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1. 观察下列等式：$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，…根据其中规律可得$3^{2025}$的个位数字是
3
.答案
∵3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，
∴末尾数字每四个数一循环.
又2025÷4=506……1，
∴3²⁰²⁵的个位数字是3.
解析
【分析】首先观察3的正整数次幂的个位数字，发现其按3、9、7、1的顺序循环，周期为4。要确定$3^{2025}$的个位数字，只需计算2025除以周期4的余数，根据余数对应循环中的位置即可得出结果。
【解析】先列举3的幂次的个位数字：$3^1$的个位是3，$3^2$的个位是9，$3^3$的个位是7，$3^4$的个位是1，$3^5$的个位是3，……，可知个位数字每4个为一个循环，循环节为3、9、7、1。计算2025除以4的结果：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应循环节的第1个数字，即3。
【答案】3
【知识点】数字规律探究，有理数的乘方
【点评】本题是基础的规律探究题，核心是发现3的幂次个位数字的循环周期，通过计算余数确定对应位置，主要考查学生的观察归纳能力，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】先列举3的幂次的个位数字：$3^1$的个位是3，$3^2$的个位是9，$3^3$的个位是7，$3^4$的个位是1，$3^5$的个位是3，……，可知个位数字每4个为一个循环，循环节为3、9、7、1。计算2025除以4的结果：$2025÷4=506······1$，余数为1，对应循环节的第1个数字，即3。
【答案】3
【知识点】数字规律探究，有理数的乘方
【点评】本题是基础的规律探究题，核心是发现3的幂次个位数字的循环周期，通过计算余数确定对应位置，主要考查学生的观察归纳能力，难度较低。
【难度系数】0.7
变式 1.1 （2025·江西赣州期中改编）观察下列算式：
$2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,2^{4}=16,2^{5}=32,2^{6}=64,$
$2^{7}=128,···.$ 根据上式算式中的规律推测 $2^{2\,025}$ 的个位数字为(
A.2
B.4
C.6
D.8
$2^{1}=2,2^{2}=4,2^{3}=8,2^{4}=16,2^{5}=32,2^{6}=64,$
$2^{7}=128,···.$ 根据上式算式中的规律推测 $2^{2\,025}$ 的个位数字为(
A
).A.2
B.4
C.6
D.8
答案
由题知，2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，2⁶=64，2⁷=128，…，
所以从2¹开始，底数为2的乘方运算结果的个位数字按2,4,8,6循环.
因为2025÷4=506……1，所以2²⁰²⁵的个位数字为2.
故选A.
所以从2¹开始，底数为2的乘方运算结果的个位数字按2,4,8,6循环.
因为2025÷4=506……1，所以2²⁰²⁵的个位数字为2.
故选A.
解析
【分析】首先观察2的各次幂的个位数字，发现其按2、4、8、6循环，周期为4；再计算2025除以周期4的余数，根据余数对应循环中的位置，即可确定$2^{2025}$的个位数字。
【解析】先列出2的幂次的个位数字：$2^1$个位是2，$2^2$个位是4，$2^3$个位是8，$2^4$个位是6，$2^5$个位是2，可见个位数字以“2、4、8、6”为一个周期循环，周期长度为4。计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$2^{2025}$的个位数字对应循环中的第1个数字，即2。
【答案】A
【知识点】数字的循环规律；有理数的乘方
【点评】本题为基础规律探究题，核心是通过观察乘方结果的个位数字找到循环周期，利用周期规律解题，重点考查观察归纳能力。
【难度系数】0.6
【解析】先列出2的幂次的个位数字：$2^1$个位是2，$2^2$个位是4，$2^3$个位是8，$2^4$个位是6，$2^5$个位是2，可见个位数字以“2、4、8、6”为一个周期循环，周期长度为4。计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$2^{2025}$的个位数字对应循环中的第1个数字，即2。
【答案】A
【知识点】数字的循环规律；有理数的乘方
【点评】本题为基础规律探究题，核心是通过观察乘方结果的个位数字找到循环周期，利用周期规律解题，重点考查观察归纳能力。
【难度系数】0.6
变式1.2 实验班原创 计算 $7 × 17 × 27 × 37 × 47 × \dots × 247$ 结果的个位数字是(
A.8
B.7
C.6
D.5
B
).A.8
B.7
C.6
D.5
答案
∵7，7×7=49，7×7×7=343，7×7×7×7=2401，7×7×7×7×7=16807，…，1个7的个位数字为7，2个7相乘的个位数字为9，3个7相乘的个位数字为3，4个7相乘的个位数字为1，5个7相乘的个位数字为7，…，
∴个位数字是7的数相乘所得积的个位数字是以7,9,3,1为一个循环周期，
∴7×17×27×37×47×…×247的个位数字即为25个7相乘的个位数字.
