1[2026江苏常州期末]在平面直角坐标系中,点(-3,a)位于第三象限,则a的值可能是 ()

A.-2
B.0
C.1
D.3

1. A 【解析】点 $(-3,a)$ 位于第三象限,$\therefore a＜0$,则 $a$ 的值可能是$-2$,故选 A.

2 AI DPSK原创 新素材 第四届全国女子业余围棋公开赛于2025年8月在平凉市举行.如图,围棋棋盘放在某平面直角坐标系中,已知黑棋A的坐标为$(2,-2)$,黑棋B的坐标为$(-1,2)$,则白棋C的坐标为 ()

A.$(0,2)$
B.$(1,2)$
C.$(0,3)$
D.$(1,3)$

(第2题图)
(第3题图)

2. D 【解析】如图所示,根据题意建立平面直角坐标系,易知白棋 $C$ 的坐标为 $(1,3)$,故选 D.

3[2026江苏苏州质检]如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，$∠ AOB = ∠ B = 30°$，$OA = 4$。将$△ AOB$绕点O逆时针旋转$90°$得到$△ A'OB'$，则点B的对应点$B'$的坐标是（）

A.$(-\sqrt{8},6)$
B.$(6,\sqrt{12})$
C.$(-\sqrt{12},6)$
D.$(-6,2+\sqrt{3})$

3. C 【解析】由题意可知, $OA' = OA = 4$,$∠ A'OB' = ∠ AOB = ∠ A'B'O = ∠ B = 30°$. 过点 $B'$ 作 $y$ 轴的垂线,垂足为 $M$, 如图所示. $\because ∠ A'OB' = ∠ A'B'O = 30°$,$OA'=4$,$\therefore A'B'=OA'=4$,$∠ B'A'M=60°$. $\because B'M ⊥ y$ 轴,$\therefore ∠ B'MA'=90°$,$\therefore ∠ A'B'M=30°$,$\therefore A'M=2$,易得 $B'M=\sqrt{12}$,$\therefore OM=6$,$\therefore$ 点 $B'$ 的坐标为 $(-\sqrt{12},6)$,故选 C.

关键点拨
根据旋转的性质可以得到 $OA' = OA = 4$,$∠ A'OB' = ∠ AOB - ∠ A'B'O = ∠ B = 30°$,然后过点 $B'$ 作 $y$ 轴的垂线,再根据含 $30°$ 角的直角三角形性质及勾股定理求得 $A'M$ 和 $B'M$ 的长,从而可以写出点 $B'$ 的坐标.

4[2025江苏泰州期中]平面直角坐标系中，已知点A(3,2)，直线AB//y轴，且AB=4，则点B坐标为。

4. $(3,6)$或$(3,-2)$ 【解析】设点 $B$ 的坐标为 $(x,y)$. $\because AB// y$ 轴,$A(3,2)$,$\therefore x=3$. $\because AB=4$,$\therefore |y-2|=4$,$\therefore y-2=\pm4$,$\therefore y=6$ 或 $-2$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(3,6)$ 或 $(3,-2)$,故答案为 $(3,6)$ 或 $(3,-2)$.

5 如图,一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动,第1次,它从原点运动到点(1,0);第2次,它从点(1,0)运动到点(1,1),而后它接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动,且每次运动1个单位长度,那么第2023次,这个粒子所在位置的坐标是.

5. $(44,1)$ 【解析】由题意知 $(0,0)$ 表示粒子运动了 0 次, $(1,1)$ 表示粒子运动了 $1×2=2$(次),粒子将向左运动, $(2,2)$ 表示粒子运动了 $2×3=6$(次),粒子将向下运动, $(3,3)$ 表示粒子运动了 $3×4=12$(次),粒子将向左运动,$···$,$\therefore (44,44)$ 表示粒子运动了 $44×45=1\ 980$(次),此时粒子将向下运动,$\therefore$ 到第 2 023 次,粒子又向下运动了 $2\ 023-1\ 980=43$(个)单位长度. $\because 44-43=1$,$\therefore$ 粒子所在位置的坐标是 $(44,1)$,故答案为 $(44,1)$.

三、解答题(共40分)
6[2026江苏扬州期末]如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1个单位,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在网格中画出△ABC向右平移6个单位得到的△A₁B₁C₁;
(2)在网格中画出△A₁B₁C₁关于x轴对称的△A₂B₂C₂;
(3)在x轴上画一点Q,使得B₁Q+C₁Q的值最小.

6. 【解】(1)如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求.
(2)如图,$△ A_2B_2C_2$ 即为所求.
(3)如图,点 $Q$ 即为所求.

7 我们规定:若$a^2+b^2=nab$,就称$(a,b)$为“$n$倍理想坐标”.例如:$1^2+(-1)^2=(-2)×1×(-1)$,则称$(1,-1)$为“$-2$倍理想坐标”;$1^2+2^2=2.5×1×2$,则称$(1,2)$为“$2.5$倍理想坐标”.
根据材料,解决下列问题:
(1)$(\sqrt{2},\sqrt{2})$“2倍理想坐标”(填“是”或“不是”);$(2,3)$是“倍理想坐标”.
(2)当$(a,b)$在坐标轴上时,若$(a,b)$为“$n$倍理想坐标”,求$a,b$的值,并指出$(a,b)$在平面直角坐标系中的哪个位置.
(3)若$(a,b)$是象限角平分线上的点(原点除外),求$(a,b)$是几倍理想坐标.

7. 【解】(1)$\because (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2×\sqrt{2}×\sqrt{2}$,$\therefore (\sqrt{2},\sqrt{2})$是“2 倍理想坐标”;
$\because 2^2+3^2=\dfrac{13}{6}×2×3$,$\therefore (2,3)$是“$\dfrac{13}{6}$倍理想坐标”.
故答案为是,$\dfrac{13}{6}$.
(2) 当 $(a,b)$ 在坐标轴上时, $a=0$ 或 $b=0$,$\therefore ab=0$.
$\because (a,b)$ 为“$n$ 倍理想坐标”,$\therefore a^2+b^2=nab=0$,$\therefore a=0$ 且 $b=0$,$\therefore (a,b)$ 是平面直角坐标系中的原点.
(3) 若 $(a,b)$ 是象限角平分线上的点(原点除外),则 $a=\pm b≠0$. 分两种情况:
① 当 $(a,b)$ 是第一、三象限角平分线上的点(原点除外)时,$a=b$.
$\because a^2+b^2=2a^2=2a· a=2ab$,$\therefore (a,b)$ 是“2 倍理想坐标”.
② 当 $(a,b)$ 是第二、四象限角平分线上的点(原点除外)时,$a=-b$.
$\because a^2+b^2=2a^2=2a· (-b)=-2ab$,$\therefore (a,b)$ 是“$-2$ 倍理想坐标”.
综上所述,$(a,b)$ 是“2 倍理想坐标”或“$-2$ 倍理想坐标”.
思路分析
(3) 根据四个象限角平分线上的点的特征得出 $a=\pm b$.
再分①当 $(a,b)$ 是第一、三象限角平分线上的点;②$(a,b)$ 是第二、四象限角平分线上的点这两种情况进行讨论,利用“$n$ 倍理想坐标”的定义求解即可.