11. 如图,在等边三角形$ABC$中,$BM$是$AC$边上的中线,$N$为$BC$的延长线上的一点,且$CN=$$CM$,则$∠ BMN$的度数是$°$.

11. 120 解析:$\because$等边$△ ABC$中,$BM$是$AC$边上的中线,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=60°$,$∠ CBM=\frac{1}{2}∠ ABC$,$\therefore ∠ CBM=30°$.$\because CN=CM$,$\therefore ∠ N=∠ CMN$.$\because ∠ N+∠ CMN=∠ ACB=60°$,$\therefore ∠ N=30°$.$\because ∠ CBM+∠ BMN+∠ N=180°$,$\therefore ∠ BMN=120°$.

12. (2024·新疆中考) 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,
$∠ C=90°,∠ A=30°,AB=8$. 若点 $D$ 在直线
$AB$ 上(不与点 $A,B$ 重合), 且 $∠ BCD=30°$, 则
$AD$ 的长为.

12. 6或12 解析:$\because ∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$AB=8$,$\therefore ∠ B=60°$,$BC=\frac{1}{2}AB=4$.①当点D在线段AB上时,如图①,$\because ∠ BCD=30°$,$∠ B=60°$,$\therefore ∠ BDC=90°$,$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=2$,$\therefore AD=AB-BD=6$;
②当点D在线段AB延长线上时,如图②,$\because ∠ BCD=30°$,$∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ D=∠ ABC-∠ BCD=30°=∠ BCD$,$\therefore BC=BD=4$,$\therefore AD=AB+BD=12$;
③当点D在线段BA延长线上时,如图③,此时$∠ BCD＞∠ ACB$,即$∠ BCD＞90°$,故不符合题意,舍去.
综上,$AD$的长为6或12.

13. 如图,在 $△ ABC$ 中,$E$ 是 $BC$ 上的一点,$EC = 2BE$,点 $D$ 是 $AC$ 的中点,设 $△ ABC$,$△ ADF$,$△ BEF$ 的面积分别为 $S_{△ ABC}$,$S_{△ ADF}$,$S_{△ BEF}$,且 $S_{△ ABC}=12$,则 $S_{△ ADF}-S_{△ BEF}=$.

13. 2 解析:观察题图可以发现,$S_{△ ADF}+S_{△ ABF}=S_{△ ABD}$,$S_{△ BEF}+S_{△ ABF}=S_{△ ABE}$,根据差不变原理,$S_{△ ADF}-S_{△ BEF}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$.$\because AD=\frac{1}{2}AC$,$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$.又$\because BE=\frac{1}{3}BC$,$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}$,$\therefore S_{△ ADF}-S_{△ BEF}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}-\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{6}S_{△ ABC}=\frac{1}{6}×12=2$.

14. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB=4,AD=6$.延长$BC$ 到点 $E$,使 $CE=2$,连接 $DE$,动点 $P$ 从点 $B$出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿 $BC-CD-DA$ 向终点 $A$ 运动,设点 $P$ 的运动时间为$t$ 秒,当 $△ ABP$ 和 $△ DCE$ 全等时, $t$ 的值为.

14. 1或7 解析:因为$AB=CD$,若$∠ ABP=∠ DCE=90°$,$BP=CE=2$,根据SAS证得$△ ABP≌ △ DCE$,由题意得$BP=2t=2$,所以$t=1$.因为$AB=CD$,若$∠ BAP=∠ DCE=90°$,$AP=CE=2$,根据SAS证得$△ BAP≌ △ DCE$,由题意得$AP=16-2t=2$,解得$t=7$.所以当$t$的值为1或7时,$△ ABP$和$△ DCE$全等.

15. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D,E是$△ ABC$内的两点,AE平分$∠ BAC$,$∠ D=∠ DBC=60°$,若$BD=6\ \mathrm{cm}$,$DE=4\ \mathrm{cm}$,则$BC$的长是cm.