∵25÷4=6……1，
∴7×17×27×37×47×…×247的积的个位数字是7. 故选B.
解析
【分析】
要计算多个个位为7的数相乘的积的个位数字，需先找出个位为7的数相乘时个位数字的循环规律，再确定参与相乘的数的总个数，最后用总个数除以循环周期，根据余数对应循环中的数字，即可得到结果。
【解析】
1. 先探究个位为7的数相乘的个位数字规律：
1个7相乘，个位数字为7；
2个7相乘（7×7=49），个位数字为9；
3个7相乘（49×7=343），个位数字为3；
4个7相乘（343×7=2401），个位数字为1；
5个7相乘，个位数字回到7，因此个位数字的循环周期为4，循环序列为7,9,3,1。
2. 确定参与相乘的数的总个数：
题目中的数是7,17,27,…,247，为首项7、公差10、末项247的等差数列，项数为：(247-7)÷10 +1=25个。
3. 计算余数判断个位数字：
总个数25除以周期4，得25÷4=6……1，余数为1，对应循环序列的第1个数字7，因此积的个位数字为7。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法的个位规律、循环周期问题
【点评】
本题通过寻找个位数字的循环周期简化复杂乘法计算，核心是准确确定循环周期和参与运算的数的个数，属于规律应用类基础题，考查学生对数字规律的观察与应用能力。
【难度系数】
0.3
要计算多个个位为7的数相乘的积的个位数字，需先找出个位为7的数相乘时个位数字的循环规律，再确定参与相乘的数的总个数，最后用总个数除以循环周期，根据余数对应循环中的数字，即可得到结果。
【解析】
1. 先探究个位为7的数相乘的个位数字规律：
1个7相乘，个位数字为7；
2个7相乘（7×7=49），个位数字为9；
3个7相乘（49×7=343），个位数字为3；
4个7相乘（343×7=2401），个位数字为1；
5个7相乘，个位数字回到7，因此个位数字的循环周期为4，循环序列为7,9,3,1。
2. 确定参与相乘的数的总个数：
题目中的数是7,17,27,…,247，为首项7、公差10、末项247的等差数列，项数为：(247-7)÷10 +1=25个。
3. 计算余数判断个位数字：
总个数25除以周期4，得25÷4=6……1，余数为1，对应循环序列的第1个数字7，因此积的个位数字为7。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘法的个位规律、循环周期问题
【点评】
本题通过寻找个位数字的循环周期简化复杂乘法计算，核心是准确确定循环周期和参与运算的数的个数，属于规律应用类基础题，考查学生对数字规律的观察与应用能力。
【难度系数】
0.3
变式1.3 （2025·山东滨州期中）计算：$3^{1}+1=4,3^{2}+1=10,3^{3}+1=28,3^{4}+1=82,3^{5}+1=244,···,$归纳计算结果,猜测$3^{2023}+1$的个位数字是(
A.0
B.2
C.4
D.8
D
).A.0
B.2
C.4
D.8
答案
3¹+1=4，3²+1=10，3³+1=28，3⁴+1=82，3⁵+1=244，3⁶+1=730，3⁷+1=2188，3⁸+1=6562，…，
由此可知，当n=4k-3(k为正整数)时，3ⁿ+1的个位数字为4；
当n=4k-2时，3ⁿ+1的个位数字为0；当n=4k-1(k为整数)时，3ⁿ+1的个位数字为8；当n=4k(k为整数)时，3ⁿ+1的个位数字为2.
∵2023=506×4-1，
∴3²⁰²³+1的个位数字是8.
故选D.
由此可知，当n=4k-3(k为正整数)时，3ⁿ+1的个位数字为4；
当n=4k-2时，3ⁿ+1的个位数字为0；当n=4k-1(k为整数)时，3ⁿ+1的个位数字为8；当n=4k(k为整数)时，3ⁿ+1的个位数字为2.
