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5. 如图,在正方形ABCD中,AB=3,AB在数轴上,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧,交数轴的正半轴于点E,则E在数轴上对应的数为
$3\sqrt{2}-1$
。答案
5.$3\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
要确定点E在数轴上对应的数，需先求出线段AE的长度，再结合点A的对应数计算。首先已知正方形ABCD的边长AB=3，根据正方形性质可知邻边BC=AB、∠ABC是直角，可通过勾股定理求出对角线AC的长；又因为AE和AC都是圆A的半径，所以AE=AC，最后结合点A对应数为-1，E在数轴正半轴，用A的对应数加上AE的长度即可得到E的对应数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴ AB=BC=3，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
∵ 以A为圆心，AC长为半径作弧交数轴正半轴于E，
∴ AE=AC=$3\sqrt{2}$。
又
∵ 点A在数轴上对应的数为-1，
∴ 点E对应的数为：$-1 + 3\sqrt{2}=3\sqrt{2}-1$。
【答案】
$3\sqrt{2}-1$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，数轴上点的表示
【点评】
本题是几何与数轴的基础综合题，解题的关键是利用正方形性质和勾股定理求出半径AE的长度，再结合数轴上点的位置计算对应数值，能很好地考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要确定点E在数轴上对应的数，需先求出线段AE的长度，再结合点A的对应数计算。首先已知正方形ABCD的边长AB=3，根据正方形性质可知邻边BC=AB、∠ABC是直角，可通过勾股定理求出对角线AC的长；又因为AE和AC都是圆A的半径，所以AE=AC，最后结合点A对应数为-1，E在数轴正半轴，用A的对应数加上AE的长度即可得到E的对应数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴ AB=BC=3，∠ABC=90°。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
∵ 以A为圆心，AC长为半径作弧交数轴正半轴于E，
∴ AE=AC=$3\sqrt{2}$。
又
∵ 点A在数轴上对应的数为-1，
∴ 点E对应的数为：$-1 + 3\sqrt{2}=3\sqrt{2}-1$。
【答案】
$3\sqrt{2}-1$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，数轴上点的表示
【点评】
本题是几何与数轴的基础综合题，解题的关键是利用正方形性质和勾股定理求出半径AE的长度，再结合数轴上点的位置计算对应数值，能很好地考察对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的大正方形ABCD如图所示.连接CF,并延长交AB于点N.若AB=$3\sqrt{5}$,EF=3,则FN的长为(
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
C
)A.2
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
6.C
解析
【分析】
本题属于赵爽弦图的综合应用类题目，解题思路如下：第一步，根据赵爽弦图的性质，设直角三角形的短直角边为a、长直角边为b，结合大小正方形的边长，利用勾股定理和边长差关系求出a、b的值；第二步，通过建立平面直角坐标系，求出点F和点C的坐标，推导直线CF的解析式；第三步，找到直线CF与AB的交点N的坐标，最后用勾股定理计算FN的长度即可。
【解析】
1. 求直角三角形的直角边长
设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，根据题意得：
$\begin{cases}b-a=EF=3\\a^2+b^2=AB^2=(3\sqrt{5})^2=45\end{cases}$
将$b-a=3$两边平方得$a^2-2ab+b^2=9$，代入$a^2+b^2=45$，得$45-2ab=9$，解得$ab=18$。
把$b=a+3$代入$ab=18$，得$a(a+3)=18$，即$a^2+3a-18=0$，因式分解得$(a+6)(a-3)=0$，解得$a=3$（边长为正，舍去负解），则$b=3+3=6$。
2. 建立坐标系求点坐标
设$A(0,0)$，$B(3\sqrt{5},0)$，$C(3\sqrt{5},3\sqrt{5})$，$D(0,3\sqrt{5})$。
在$Rt△ ABF$中，$AF=b=6$，$\cos∠ FAB=\frac{b}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sin∠ FAB=\frac{a}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，因此$F$点坐标为：
$x=AF·\cos∠ FAB=6×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$y=AF·\sin∠ FAB=6×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
3. 求直线CF解析式及N点坐标
直线CF过点$C(3\sqrt{5},3\sqrt{5})$和$F(\frac{12\sqrt{5}}{5},\frac{6\sqrt{5}}{5})$，计算得斜率$k=\frac{3\sqrt{5}-\frac{6\sqrt{5}}{5}}{3\sqrt{5}-\frac{12\sqrt{5}}{5}}=3$。
设直线CF的解析式为$y=3x+c$，代入$F$点坐标解得$c=-6\sqrt{5}$，即$y=3x-6\sqrt{5}$。
