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1. 已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（
A.当$AB=BC$时，$□ ABCD$是正方形
B.当$AC⊥ BD$时，$□ ABCD$是矩形
C.当$∠ ABC=90°$，$□ ABCD$是矩形
D.当$AC=BD$时，$□ ABCD$是正方形
C
）A.当$AB=BC$时，$□ ABCD$是正方形
B.当$AC⊥ BD$时，$□ ABCD$是矩形
C.当$∠ ABC=90°$，$□ ABCD$是矩形
D.当$AC=BD$时，$□ ABCD$是正方形
答案
1.C
解析
【分析】
解答本题首先要明确平行四边形基础上特殊平行四边形的判定规则：①邻边相等/对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②有一个内角为直角/对角线相等的平行四边形是矩形；③同时满足菱形和矩形特征的平行四边形才是正方形。解题时只需将每个选项的附加条件对应判定规则逐一验证，就能选出正确结论。
【解析】
我们结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析选项：
A选项：平行四边形ABCD中AB=BC，即一组邻边相等，符合菱形的判定条件，此时它是菱形，要成为正方形还需满足有一个内角为直角等附加条件，故A错误。
B选项：平行四边形中对角线AC⊥BD，符合菱形的判定条件，此时它是菱形，不是矩形，故B错误。
C选项：平行四边形中∠ABC=90°，即有一个内角为直角，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确。
D选项：平行四边形中AC=BD，即对角线相等，符合矩形的判定条件，此时它是矩形，要成为正方形还需满足邻边相等或对角线垂直等附加条件，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 矩形的判定 2. 菱形的判定 3. 正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分在平行四边形前提下，不同附加条件对应的特殊四边形类型，解题的关键是牢记各类特殊平行四边形的判定定理，避免混淆菱形、矩形、正方形的判定要求。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确平行四边形基础上特殊平行四边形的判定规则：①邻边相等/对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②有一个内角为直角/对角线相等的平行四边形是矩形；③同时满足菱形和矩形特征的平行四边形才是正方形。解题时只需将每个选项的附加条件对应判定规则逐一验证，就能选出正确结论。
【解析】
我们结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析选项：
A选项：平行四边形ABCD中AB=BC，即一组邻边相等，符合菱形的判定条件，此时它是菱形，要成为正方形还需满足有一个内角为直角等附加条件，故A错误。
B选项：平行四边形中对角线AC⊥BD，符合菱形的判定条件，此时它是菱形，不是矩形，故B错误。
C选项：平行四边形中∠ABC=90°，即有一个内角为直角，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C正确。
D选项：平行四边形中AC=BD，即对角线相等，符合矩形的判定条件，此时它是矩形，要成为正方形还需满足邻边相等或对角线垂直等附加条件，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 矩形的判定 2. 菱形的判定 3. 正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分在平行四边形前提下，不同附加条件对应的特殊四边形类型，解题的关键是牢记各类特殊平行四边形的判定定理，避免混淆菱形、矩形、正方形的判定要求。
【难度系数】
0.8
2. 在四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是(
A.$AD// BC,∠ B=∠ D$
B.$AC=BD,AB=CD,AD=BC$
C.$OA=OC,OB=OD,AB=BC$
D.$OA=OB=OC=OD,AC⊥ BD$
D
)A.$AD// BC,∠ B=∠ D$
B.$AC=BD,AB=CD,AD=BC$
C.$OA=OC,OB=OD,AB=BC$
D.$OA=OB=OC=OD,AC⊥ BD$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个选项能判定四边形是正方形，首先需要明确正方形的判定逻辑：正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊平行四边形，因此判定时可先判断四边形属于哪种基础的特殊四边形，再验证是否同时满足矩形、菱形的核心条件。解题时逐一分析每个选项，推导选项条件对应的四边形类型，最终筛选出符合正方形判定的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：由$AD// BC$可得$∠ A+∠ B=180°$，结合$∠ B=∠ D$，可推出$∠ A+∠ D=180°$，即$AB// CD$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，无法判定为正方形，故A错误。
选项B：由$AB=CD,AD=BC$可知两组对边分别相等，该四边形是平行四边形，又$AC=BD$即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，无法判定为正方形，故B错误。
选项C：由$OA=OC,OB=OD$可知对角线互相平分，该四边形是平行四边形，又$AB=BC$即一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形，无法判定为正方形，故C错误。
选项D：由$OA=OB=OC=OD$可知对角线互相平分且相等，该四边形是矩形，又$AC⊥ BD$即对角线互相垂直，对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的判定、矩形与菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，核心考查学生对平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理的掌握程度，需要学生明确各类特殊四边形判定条件的差异，牢记正方形需同时满足矩形和菱形的判定要求。
【难度系数】
0.75
要判断哪个选项能判定四边形是正方形，首先需要明确正方形的判定逻辑：正方形是同时具备矩形和菱形特征的特殊平行四边形，因此判定时可先判断四边形属于哪种基础的特殊四边形，再验证是否同时满足矩形、菱形的核心条件。解题时逐一分析每个选项，推导选项条件对应的四边形类型，最终筛选出符合正方形判定的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：由$AD// BC$可得$∠ A+∠ B=180°$，结合$∠ B=∠ D$，可推出$∠ A+∠ D=180°$，即$AB// CD$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，无法判定为正方形，故A错误。
选项B：由$AB=CD,AD=BC$可知两组对边分别相等，该四边形是平行四边形，又$AC=BD$即对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，无法判定为正方形，故B错误。
选项C：由$OA=OC,OB=OD$可知对角线互相平分，该四边形是平行四边形，又$AB=BC$即一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形，无法判定为正方形，故C错误。