15. 10 解析:如图,延长$DE$交$BC$于点$M$,延长$AE$交$BC$于点$N$.$\because AB=AC$,$AE$平分$∠ BAC$,$\therefore AN⊥ BC$,$BN=CN$.$\because ∠ DBC=∠ D=60°$,$\therefore △ BDM$为等边三角形,$\therefore BD=DM=BM=6\ \mathrm{cm}$.$\because DE=4\ \mathrm{cm}$,$\therefore EM=6-4=2(\mathrm{cm})$.$\because △ BDM$为等边三角形,$\therefore ∠ DMB=60°$.$\because AN⊥ BC$,$\therefore ∠ ENM=90°$,$\therefore ∠ NEM=30°$,$\therefore NM=\frac{1}{2}ME=1\ \mathrm{cm}$,$\therefore BN=6-1=5(\mathrm{cm})$,$\therefore BC=2BN=10\ \mathrm{cm}$.故答案为10.

16. 如图,边长为 6 的等边 $△ ABC,F$
[二维码忽略]
是边 $AC$ 的中点,点 $D$ 是线段 $BF$ 上的动点,连接 $AD$,在 $AD$ 的右侧作等边 $△ ADE$,连接 $CD,CE,EF$,则下列说法正确的是(填序号).
①$BF ⊥ AC$; ②$∠ DEC = ∠ DCE$; ③$AE = CD$;
④$△ ADE$的周长最小值为 9; ⑤当$△ AEF$ 周长最小时, $∠ AFE = 60°$; ⑥$∠ ACE$ 的大小随着点 $D$ 的移动而变化.

16. ①②③④ 解析:$\because △ ABC$是等边三角形,F是边$AC$的中点,$\therefore BF⊥ AC$.故①正确;$\because BF$是线段$AC$的垂直平分线,$\therefore AD=CD$.$\because △ ADE$是等边三角形,$\therefore AD=ED=AE$,$\therefore AE=ED=CD$.故③正确;$\therefore ∠ DEC=∠ DCE$.故②正确;$\because$点D在线段BF上,$\therefore$当$AD⊥ BF$,即点D与点F重合时,$AD$最小,即此时$△ ADE$的周长最小.$\because$等边$△ ABC$的边长为6,F是边$AC$的中点,$\therefore AD_{\mathrm{最小}}=AF=3$,$\therefore △ ADE$的周长的最小值为$AD+DE+AE=3AD=9$.故④正确;$\because △ ABC$,$△ ADE$都是等边三角形,$\therefore AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=60°$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$,$\therefore △ BAD≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ACE=∠ ABD=30°$.故⑥错误;$\because ∠ BCE=∠ BCA+∠ ACE=90°$,即点E在射线$CE$(射线$CE⊥ BC$)上运动.如图所示,作点A关于射线$CE$的对称点M,连接$ME$,$MC$,$\therefore AE=ME$,$\therefore △ AEF$的周长$=AF+AE+EF=AF+EM+EF$,$\therefore$当E,F,M三点共线,即点E与点$E'$重合时,$EF+EM$最小,即$△ AEF$的周长最小.$\because$点A与点M关于射线$CE$对称,$\therefore AC=MC$,$∠ ACE=∠ MCE=30°$,$\therefore ∠ ACM=60°$,$\therefore △ ACM$是等边三角形.又$\because F$是边$AC$的中点,$\therefore AF⊥ MF$,$\therefore ∠ AFE'=90°$.故⑤错误.$\therefore$正确的是①②③④.

三、解答题(共64分)
17. (8分)(2025·河北中考)如图,四边形ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 E,$AC=$$AD$,$∠ACB=∠ADB$,点 F 在 ED 上,$∠BAF=$$∠EAD.$
(1)求证:$△ ABC ≌ △ AFD$;
(2)若 $BE=FE$,求证:$AC ⊥ BD$.

17. (1)$\because ∠ BAF=∠ EAD$,$\therefore ∠ BAF-∠ CAF=∠ EAD-∠ CAF$,即$∠ BAC=∠ FAD$.又$\because AC=AD$,$∠ ACB=∠ ADB$,$\therefore △ ABC≌ △ AFD$.
(2)$\because △ ABC≌ △ AFD$,$\therefore AB=AF$.$\because BE=FE$,$\therefore$点A,E均在线段BF的垂直平分线上,$\therefore AE⊥ BF$,即$AC⊥ BD$.