点N在AB上，$y=0$，代入解析式得$0=3x-6\sqrt{5}$，解得$x=2\sqrt{5}$，即$N(2\sqrt{5},0)$。
4. 计算FN的长度
由勾股定理得：
$FN=\sqrt{(\frac{12\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5})^2+(\frac{6\sqrt{5}}{5}-0)^2}=\sqrt{(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
赵爽弦图性质，勾股定理，一次函数应用
【点评】
本题将特殊平行四边形性质、勾股定理和一次函数知识结合，核心是先利用弦图特征求出直角三角形的直角边长，再通过坐标法定位交点，计算线段长度，能够很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于赵爽弦图的综合应用类题目，解题思路如下：第一步，根据赵爽弦图的性质，设直角三角形的短直角边为a、长直角边为b，结合大小正方形的边长，利用勾股定理和边长差关系求出a、b的值；第二步，通过建立平面直角坐标系，求出点F和点C的坐标，推导直线CF的解析式；第三步，找到直线CF与AB的交点N的坐标，最后用勾股定理计算FN的长度即可。
【解析】
1. 求直角三角形的直角边长
设全等直角三角形的短直角边长为$a$，长直角边长为$b$，根据题意得：
$\begin{cases}b-a=EF=3\\a^2+b^2=AB^2=(3\sqrt{5})^2=45\end{cases}$
将$b-a=3$两边平方得$a^2-2ab+b^2=9$，代入$a^2+b^2=45$，得$45-2ab=9$，解得$ab=18$。
把$b=a+3$代入$ab=18$，得$a(a+3)=18$，即$a^2+3a-18=0$，因式分解得$(a+6)(a-3)=0$，解得$a=3$（边长为正，舍去负解），则$b=3+3=6$。
2. 建立坐标系求点坐标
设$A(0,0)$，$B(3\sqrt{5},0)$，$C(3\sqrt{5},3\sqrt{5})$，$D(0,3\sqrt{5})$。
在$Rt△ ABF$中，$AF=b=6$，$\cos∠ FAB=\frac{b}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sin∠ FAB=\frac{a}{AB}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，因此$F$点坐标为：
$x=AF·\cos∠ FAB=6×\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{12\sqrt{5}}{5}$，$y=AF·\sin∠ FAB=6×\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
3. 求直线CF解析式及N点坐标
直线CF过点$C(3\sqrt{5},3\sqrt{5})$和$F(\frac{12\sqrt{5}}{5},\frac{6\sqrt{5}}{5})$，计算得斜率$k=\frac{3\sqrt{5}-\frac{6\sqrt{5}}{5}}{3\sqrt{5}-\frac{12\sqrt{5}}{5}}=3$。
设直线CF的解析式为$y=3x+c$，代入$F$点坐标解得$c=-6\sqrt{5}$，即$y=3x-6\sqrt{5}$。
点N在AB上，$y=0$，代入解析式得$0=3x-6\sqrt{5}$，解得$x=2\sqrt{5}$，即$N(2\sqrt{5},0)$。
4. 计算FN的长度
由勾股定理得：
$FN=\sqrt{(\frac{12\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{5})^2+(\frac{6\sqrt{5}}{5}-0)^2}=\sqrt{(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{6\sqrt{5}}{5})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
赵爽弦图性质，勾股定理，一次函数应用
【点评】
本题将特殊平行四边形性质、勾股定理和一次函数知识结合，核心是先利用弦图特征求出直角三角形的直角边长，再通过坐标法定位交点，计算线段长度，能够很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠BAC的平分线AE交BD于点E，若AB＝2，则DE的长为
2
。答案
7.2
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手：正方形四条边相等，对角线平分内角，对角线与边的夹角均为45°。首先根据正方形边长得到AD的长度，再结合角平分线的定义求出相关角的度数，接着利用三角形外角的性质计算∠DEA的度数，通过等角对等边判定△ADE为等腰三角形，即可得到DE和AD的等量关系，求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴AD=AB=2，∠BAC=∠DAC=∠ABD=45°
∵AE是∠BAC的平分线
∴$∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=22.5°$
∴$∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE=45°+22.5°=67.5°$
∵∠DEA是△ABE的外角
∴$∠ DEA=∠ ABD+∠ BAE=45°+22.5°=67.5°$
∴$∠ DAE=∠ DEA$
∴$DE=AD=2$
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形的常规题型，解题的核心是通过角度推导得到等角，进而转化为边的等量关系，很好地融合了三角形和特殊四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.75
