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18. 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°. 求证：
(1)AD平分∠CDE；
(2)∠BAE=2∠CAD.
(1)AD平分∠CDE；
(2)∠BAE=2∠CAD.
答案
18. 证明：
(1)把$△ ABC$旋转$∠ BAE$的度数如图：
$\because AB=AE$，$∠ ABC+∠ AED=180°$.
$\therefore$把$△ ABC$旋转$∠ BAE$的度数后$BC$和$EC'$重合，
且$∠ ABC=∠ AEC'$，$BC=EC'$，
$\therefore ∠ AEC'+∠ AED=180°$，
$\therefore D，E，C$三点共线.
$\because △ ABC≌ △ AEC'$，
$\therefore AC=AC'$，
又$BC+DE=CD$，$BC=EC'$，
$\therefore CD=DC'$，在$△ ACD$和$△ AC'D$中，$\begin{cases}AC=AC'\\AD=AD,\\CD=C'D\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AC'D$，$\therefore ∠ CDA=∠ ADC'$，$\therefore AD$平分$∠ CDE$.
(2)$\because △ ABC≌ △ AEC'$，$\therefore ∠ BAC=∠ EAC'$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAC'$.
由(1)得：$△ ACD≌ △ ADC'$，$\therefore ∠ CAD=∠ DAC'$，$\therefore 2∠ CAD=∠ CAC'$，$\therefore ∠ BAE=2∠ CAD$.
解析
【分析】
遇到有共顶点的相等线段（本题AB=AE，公共顶点为A）、角互补、线段和的条件时，可通过旋转变换构造全等三角形，将分散的边角条件整合。首先将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数，使AB与AE重合得到△AEC'，先证明D、E、C'三点共线，再结合BC+DE=CD的条件证明△ACD≌△AC'D，即可推出AD平分∠CDE；再利用旋转前后对应角相等，结合全等三角形的对应角相等，即可推导∠BAE和∠CAD的二倍关系。
【解析】
(1) 把△ABC绕点A旋转∠BAE的度数，使AB与AE重合，得到△AEC'：
∵ AB=AE，∠ABC+∠AED=180°，
∴ 旋转后BC与EC'重合，且∠ABC=∠AEC'，BC=EC'，
∴ ∠AEC'+∠AED=180°，即D、E、C'三点共线。
由旋转性质可知△ABC≌△AEC'，故AC=AC'。
又
∵ BC+DE=CD，BC=EC'，
∴ EC'+DE=DC'=CD。
在△ACD和△AC'D中：
$\begin{cases}AC=AC' \\AD=AD \\CD=C'D\end{cases}$
∴ △ACD≌△AC'D（SSS），
∴ ∠CDA=∠ADC'，即AD平分∠CDE。
(2) 由△ABC≌△AEC'可得∠BAC=∠EAC'，
∴ ∠BAC+∠CAE=∠EAC'+∠CAE，即∠BAE=∠CAC'。
由(1)中△ACD≌△AC'D可得∠CAD=∠DAC'，
∴ ∠CAC'=∠CAD+∠DAC'=2∠CAD，
∴ ∠BAE=2∠CAD。
【答案】
18. 证明：
(1)把$△ ABC$旋转$∠ BAE$的度数如图：
$\because AB=AE$，$∠ ABC+∠ AED=180°$.
$\therefore$把$△ ABC$旋转$∠ BAE$的度数后$BC$和$EC'$重合，
且$∠ ABC=∠ AEC'$，$BC=EC'$，
$\therefore ∠ AEC'+∠ AED=180°$，
$\therefore D，E，C$三点共线.
$\because △ ABC≌ △ AEC'$，
$\therefore AC=AC'$，
又$BC+DE=CD$，$BC=EC'$，
$\therefore CD=DC'$，在$△ ACD$和$△ AC'D$中，$\begin{cases}AC=AC'\\AD=AD,\\CD=C'D\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AC'D$，$\therefore ∠ CDA=∠ ADC'$，$\therefore AD$平分$∠ CDE$.
(2)$\because △ ABC≌ △ AEC'$，$\therefore ∠ BAC=∠ EAC'$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAC'$.
由(1)得：$△ ACD≌ △ ADC'$，$\therefore ∠ CAD=∠ DAC'$，$\therefore 2∠ CAD=∠ CAC'$，$\therefore ∠ BAE=2∠ CAD$.
