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11. 整体思想 阅读下列材料再解方程：
解方程$|x+2|=3$时,我们可以将$x+2$视为一个整体,由于绝对值为3的数有两个,所以$x+2=3$或$x+2=-3$,解得$x=1$或$-5$.
请按照上面解法解方程$x-\left|\dfrac{2}{3}x+1\right|=1$.
解方程$|x+2|=3$时,我们可以将$x+2$视为一个整体,由于绝对值为3的数有两个,所以$x+2=3$或$x+2=-3$,解得$x=1$或$-5$.
请按照上面解法解方程$x-\left|\dfrac{2}{3}x+1\right|=1$.
答案
11. 当$\dfrac{2}{3}x+1$是非负数时,$x-\dfrac{2}{3}x-1=1$,
解得$x=6$,符合题意；
当$\dfrac{2}{3}x+1$是负数时,$x+\dfrac{2}{3}x+1=1$,
解得$x=0$,不符合题意.
$\therefore x=6$.故原方程的解为$x=6$.
解得$x=6$,符合题意；
当$\dfrac{2}{3}x+1$是负数时,$x+\dfrac{2}{3}x+1=1$,
解得$x=0$,不符合题意.
$\therefore x=6$.故原方程的解为$x=6$.
解析
【分析】本题运用整体思想，将绝对值内的$\frac{2}{3}x +1$视为整体，根据绝对值的性质分两种情况讨论：当绝对值内的式子非负时，绝对值等于其本身；当绝对值内的式子为负时，绝对值等于其相反数，将两种情况代入原方程转化为普通一元一次方程求解，最后检验解是否符合当前情况的条件，确定最终解。
【解析】原方程为$x - \left|\dfrac{2}{3}x +1\right|=1$，分两种情况讨论：
1. 当$\dfrac{2}{3}x +1 ≥ 0$时，$\left|\dfrac{2}{3}x +1\right|=\dfrac{2}{3}x +1$，代入原方程得：
$x - (\dfrac{2}{3}x +1)=1$
化简得：$\dfrac{1}{3}x -1 =1$，解得$x=6$。
验证：$\dfrac{2}{3}×6 +1=5≥0$，符合该情况条件，故$x=6$是有效解。
2. 当$\dfrac{2}{3}x +1 ＜0$时，$\left|\dfrac{2}{3}x +1\right|=-(\dfrac{2}{3}x +1)$，代入原方程得：
$x - (-\dfrac{2}{3}x -1)=1$
化简得：$\dfrac{5}{3}x +1 =1$，解得$x=0$。
验证：$\dfrac{2}{3}×0 +1=1≥0$，不满足该情况的$\dfrac{2}{3}x +1 ＜0$，故$x=0$是无效解，舍去。
综上，原方程的解为$x=6$。
【答案】$x=6$
【知识点】绝对值的意义，一元一次方程解法，整体思想
【点评】本题通过整体思想简化绝对值方程的求解，核心是利用绝对值的性质分类讨论，解出后代入原条件检验解的合理性，考察学生对绝对值性质的掌握及分类讨论的数学思维。
【难度系数】0.5
【解析】原方程为$x - \left|\dfrac{2}{3}x +1\right|=1$，分两种情况讨论：
1. 当$\dfrac{2}{3}x +1 ≥ 0$时，$\left|\dfrac{2}{3}x +1\right|=\dfrac{2}{3}x +1$，代入原方程得：
$x - (\dfrac{2}{3}x +1)=1$
化简得：$\dfrac{1}{3}x -1 =1$，解得$x=6$。
验证：$\dfrac{2}{3}×6 +1=5≥0$，符合该情况条件，故$x=6$是有效解。
2. 当$\dfrac{2}{3}x +1 ＜0$时，$\left|\dfrac{2}{3}x +1\right|=-(\dfrac{2}{3}x +1)$，代入原方程得：
$x - (-\dfrac{2}{3}x -1)=1$
化简得：$\dfrac{5}{3}x +1 =1$，解得$x=0$。
验证：$\dfrac{2}{3}×0 +1=1≥0$，不满足该情况的$\dfrac{2}{3}x +1 ＜0$，故$x=0$是无效解，舍去。
综上，原方程的解为$x=6$。
【答案】$x=6$
【知识点】绝对值的意义，一元一次方程解法，整体思想
【点评】本题通过整体思想简化绝对值方程的求解，核心是利用绝对值的性质分类讨论，解出后代入原条件检验解的合理性，考察学生对绝对值性质的掌握及分类讨论的数学思维。
【难度系数】0.5
12. 中考新考法 新定义问题 若新规定这样一种运算法则:$a※b=a^{2}+2ab$,例如$3※(-2)=3^{2}+$$2 × 3 ×(-2)=-3$.
(1)试求$(-2)※3$的值;
(2)若$4※x=-x-2$,求$x$的值.
(1)试求$(-2)※3$的值;
(2)若$4※x=-x-2$,求$x$的值.
答案
12. (1)根据题中新定义,得$(-2)※3=(-2)^2+2×(-2)×3=4+(-12)=-8$.