∵2023=506×4-1，
∴3²⁰²³+1的个位数字是8.
故选D.
解析
【分析】
要解决这道题，需先观察已知计算结果的个位数字，找出其循环规律（周期），再根据2023与周期的关系，确定对应位置的个位数字。具体步骤：1. 列出各计算结果的个位数字，发现循环周期；2. 计算2023对应周期中的位置；3. 根据位置得出个位数字，选出答案。
【解析】
先计算各算式结果的个位数字：
$3^1+1=4$，个位为4；
$3^2+1=10$，个位为0；
$3^3+1=28$，个位为8；
$3^4+1=82$，个位为2；
$3^5+1=244$，个位为4；
……
由此可知，$3^n+1$的个位数字按4、0、8、2循环，周期为4。
判断2023对应的周期位置：因为$2023=4×506 -1$，即n=4k-1（k为正整数），对应循环中的个位数字为8。
因此，$3^{2023}+1$的个位数字是8。
【答案】
D
【知识点】
找规律，有理数的乘方
【点评】
本题通过归纳计算结果的个位数字规律，利用周期解决问题，考查学生的归纳推理能力，是常见的规律探究题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先观察已知计算结果的个位数字，找出其循环规律（周期），再根据2023与周期的关系，确定对应位置的个位数字。具体步骤：1. 列出各计算结果的个位数字，发现循环周期；2. 计算2023对应周期中的位置；3. 根据位置得出个位数字，选出答案。
【解析】
先计算各算式结果的个位数字：
$3^1+1=4$，个位为4；
$3^2+1=10$，个位为0；
$3^3+1=28$，个位为8；
$3^4+1=82$，个位为2；
$3^5+1=244$，个位为4；
……
由此可知，$3^n+1$的个位数字按4、0、8、2循环，周期为4。
判断2023对应的周期位置：因为$2023=4×506 -1$，即n=4k-1（k为正整数），对应循环中的个位数字为8。
因此，$3^{2023}+1$的个位数字是8。
【答案】
D
【知识点】
找规律，有理数的乘方
【点评】
本题通过归纳计算结果的个位数字规律，利用周期解决问题，考查学生的归纳推理能力，是常见的规律探究题，难度适中。
【难度系数】
0.6
2 观察下面一行数：$-2,4,-8,16,-32,64,\dots,$
则第 $n$ 个数为
则第 $n$ 个数为
$(-2)^n$
.答案
观察这行数可知，后一个数总是前一个数的-2倍. 因为第一个数为-2，所以第n个数可表示为(-2)ⁿ.
解析
【分析】
先将数列的每一项与对应的项数n（第1项对应n=1，第2项对应n=2……）建立联系，分别分析各项的符号和绝对值的规律，发现每一项都符合(-2)的n次幂的形式，进而归纳出第n个数的表达式。
【解析】
观察数列的各项：
当n=1时，第1个数为-2=(-2)¹；
当n=2时，第2个数为4=(-2)²；
当n=3时，第3个数为-8=(-2)³；
当n=4时，第4个数为16=(-2)⁴；
……
由此可归纳得出，第n个数为(-2)ⁿ。
【答案】
(-2)ⁿ
【知识点】
数列规律探究、有理数的乘方
【点评】
本题是基础的数列规律题，通过观察项数与对应数值的关系，结合乘方知识即可求解，主要考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
先将数列的每一项与对应的项数n（第1项对应n=1，第2项对应n=2……）建立联系，分别分析各项的符号和绝对值的规律，发现每一项都符合(-2)的n次幂的形式，进而归纳出第n个数的表达式。
【解析】
观察数列的各项：
当n=1时，第1个数为-2=(-2)¹；
当n=2时，第2个数为4=(-2)²；
当n=3时，第3个数为-8=(-2)³；
当n=4时，第4个数为16=(-2)⁴；
……
由此可归纳得出，第n个数为(-2)ⁿ。
【答案】
(-2)ⁿ
【知识点】
数列规律探究、有理数的乘方
【点评】
本题是基础的数列规律题，通过观察项数与对应数值的关系，结合乘方知识即可求解，主要考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.6
变式2.1 观察下列等式：
第1层:$1+2=3$；
第2层:$4+5+6=7+8$；
第3层:$9+10+11+12=13+14+15$；
第4层:$16+17+18+19+20=21+22+23+24$；
…，
在上述数字宝塔中，从上往下数，那么2025在第
第1层:$1+2=3$；
第2层:$4+5+6=7+8$；
第3层:$9+10+11+12=13+14+15$；
第4层:$16+17+18+19+20=21+22+23+24$；
…，
在上述数字宝塔中，从上往下数，那么2025在第
45
层.答案
∵1+2=3，共有3个数；4+5+6=7+8，共有5个数；9+10+11+12=13+14+15，共有7个数；…，
由此可知，每一层都有奇数个数，从第一层开始，到第n层结束共有3+5+7+…+(2n+1)=(n²+2n)个数. 又因为44²+2×44＜2025＜45²+2×45，
所以2025在第45层.