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题重点考查几何变换中旋转的应用，通过旋转构造全等三角形可以有效整合题目中分散的边、角条件，解题的关键是合理选择旋转对象和旋转角度，将线段和、角互补的条件转化为全等的判定依据，对逻辑推理和几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
遇到有共顶点的相等线段（本题AB=AE，公共顶点为A）、角互补、线段和的条件时，可通过旋转变换构造全等三角形，将分散的边角条件整合。首先将△ABC绕点A旋转∠BAE的度数，使AB与AE重合得到△AEC'，先证明D、E、C'三点共线，再结合BC+DE=CD的条件证明△ACD≌△AC'D，即可推出AD平分∠CDE；再利用旋转前后对应角相等，结合全等三角形的对应角相等，即可推导∠BAE和∠CAD的二倍关系。
【解析】
(1) 把△ABC绕点A旋转∠BAE的度数，使AB与AE重合，得到△AEC'：
∵ AB=AE，∠ABC+∠AED=180°，
∴ 旋转后BC与EC'重合，且∠ABC=∠AEC'，BC=EC'，
∴ ∠AEC'+∠AED=180°，即D、E、C'三点共线。
由旋转性质可知△ABC≌△AEC'，故AC=AC'。
又
∵ BC+DE=CD，BC=EC'，
∴ EC'+DE=DC'=CD。
在△ACD和△AC'D中：
$\begin{cases}AC=AC' \\AD=AD \\CD=C'D\end{cases}$
∴ △ACD≌△AC'D（SSS），
∴ ∠CDA=∠ADC'，即AD平分∠CDE。
(2) 由△ABC≌△AEC'可得∠BAC=∠EAC'，
∴ ∠BAC+∠CAE=∠EAC'+∠CAE，即∠BAE=∠CAC'。
由(1)中△ACD≌△AC'D可得∠CAD=∠DAC'，
∴ ∠CAC'=∠CAD+∠DAC'=2∠CAD，
∴ ∠BAE=2∠CAD。
【答案】
18. 证明：
(1)把$△ ABC$旋转$∠ BAE$的度数如图：
$\because AB=AE$，$∠ ABC+∠ AED=180°$.
$\therefore$把$△ ABC$旋转$∠ BAE$的度数后$BC$和$EC'$重合，
且$∠ ABC=∠ AEC'$，$BC=EC'$，
$\therefore ∠ AEC'+∠ AED=180°$，
$\therefore D，E，C$三点共线.
$\because △ ABC≌ △ AEC'$，
$\therefore AC=AC'$，
又$BC+DE=CD$，$BC=EC'$，
$\therefore CD=DC'$，在$△ ACD$和$△ AC'D$中，$\begin{cases}AC=AC'\\AD=AD,\\CD=C'D\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ AC'D$，$\therefore ∠ CDA=∠ ADC'$，$\therefore AD$平分$∠ CDE$.
(2)$\because △ ABC≌ △ AEC'$，$\therefore ∠ BAC=∠ EAC'$，$\therefore ∠ BAE=∠ CAC'$.
由(1)得：$△ ACD≌ △ ADC'$，$\therefore ∠ CAD=∠ DAC'$，$\therefore 2∠ CAD=∠ CAC'$，$\therefore ∠ BAE=2∠ CAD$.