(2)根据题意,得$4※x=4^2+2×4x=-x-2$,
整理,得$16+8x=-x-2$,解得$x=-2$.
(2)根据题意,得$4※x=4^2+2×4x=-x-2$,
整理,得$16+8x=-x-2$,解得$x=-2$.
解析
【分析】
本题为新定义运算问题，解题核心是先明确新运算规则：$a※b=a^2+2ab$。第(1)问直接将对应数值代入规则计算；第(2)问先根据规则写出表达式，再结合已知等式列一元一次方程，最后解方程求解。
【解析】
(1) 根据题中新定义运算法则$a※b=a^2+2ab$，将$a=-2$，$b=3$代入得：
$(-2)※3=(-2)^2 + 2×(-2)×3 = 4 + (-12) = -8$；
(2) 根据运算法则，$4※x=4^2 + 2×4×x = 16 + 8x$，结合已知$4※x=-x-2$，列方程：
$16 + 8x = -x - 2$，
移项得：$8x + x = -2 -16$，
合并同类项得：$9x = -18$，
解得：$x=-2$。
【答案】
(1)$-8$；(2)$x=-2$
【知识点】
新定义运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题是中考新考法的新定义问题，重点考查对新运算规则的理解与应用，以及一元一次方程的求解，属于基础题型，能有效考查学生对新规则的接受和应用能力。
【难度系数】
0.6
本题为新定义运算问题，解题核心是先明确新运算规则：$a※b=a^2+2ab$。第(1)问直接将对应数值代入规则计算；第(2)问先根据规则写出表达式，再结合已知等式列一元一次方程，最后解方程求解。
【解析】
(1) 根据题中新定义运算法则$a※b=a^2+2ab$，将$a=-2$，$b=3$代入得：
$(-2)※3=(-2)^2 + 2×(-2)×3 = 4 + (-12) = -8$；
(2) 根据运算法则，$4※x=4^2 + 2×4×x = 16 + 8x$，结合已知$4※x=-x-2$，列方程：
$16 + 8x = -x - 2$，
移项得：$8x + x = -2 -16$，
合并同类项得：$9x = -18$，
解得：$x=-2$。
【答案】
(1)$-8$；(2)$x=-2$
【知识点】
新定义运算、一元一次方程的解法
【点评】
本题是中考新考法的新定义问题，重点考查对新运算规则的理解与应用，以及一元一次方程的求解，属于基础题型，能有效考查学生对新规则的接受和应用能力。
【难度系数】
0.6
13. 换元思想 (2025·湖南长沙望城区期末)定义:如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为“美好方程”.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3)若关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}x+3=2x+k$和$\dfrac{1}{2\ 024}x+1=0$是“美好方程”,求关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}(y+1)=2y+k-1$的解.
精题详解
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,求$m$的值;
(2)若“美好方程”的两个解的差为8,其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3)若关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}x+3=2x+k$和$\dfrac{1}{2\ 024}x+1=0$是“美好方程”,求关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2\ 024}(y+1)=2y+k-1$的解.
精题详解
答案
13. (1)解方程$4x-2=x+10$,得$x=4$.
$\because$关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,
$\therefore$关于$x$的方程$3x+m=0$的解为$x=1-4=-3$,
$\therefore -3×3+m=0$,$\therefore m=9$.
(2)由题意,得另一个解为$1-n$.
$\because$“美好方程”的两个解的差为8,
$\therefore n-(1-n)=8$或$1-n-n=8$,
解得$n=4.5$或$n=-3.5$.
(3)解方程$\dfrac{1}{2024}x+1=0$,得$x=-2024$.
$\because$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x+3=2x+k$和$\dfrac{1}{2024}x+1=0$是“美好方程”,
$\therefore$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2024)=2025$,
$\therefore$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x=2x+k-3$的解为$x=2025$,
$\therefore$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x=2(x-1)+k-1$的解为$x=2025$.
令$x=y+1=2025$,则原方程等价为$\dfrac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$,
$\therefore$关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的解为$y=2025-1=2024$.
$\because$关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“美好方程”,
$\therefore$关于$x$的方程$3x+m=0$的解为$x=1-4=-3$,
$\therefore -3×3+m=0$,$\therefore m=9$.
(2)由题意,得另一个解为$1-n$.
$\because$“美好方程”的两个解的差为8,
$\therefore n-(1-n)=8$或$1-n-n=8$,
解得$n=4.5$或$n=-3.5$.
(3)解方程$\dfrac{1}{2024}x+1=0$,得$x=-2024$.
$\because$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x+3=2x+k$和$\dfrac{1}{2024}x+1=0$是“美好方程”,
$\therefore$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x+3=2x+k$的解为$x=1-(-2024)=2025$,
$\therefore$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x=2x+k-3$的解为$x=2025$,
$\therefore$关于$x$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}x=2(x-1)+k-1$的解为$x=2025$.
令$x=y+1=2025$,则原方程等价为$\dfrac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$,
$\therefore$关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{2024}(y+1)=2y+k-1$的解为$y=2025-1=2024$.