解题时先从正方形的性质入手：正方形四条边相等，对角线平分内角，对角线与边的夹角均为45°。首先根据正方形边长得到AD的长度，再结合角平分线的定义求出相关角的度数，接着利用三角形外角的性质计算∠DEA的度数，通过等角对等边判定△ADE为等腰三角形，即可得到DE和AD的等量关系，求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=2
∴AD=AB=2，∠BAC=∠DAC=∠ABD=45°
∵AE是∠BAC的平分线
∴$∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=22.5°$
∴$∠ DAE=∠ DAC+∠ CAE=45°+22.5°=67.5°$
∵∠DEA是△ABE的外角
∴$∠ DEA=∠ ABD+∠ BAE=45°+22.5°=67.5°$
∴$∠ DAE=∠ DEA$
∴$DE=AD=2$
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形的常规题型，解题的核心是通过角度推导得到等角，进而转化为边的等量关系，很好地融合了三角形和特殊四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.75
8. 如图,在正方形ABCD中,点G为CD边上一点,以CG为边向右作正方形CEFG,连接AF,BD交于点P,连接BG,过点F作FH//BG交BC于点H,连接AH,交BD于点K.下列四个判断:①$HE=CD$;②$△ AHF$是等腰直角三角形;③点P为AF中点;④$PK=BK+DP$.其中正确的判断是
①②③
.(填序号)答案
8.①②③
解析
【分析】
本题可结合正方形的性质，通过坐标法或全等三角形、平行四边形判定逐一验证4个结论：首先利用平行线性质和正方形边相等的特征推导HE与CD的长度关系；再通过全等三角形判断△AHF的边和角的特征，验证其是否为等腰直角三角形；接着通过求直线交点或中点公式判断P是否为AF中点；最后可通过赋值法举反例验证线段和的关系是否成立。
【解析】
设正方形ABCD边长为$a$，正方形CEFG边长为$b$，建立平面直角坐标系：令$B(0,0)$，$A(0,a)$，$C(a,0)$，$D(a,a)$，$E(a+b,0)$，$F(a+b,b)$，$G(a,b)$，设BC上点$H$坐标为$(h,0)$。
1. 验证①：$\because FH// BG$，BG的斜率为$\frac{b}{a}$，FH的斜率为$\frac{-b}{h-a-b}$，二者相等可解得$h=b$，即$H(b,0)$。则$HE=(a+b)-b=a$，$CD=a$，故$HE=CD$，①正确。
2. 验证②：计算得$AH=\sqrt{b^2+a^2}$，$HF=\sqrt{a^2+b^2}$，故$AH=HF$。又$△ ABH≌△ HEF$（SAS：$AB=HE=a$，$∠ ABH=∠ HEF=90°$，$BH=EF=b$），可得$∠ BAH=∠ EHF$，结合$∠ BAH+∠ AHB=90°$，得$∠ EHF+∠ AHB=90°$，即$∠ AHF=90°$，故$△ AHF$是等腰直角三角形，②正确。
3. 验证③：BD的解析式为$y=x$，AF的解析式为$y=\frac{b-a}{a+b}x+a$，联立解得交点$P(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2})$，恰好为AF的中点，故③正确。
4. 验证④：取$a=2,b=1$计算，得$BK+DP=\frac{7\sqrt{2}}{6}$，$PK=\frac{5\sqrt{2}}{6}$，二者不相等，故④错误。
【答案】
①②③
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；等腰直角三角形判定
【点评】
本题综合考查特殊平行四边形的性质与判定，解题时可结合坐标法简化线段、交点的推导过程，对于错误结论可通过举反例快速判断，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
本题可结合正方形的性质，通过坐标法或全等三角形、平行四边形判定逐一验证4个结论：首先利用平行线性质和正方形边相等的特征推导HE与CD的长度关系；再通过全等三角形判断△AHF的边和角的特征，验证其是否为等腰直角三角形；接着通过求直线交点或中点公式判断P是否为AF中点；最后可通过赋值法举反例验证线段和的关系是否成立。
【解析】
设正方形ABCD边长为$a$，正方形CEFG边长为$b$，建立平面直角坐标系：令$B(0,0)$，$A(0,a)$，$C(a,0)$，$D(a,a)$，$E(a+b,0)$，$F(a+b,b)$，$G(a,b)$，设BC上点$H$坐标为$(h,0)$。
1. 验证①：$\because FH// BG$，BG的斜率为$\frac{b}{a}$，FH的斜率为$\frac{-b}{h-a-b}$，二者相等可解得$h=b$，即$H(b,0)$。则$HE=(a+b)-b=a$，$CD=a$，故$HE=CD$，①正确。
2. 验证②：计算得$AH=\sqrt{b^2+a^2}$，$HF=\sqrt{a^2+b^2}$，故$AH=HF$。又$△ ABH≌△ HEF$（SAS：$AB=HE=a$，$∠ ABH=∠ HEF=90°$，$BH=EF=b$），可得$∠ BAH=∠ EHF$，结合$∠ BAH+∠ AHB=90°$，得$∠ EHF+∠ AHB=90°$，即$∠ AHF=90°$，故$△ AHF$是等腰直角三角形，②正确。
3. 验证③：BD的解析式为$y=x$，AF的解析式为$y=\frac{b-a}{a+b}x+a$，联立解得交点$P(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2})$，恰好为AF的中点，故③正确。
4. 验证④：取$a=2,b=1$计算，得$BK+DP=\frac{7\sqrt{2}}{6}$，$PK=\frac{5\sqrt{2}}{6}$，二者不相等，故④错误。
【答案】
①②③
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定；等腰直角三角形判定
【点评】
本题综合考查特殊平行四边形的性质与判定，解题时可结合坐标法简化线段、交点的推导过程，对于错误结论可通过举反例快速判断，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