选项D：由$OA=OB=OC=OD$可知对角线互相平分且相等，该四边形是矩形，又$AC⊥ BD$即对角线互相垂直，对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的判定、平行四边形的判定、矩形与菱形的判定
【点评】
本题属于特殊四边形判定的基础题，核心考查学生对平行四边形、矩形、菱形、正方形判定定理的掌握程度，需要学生明确各类特殊四边形判定条件的差异，牢记正方形需同时满足矩形和菱形的判定要求。
【难度系数】
0.75
3. 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EF-GH的面积是(
A.30
B.34
C.36
D.40
B
)A.30
B.34
C.36
D.40
答案
3.B
解析
【分析】
解题时可优先考虑割补法简化计算：首先明确已知条件，正方形ABCD边长为8，四条截线段AE=BF=CG=DH=5，那么各边剩余的线段长度均为8-5=3。观察图形可知，四个角上均为直角三角形，且每个三角形的两条直角边都是3和5，面积可求。我们可以先计算大正方形的总面积，再减去四个小直角三角形的总面积，即可得到中间四边形EFGH的面积；也可以先证明四个小三角形全等，推导得出四边形EFGH是正方形，再结合勾股定理计算边长求面积，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=8，
∵AE=BF=CG=DH=5，
∴AH=BE=CF=DG=8-5=3，
每个角上的直角三角形面积为：$S_{\mathrm{单三角形}}=\frac{1}{2}×3×5=7.5$，
四个小三角形的总面积为：$4×7.5=30$，
大正方形ABCD的面积为：$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=8×8=64$，
因此四边形EFGH的面积为：$64-30=34$。
（也可通过证明全等得四边形EFGH四边相等，再证其为正方形，由勾股定理得边长$EH=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，面积为$(\sqrt{34})^2=34$）
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、割补法求面积、勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础应用题，解题思路灵活，既可以用整体减部分的割补法快速计算，也可以通过推导中间四边形的形状结合勾股定理求解，侧重考查学生对几何图形的观察分析能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可优先考虑割补法简化计算：首先明确已知条件，正方形ABCD边长为8，四条截线段AE=BF=CG=DH=5，那么各边剩余的线段长度均为8-5=3。观察图形可知，四个角上均为直角三角形，且每个三角形的两条直角边都是3和5，面积可求。我们可以先计算大正方形的总面积，再减去四个小直角三角形的总面积，即可得到中间四边形EFGH的面积；也可以先证明四个小三角形全等，推导得出四边形EFGH是正方形，再结合勾股定理计算边长求面积，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为8，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=8，
∵AE=BF=CG=DH=5，
∴AH=BE=CF=DG=8-5=3，
每个角上的直角三角形面积为：$S_{\mathrm{单三角形}}=\frac{1}{2}×3×5=7.5$，
四个小三角形的总面积为：$4×7.5=30$，
大正方形ABCD的面积为：$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=8×8=64$，
因此四边形EFGH的面积为：$64-30=34$。
（也可通过证明全等得四边形EFGH四边相等，再证其为正方形，由勾股定理得边长$EH=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，面积为$(\sqrt{34})^2=34$）
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质、割补法求面积、勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础应用题，解题思路灵活，既可以用整体减部分的割补法快速计算，也可以通过推导中间四边形的形状结合勾股定理求解，侧重考查学生对几何图形的观察分析能力和基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点E是正方形CD边上一点，且△ABE的面积为4.5，DE=1，则线段BE的长度为
$\sqrt{13}$
。答案
4.$\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时先分析△ABE与正方形的关系：△ABE以AB为底时，高恰好等于正方形的边长，因此△ABE的面积是正方形面积的一半，可先通过三角形面积求出正方形的边长；再结合DE的长度求出CE的长度，最后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可算出BE的长度。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$。
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ $AB=BC=CD=a$，$AB// CD$，$∠ C=90°$
△ABE以AB为底时，高等于正方形的边长$a$，因此：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× a=\frac{1}{2}a^2$
已知$S_{△ ABE}=4.5$，代入得：
$\frac{1}{2}a^2=4.5$，解得$a^2=9$，即$a=3$（边长为正数，舍去负根）
∴ $CD=BC=3$
∵ $DE=1$
∴ $CE=CD-DE=3-1=2$
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
正方形的性质；三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础常考题，解题核心是发现三角形ABE的面积与正方形面积的关系，简化了求边长的过程，再结合勾股定理即可求解，整体计算量较小。
【难度系数】
0.7
解题时先分析△ABE与正方形的关系：△ABE以AB为底时，高恰好等于正方形的边长，因此△ABE的面积是正方形面积的一半，可先通过三角形面积求出正方形的边长；再结合DE的长度求出CE的长度，最后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可算出BE的长度。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$。
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ $AB=BC=CD=a$，$AB// CD$，$∠ C=90°$
△ABE以AB为底时，高等于正方形的边长$a$，因此：
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× a=\frac{1}{2}a^2$
已知$S_{△ ABE}=4.5$，代入得：
$\frac{1}{2}a^2=4.5$，解得$a^2=9$，即$a=3$（边长为正数，舍去负根）
∴ $CD=BC=3$
∵ $DE=1$
∴ $CE=CD-DE=3-1=2$
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
正方形的性质；三角形面积计算；勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形的基础常考题，解题核心是发现三角形ABE的面积与正方形面积的关系，简化了求边长的过程，再结合勾股定理即可求解，整体计算量较小。
【难度系数】
0.7