解析
【分析】
要确定2025在数字宝塔的第几层，需先观察每层的核心规律：①每层的第一个数是该层序号的平方，即第n层首数为n²；②每层的数字个数是从3开始的连续奇数，第n层有(2n+1)个数字。接着计算前n层的总数字数，通过比较2025与前n层总数字数的范围，即可确定其所在层数。
【解析】
1. 总结规律：
第1层首数：1=1²，第2层首数：4=2²，第3层首数：9=3²，…，故第n层首数为n²；
第1层数字个数：3=2×1+1，第2层：5=2×2+1，第3层：7=2×3+1，…，故第n层数字个数为(2n+1)个。
2. 计算前n层总数字数：
前n层数字数构成首项为3、末项为(2n+1)、项数为n的等差数列，求和得：
$ S_n = \frac{n(3 + 2n + 1)}{2} = n(n+2) = n^2 + 2n $。
3. 确定2025所在层数：
当n=44时，$ S_{44}=44^2 + 2×44=1936+88=2024 $；
当n=45时，$ S_{45}=45^2 + 2×45=2025+90=2115 $；
因为2024＜2025≤2115，所以2025在第45层。
【答案】
45
【知识点】
数字规律探索，等差数列求和
【点评】
本题为典型的数字规律探索题，需通过观察每层的首数、数字个数变化归纳规律，结合等差数列求和公式计算总数字数，进而确定目标数的位置，重点考查学生的规律观察与归纳能力。
【难度系数】
0.6
要确定2025在数字宝塔的第几层，需先观察每层的核心规律：①每层的第一个数是该层序号的平方，即第n层首数为n²；②每层的数字个数是从3开始的连续奇数，第n层有(2n+1)个数字。接着计算前n层的总数字数，通过比较2025与前n层总数字数的范围，即可确定其所在层数。
【解析】
1. 总结规律：
第1层首数：1=1²，第2层首数：4=2²，第3层首数：9=3²，…，故第n层首数为n²；
第1层数字个数：3=2×1+1，第2层：5=2×2+1，第3层：7=2×3+1，…，故第n层数字个数为(2n+1)个。
2. 计算前n层总数字数：
前n层数字数构成首项为3、末项为(2n+1)、项数为n的等差数列，求和得：
$ S_n = \frac{n(3 + 2n + 1)}{2} = n(n+2) = n^2 + 2n $。
3. 确定2025所在层数：
当n=44时，$ S_{44}=44^2 + 2×44=1936+88=2024 $；
当n=45时，$ S_{45}=45^2 + 2×45=2025+90=2115 $；
因为2024＜2025≤2115，所以2025在第45层。
【答案】
45
【知识点】
数字规律探索，等差数列求和
【点评】
本题为典型的数字规律探索题，需通过观察每层的首数、数字个数变化归纳规律，结合等差数列求和公式计算总数字数，进而确定目标数的位置，重点考查学生的规律观察与归纳能力。
【难度系数】
0.6
变式2.2 (2025·福建厦门同安区期末)学习完有理数的乘方后,老师提出了一个问题供同学们思考,请你写出思考后解答过程:
观察下列三行数:
$0,3,8,15,24,\dots; \textcircled{1}$
$2,5,10,17,26,\dots; \textcircled{2}$
$0,-6,-16,-30,-48,\dots \textcircled{3}$
(1)第①行数中的第7个数是__________.
(2)第②行数中的第7个数是__________;第③行数中的第7个数是__________.
