $△ ABC$ 的面积分成相等的两部分,则 $∠ CDA=$ （）

A.$30°$
B.$45°$
C.$70°$
D.$75°$

4. C 解析:$\because$过点C的直线与AB交于点D,且将$△ ABC$的面积分成相等的两部分,$\therefore AD=BD$,即D为AB的中点.$\because △ ABC$是直角三角形,$\therefore CD=AD$.$\because ∠ A=55°$,$\therefore ∠ ACD=55°$,$\therefore ∠ CDA=180°-55°-55°=70°$.故选C.

5. (2025 · 扬州期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $BD$ 平分 $∠ ABC,BC$ 的垂直平分线交 $BD$ 于点 $E$,连接 $CE$, 若 $∠ A=60°,∠ ACE=24°$, 则 $∠ ABE$ 的度数为（）

A.$24°$
B.$30°$
C.$32°$
D.$48°$

5. C 解析:$\because$点E在BC的垂直平分线上,$\therefore EB=EC$,$\therefore ∠ EBC=∠ ECB$.$\because BD$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.$\because ∠ ABC+∠ ACB+∠ A=180°$,$\therefore 2∠ ABE+∠ ABE+24°+60°=180°$,$\therefore ∠ ABE=32°$.故选C.

6. 如图,$△ ABC$中$BC$边上的高为$h_1$,$△ DEF$中$DE$边上的高为$h_2$,若$AC=EF$,则下列结论中正确的是（）


A.$h_1＜h_2$
B.$h_1＞h_2$
C.$h_1=h_2$
D.无法确定

6. C 解析:过点A作$AM⊥ BC$于点M,过点F作$FN⊥ DE$交DE的延长线于点N,如图所示,则$AM=h_1$,$FN=h_2$.$\because AM⊥ BC$,$FN⊥ DE$,$\therefore ∠ AMC=∠ FNE$.$\because ∠ FEN=∠ FDE+∠ DFE=35°+30°=65°$,$\therefore ∠ ACM=∠ FEN$.在$△ AMC$和$△ FNE$中,$\begin{cases} ∠ AMC=∠ FNE,\\ ∠ ACM=∠ FEN,\\ AC=FE, \end{cases}$$\therefore △ AMC≌ △ FNE(\mathrm{AAS})$,$\therefore AM=FN$,$\therefore h_1=h_2$.故选C.

7. 如图，$∠ AOB = 150°$，$OP$ 平分 $∠ AOB$，$PD ⊥ OB$ 于点 $D$，$PC // OB$ 交 $OA$ 于点 $C$，若 $PD = 3$，则$OC$ 的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

7. D 解析:$\because ∠ AOB=150°$,$PC// OB$交OA于点C,$\therefore ∠ PCO=30°$.过点P作$PE⊥ OA$于点E.$\because PD⊥ OB$,$OP$平分$∠ AOB$,$\therefore PE=PD=3$,$\therefore PC=2PE=6$.$\because ∠ AOP=∠ POD=75°$,$\therefore ∠ CPO=75°$,$\therefore ∠ AOP=∠ CPO$,$\therefore OC=PC=6$.故选D.

8. (2025·广州期中) 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°, ∠ A=20°$. 若某个三角形与 $△ ABC$ 能拼成一个等腰三角形(无重叠),则拼成的等腰三角形有（）

A.4种
B.5种
C.6种
D.7种

8. D 解析:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=20°$,则$∠ ABC=70°$.
(1)取一个$△ EFD$和$△ ABC$全等,其中$EF=AC$,$FD=BC$,$ED=AB$,$∠ F=∠ C=90°$,此时有两种拼图方法:①将EF与AC拼接在一起,如图①所示.$\because AB=ED$,$∠ ACB=∠ EFD=90°$,$\therefore$点B,C(F),D在一条直线上,$\therefore △ ABD$为等腰三角形,且$∠ B=∠ D=70°$,$∠ BAD=40°$.
②将DF与BC拼接在一起,如图②所示.$\because AB=DE$,$∠ ACB=∠ EFD=90°$,$\therefore$点A,C(F),E在一条直线上,$\therefore △ ABE$为等腰三角形.
(2)取一个$△ EFD$,使$AC=EF$,$∠ F=90°$,$∠ D=55°$,$∠ FED=35°$,将EF与AC拼接在一起,如图③所示.$\because ∠ ACB=∠ EFD=90°$,$\therefore$点B,C(F),D在一条直线上.此时$∠ BAD=∠ BAC+∠ FED=20°+35°=55°$,$\therefore ∠ BAD=∠ D=55°$,$\therefore △ ABD$为等腰三角形.
(3)取一个$△ EFD$,使$EF=BC$,$∠ F=90°$,$∠ D=80°$,$∠ FED=10°$,将EF与BC拼接在一起,如图④所示.$\because ∠ ACB=∠ EFD=90°$,$\therefore$点A,C(F),D在一条直线上.此时$∠ ABD=∠ ABC+∠ FED=70°+10°=80°$,$\therefore ∠ ABD=∠ D$,$\therefore △ ABD$为等腰三角形.
(4)取一个$△ EFD$,使$EF=AC$,$∠ F=90°$,$∠ D=40°$,$∠ FED=50°$,将EF与AC拼接在一起,如图⑤所示.$\because ∠ ACB=∠ EFD=90°$,$\therefore$点B,C(F),D在一条直线上.此时$∠ BAD=∠ BAC+∠ FED=20°+50°=70°$,$\therefore ∠ BAD=∠ ABC$,$\therefore △ ABD$为等腰三角形.
(5)取一个$△ EFD$,使$EF=AB$,$∠ EFD=110°$,$∠ D=45°$,$∠ FED=25°$,将EF与AB拼接在一起,如图⑥所示.$\because ∠ EFD=110°$,$∠ ABC=70°$,$\therefore ∠ EFD+∠ ABC=180°$,$\therefore$点C,B(F),D在一条直线上.此时$∠ CAD=∠ BAC+∠ FED=20°+25°=45°$,$\therefore ∠ CAD=∠ D$,$\therefore △ ACD$为等腰三角形.
(6)取一个$△ EFD$,使$EF=BC$,$∠ D=20°$,$∠ FED=110°$,$∠ EFD=50°$,将EF与BC拼接在一起,如图⑦所示.$\because ∠ FED=110°$,$∠ ABC=70°$,$\therefore ∠ FED+∠ ABC=180°$,$\therefore$点A,B(E),D在一条直线上,此时$∠ D=∠ A=20°$,$\therefore △ ACD$为等腰三角形.综上所述,拼成的等腰三角形有7种.故选D.

二、填空题(每小题4分,共32分)
9. (南通中考)如图,点B,F,C,E在一条直线上$,AB// ED,AC// FD$,要使$△ ABC≌△ DEF$,只需添加一个条件,则这个条件可以是.

9. $AB=DE$(答案不唯一) 解析:$\because AB// ED$,$AC// FD$,$\therefore ∠ B=∠ E$,$∠ ACB=∠ DFE$.已知两角对应相等,则添加$AB=DE$可用AAS判定$△ ABC≌ △ DEF$.

10. (绥化中考)已知等腰三角形的一个外角为$130°$，则它的顶角的度数为.

10. $50°$或$80°$ 解析:当等腰三角形的一个底角的外角为$130°$时,等腰三角形的底角是$50°$,它的顶角的度数为$180°-2×50°=80°$;当等腰三角形的顶角的外角为$130°$时,它的顶角的度数为$180°-130°=50°$,故答案为$50°$或$80°$.