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题重点考查几何变换中旋转的应用，通过旋转构造全等三角形可以有效整合题目中分散的边、角条件，解题的关键是合理选择旋转对象和旋转角度，将线段和、角互补的条件转化为全等的判定依据，对逻辑推理和几何构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点(网格线的交点)A，B，C的坐标分别为$(-2,-2)$，$(1,-2)$，$(-3,0)$。
(1)将$△ ABC$进行某种平移得到$△ A_1B_1C_1$，使点$A$和$A_1$关于原点$O$成中心对称，画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)以点$O$为旋转中心，将$△ ABC$顺时针旋转$90°$得到$△ A_2B_2C_2$，画出$△ A_2B_2C_2$；
(3)用无刻度的直尺画出直线$OD⊥ B_1C_1$，写出满足条件的格点$D$的坐标.(写出一个即可)
(1)将$△ ABC$进行某种平移得到$△ A_1B_1C_1$，使点$A$和$A_1$关于原点$O$成中心对称，画出$△ A_1B_1C_1$；
(2)以点$O$为旋转中心，将$△ ABC$顺时针旋转$90°$得到$△ A_2B_2C_2$，画出$△ A_2B_2C_2$；
(3)用无刻度的直尺画出直线$OD⊥ B_1C_1$，写出满足条件的格点$D$的坐标.(写出一个即可)
答案
19. (1)先向右平移四个单位长度，再向上平移四个单位长度；作图如下：
(2)如图所示：
(3)$D(1,2)$，作图如下：
解析
【分析】
(1)首先回忆关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，先求出点A的对称点A₁的坐标，再根据点A到A₁的坐标变化确定平移规律，将B、C两点按相同规律平移得到对应点，最后顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
(2)回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标为(x,y)，旋转后坐标为(y,-x)，据此分别计算A、B、C三点旋转后的对应点A₂、B₂、C₂的坐标，顺次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(3)先观察B₁C₁的倾斜趋势，网格中可通过线段横、纵坐标的变化比例判断垂线，从原点出发找到符合垂直要求的格点D，连接OD即可。
【解析】
(1)已知点A(-2,-2)，关于原点O中心对称的点A₁坐标为(2,2)，对比A到A₁的坐标变化：横坐标增加了$2-(-2)=4$，纵坐标增加了$2-(-2)=4$，因此平移规律为：向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度。
按照该规律计算B、C的对应点：B(1,-2)平移后得B₁$(1+4,-2+4)=(5,2)$，C(-3,0)平移后得C₁$(-3+4,0+4)=(1,4)$，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2)根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：$(x,y)\to(y,-x)$，分别计算三个顶点的对应点坐标：
A(-2,-2)旋转后得A₂$(-2,2)$，B(1,-2)旋转后得B₂$(-2,-1)$，C(-3,0)旋转后得C₂$(0,3)$，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3)观察B₁C₁的走向：从C₁(1,4)到B₁(5,2)，横坐标增加4，纵坐标减少2，即每向右2个单位，向下1个单位。与它垂直的直线走向应为每向右1个单位，向上2个单位，从原点出发按该规律找到格点D(1,2)，连接OD，此时OD⊥B₁C₁。
【答案】
(1)先向右平移四个单位长度，再向上平移四个单位长度；作图如下：
(2)如图所示：
(3)$D(1,2)$，作图如下：
【知识点】
中心对称的坐标特征，图形的平移与旋转，网格垂线作图
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换和垂线构造，要求学生熟练掌握平移、旋转、中心对称的坐标变化规律，同时需要具备一定的网格观察和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
(1)首先回忆关于原点中心对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，先求出点A的对称点A₁的坐标，再根据点A到A₁的坐标变化确定平移规律，将B、C两点按相同规律平移得到对应点，最后顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
(2)回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：原坐标为(x,y)，旋转后坐标为(y,-x)，据此分别计算A、B、C三点旋转后的对应点A₂、B₂、C₂的坐标，顺次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(3)先观察B₁C₁的倾斜趋势，网格中可通过线段横、纵坐标的变化比例判断垂线，从原点出发找到符合垂直要求的格点D，连接OD即可。
【解析】
(1)已知点A(-2,-2)，关于原点O中心对称的点A₁坐标为(2,2)，对比A到A₁的坐标变化：横坐标增加了$2-(-2)=4$，纵坐标增加了$2-(-2)=4$，因此平移规律为：向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度。
按照该规律计算B、C的对应点：B(1,-2)平移后得B₁$(1+4,-2+4)=(5,2)$，C(-3,0)平移后得C₁$(-3+4,0+4)=(1,4)$，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
(2)根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律：$(x,y)\to(y,-x)$，分别计算三个顶点的对应点坐标：
A(-2,-2)旋转后得A₂$(-2,2)$，B(1,-2)旋转后得B₂$(-2,-1)$，C(-3,0)旋转后得C₂$(0,3)$，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂。
(3)观察B₁C₁的走向：从C₁(1,4)到B₁(5,2)，横坐标增加4，纵坐标减少2，即每向右2个单位，向下1个单位。与它垂直的直线走向应为每向右1个单位，向上2个单位，从原点出发按该规律找到格点D(1,2)，连接OD，此时OD⊥B₁C₁。
【答案】
(1)先向右平移四个单位长度，再向上平移四个单位长度；作图如下：
(2)如图所示：
(3)$D(1,2)$，作图如下：
【知识点】
中心对称的坐标特征，图形的平移与旋转，网格垂线作图
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换和垂线构造，要求学生熟练掌握平移、旋转、中心对称的坐标变化规律，同时需要具备一定的网格观察和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