(3)取每行的第10个数,计算这三个数的和.
观察下列三行数:
$0,3,8,15,24,\dots; \textcircled{1}$
$2,5,10,17,26,\dots; \textcircled{2}$
$0,-6,-16,-30,-48,\dots \textcircled{3}$
(1)第①行数中的第7个数是__________.
(2)第②行数中的第7个数是__________;第③行数中的第7个数是__________.
(3)取每行的第10个数,计算这三个数的和.
答案
(1)
∵第①行数中的数是序数的平方与1的差，
∴第①行数中的第7个数是7²-1=48.
(2)
∵第②行中的每个数是第①行中相应的数与2的和，第③行中的每个数等于第①行相应数乘-2，
∴第②行数中的第7个数是48+2=50，第③行数中的第7个数是-2×48=-96.
(3)取每行的第10个数，则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.
∵第①行数中的数是序数的平方与1的差，
∴第①行数中的第7个数是7²-1=48.
(2)
∵第②行中的每个数是第①行中相应的数与2的和，第③行中的每个数等于第①行相应数乘-2，
∴第②行数中的第7个数是48+2=50，第③行数中的第7个数是-2×48=-96.
(3)取每行的第10个数，则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.
解析
【分析】
要解决这道题，需先观察三行数的规律：首先分析第①行的数，发现每个数是对应序数的平方减1；再根据第②行、第③行与第①行的关系推导它们的规律，最后利用规律计算指定位置的数及和。
【解析】
(1) 观察第①行的数：第1个数是$1^2 -1=0$，第2个数是$2^2 -1=3$，第3个数是$3^2 -1=8$，……，因此第①行第$n$个数为$n^2 -1$。当$n=7$时，第7个数为$7^2 -1=49-1=48$。
(2) 观察第②行的数：第1个数是$0+2=2$，第2个数是$3+2=5$，第3个数是$8+2=10$，……，可知第②行每个数是第①行对应数加2；第③行的数：第1个数是$0×(-2)=0$，第2个数是$3×(-2)=-6$，第3个数是$8×(-2)=-16$，……，可知第③行每个数是第①行对应数乘$-2$。
因此，第②行第7个数为$48+2=50$，第③行第7个数为$48×(-2)=-96$。
(3) 计算每行第10个数：第①行第10个数为$10^2 -1=99$；第②行第10个数为$99+2=101$；第③行第10个数为$99×(-2)=-198$。
三个数的和为$99+101+(-198)=2$。
【答案】
(1)48；(2)50，-96；(3)2
【知识点】
有理数的乘方，数列规律，有理数的运算
【点评】
本题通过观察数列的变化规律，结合有理数的乘方和运算求解，核心是找准第①行的规律，再推导其他行与第①行的关系，考查学生的观察分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先观察三行数的规律：首先分析第①行的数，发现每个数是对应序数的平方减1；再根据第②行、第③行与第①行的关系推导它们的规律，最后利用规律计算指定位置的数及和。
【解析】
(1) 观察第①行的数：第1个数是$1^2 -1=0$，第2个数是$2^2 -1=3$，第3个数是$3^2 -1=8$，……，因此第①行第$n$个数为$n^2 -1$。当$n=7$时，第7个数为$7^2 -1=49-1=48$。
(2) 观察第②行的数：第1个数是$0+2=2$，第2个数是$3+2=5$，第3个数是$8+2=10$，……，可知第②行每个数是第①行对应数加2；第③行的数：第1个数是$0×(-2)=0$，第2个数是$3×(-2)=-6$，第3个数是$8×(-2)=-16$，……，可知第③行每个数是第①行对应数乘$-2$。
因此，第②行第7个数为$48+2=50$，第③行第7个数为$48×(-2)=-96$。
(3) 计算每行第10个数：第①行第10个数为$10^2 -1=99$；第②行第10个数为$99+2=101$；第③行第10个数为$99×(-2)=-198$。
三个数的和为$99+101+(-198)=2$。
【答案】
(1)48；(2)50，-96；(3)2
【知识点】
有理数的乘方，数列规律，有理数的运算
【点评】
本题通过观察数列的变化规律，结合有理数的乘方和运算求解，核心是找准第①行的规律，再推导其他行与第①行的关系，考查学生的观察分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