解析
【分析】
本题核心是“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1，解题时紧扣该定义，结合一元一次方程解法逐步推导。第(1)问先解已知方程得解，再根据定义求另一方程的解，代入求m；第(2)问利用两解和为1表示出另一解，结合差为8分情况列方程求n；第(3)问先求已知方程的解，根据定义得另一方程的解，再通过换元思想将待求方程转化为已知解的形式，进而求y。
【解析】
(1) 解方程$4x - 2 = x + 10$，移项得$4x - x = 10 + 2$，合并同类项得$3x = 12$，解得$x = 4$。
因为方程$3x + m = 0$与$4x - 2 = x + 10$是“美好方程”，所以方程$3x + m = 0$的解为$1 - 4 = -3$。
将$x = -3$代入$3x + m = 0$，得$3×(-3) + m = 0$，解得$m = 9$。
(2) 设“美好方程”的两个解分别为$n$和$1 - n$，由两解差为8，分两种情况：
① 当$n - (1 - n) = 8$时，化简得$2n - 1 = 8$，解得$n = 4.5$；
② 当$(1 - n) - n = 8$时，化简得$1 - 2n = 8$，解得$n = -3.5$。
(3) 解方程$\dfrac{1}{2024}x + 1 = 0$，移项得$\dfrac{1}{2024}x = -1$，解得$x = -2024$。
因为方程$\dfrac{1}{2024}x + 3 = 2x + k$与$\dfrac{1}{2024}x + 1 = 0$是“美好方程”，所以方程$\dfrac{1}{2024}x + 3 = 2x + k$的解为$1 - (-2024) = 2025$。
观察待求方程$\dfrac{1}{2024}(y + 1) = 2y + k - 1$，令$y + 1 = x$，则方程可转化为$\dfrac{1}{2024}x = 2(x - 1) + k - 1$，整理得$\dfrac{1}{2024}x = 2x + k - 3$，该方程与解为2025的方程$\dfrac{1}{2024}x + 3 = 2x + k$（即$\dfrac{1}{2024}x = 2x + k - 3$）结构一致，因此$x = 2025$，即$y + 1 = 2025$，解得$y = 2024$。
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n=4.5$或$n=-3.5$；(3) $y=2024$
【知识点】
一元一次方程的解、新定义应用、换元思想
【点评】
本题为新定义类型的一元一次方程综合题，核心是理解“美好方程”的定义，将新定义转化为方程解的关系，解题中需注意分类讨论（第2问）和换元思想（第3问）的运用，考察学生对新定义的理解与方程变形能力，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.6
本题核心是“美好方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1，解题时紧扣该定义，结合一元一次方程解法逐步推导。第(1)问先解已知方程得解，再根据定义求另一方程的解，代入求m；第(2)问利用两解和为1表示出另一解，结合差为8分情况列方程求n；第(3)问先求已知方程的解，根据定义得另一方程的解，再通过换元思想将待求方程转化为已知解的形式，进而求y。
【解析】
(1) 解方程$4x - 2 = x + 10$，移项得$4x - x = 10 + 2$，合并同类项得$3x = 12$，解得$x = 4$。
因为方程$3x + m = 0$与$4x - 2 = x + 10$是“美好方程”，所以方程$3x + m = 0$的解为$1 - 4 = -3$。
将$x = -3$代入$3x + m = 0$，得$3×(-3) + m = 0$，解得$m = 9$。
(2) 设“美好方程”的两个解分别为$n$和$1 - n$，由两解差为8，分两种情况：
① 当$n - (1 - n) = 8$时，化简得$2n - 1 = 8$，解得$n = 4.5$；
② 当$(1 - n) - n = 8$时，化简得$1 - 2n = 8$，解得$n = -3.5$。
(3) 解方程$\dfrac{1}{2024}x + 1 = 0$，移项得$\dfrac{1}{2024}x = -1$，解得$x = -2024$。
因为方程$\dfrac{1}{2024}x + 3 = 2x + k$与$\dfrac{1}{2024}x + 1 = 0$是“美好方程”，所以方程$\dfrac{1}{2024}x + 3 = 2x + k$的解为$1 - (-2024) = 2025$。
观察待求方程$\dfrac{1}{2024}(y + 1) = 2y + k - 1$，令$y + 1 = x$，则方程可转化为$\dfrac{1}{2024}x = 2(x - 1) + k - 1$，整理得$\dfrac{1}{2024}x = 2x + k - 3$，该方程与解为2025的方程$\dfrac{1}{2024}x + 3 = 2x + k$（即$\dfrac{1}{2024}x = 2x + k - 3$）结构一致，因此$x = 2025$，即$y + 1 = 2025$，解得$y = 2024$。
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n=4.5$或$n=-3.5$；(3) $y=2024$
【知识点】
一元一次方程的解、新定义应用、换元思想
【点评】
本题为新定义类型的一元一次方程综合题，核心是理解“美好方程”的定义，将新定义转化为方程解的关系，解题中需注意分类讨论（第2问）和换元思想（第3问）的运用，考察学生对新定义的理解与方程变形能力，属于中等难度题目。
【难度系数】
0.6
