登录
1. 如图是 $y$ 关于 $x$ 的函数图象,其中点 $C$ 在$x$ 轴上,$AB// OC$. 在下列情境中,$x,y$ 的函数关系可以用该图象表示的是 （
①向一个空水槽先匀速注水,水槽装满后停止注水一段时间,再打开排水管,将水匀速排空.水槽中水的体积 $y(\mathrm{L})$ 随时间 $x(\mathrm{min})$ 的变化而变化.
②小明从家出发骑车沿一条直路去学校上学,先加速骑行,再匀速骑行,最后减速骑行.小明离家的路程 $y(\mathrm{km})$ 随时间$x(\mathrm{min})$ 的变化而变化.
③一列高铁从甲地到乙地,速度先匀速增加,达到某一定值后保持不变,然后再匀速减小.高铁行驶的速度 $y(\mathrm{km/min})$随时间 $x(\mathrm{min})$ 的变化而变化.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
C
）①向一个空水槽先匀速注水,水槽装满后停止注水一段时间,再打开排水管,将水匀速排空.水槽中水的体积 $y(\mathrm{L})$ 随时间 $x(\mathrm{min})$ 的变化而变化.
②小明从家出发骑车沿一条直路去学校上学,先加速骑行,再匀速骑行,最后减速骑行.小明离家的路程 $y(\mathrm{km})$ 随时间$x(\mathrm{min})$ 的变化而变化.
③一列高铁从甲地到乙地,速度先匀速增加,达到某一定值后保持不变,然后再匀速减小.高铁行驶的速度 $y(\mathrm{km/min})$随时间 $x(\mathrm{min})$ 的变化而变化.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
1. C 提示:针对三种情境分别讨论:①向一个空水槽先匀速注水,水槽中水的体积随时间的增加而增加;水槽装满后停止注水一段时间,时间增加,体积不变;再打开排水管,将水匀速排空,水槽中水的体积随时间的增加而减少.②小明从家出发骑车沿一条直路去学校上学,先加速骑行,再匀速骑行,最后减速骑行,整个过程中,离家的路程一直随时间的增加而增加.③高铁行驶的速度先匀速增加,达到某一定值后保持不变,然后再匀速减小,则高铁行驶的速度随时间的增加而增加,继而不变,最后减小.综上所述,①③符合题意.
2. 已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}ax-by=6b,\\ mx-ny=2n\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x=4,\\ y=2,\end{cases}$ 则一次函数 $y=\dfrac{a}{b}x-4$ 与 $y=\dfrac{m}{n}x$ 的图象交点的坐标是 ______ .
答案
2. (4,4) 提示:把 $\begin{cases}x=4,\\ y=2\end{cases}$ 代入方程组$\begin{cases}ax-by=6b,\\ mx-ny=2n,\end{cases}$ 得$\begin{cases}4a-2b=6b,\\ 4m-2n=2n,\end{cases}$ 即$\begin{cases}\dfrac{a}{b}=2,\\ \dfrac{m}{n}=1.\end{cases}$ 把$\dfrac{m}{n}=1$代入$y=\dfrac{m}{n}x$,得$y=x$;把$\dfrac{a}{b}=2$代入$y=\dfrac{a}{b}x-4$,得$y=2x-4$.联立,得$\begin{cases}y=2x-4,\\ y=x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=4,\\ y=4,\end{cases}$ 则图象交点的坐标是(4,4).
3. 在平面直角坐标系中,过不在坐标轴上的一点 $ P $ 作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成长方形的周长为 $ m $,则点 $ P $ 称为“$ m - $ 周长点”. 如图,过点 $ P(-1,2) $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线,与坐标轴围成的长方形 $ AOBP $ 的周长为 6,则点 $ P $ 为“6 - 周长点”.
【概念理解】
(1) 填空(填“是”或“不是”)：
点 $ M(2,2) $
点 $ N(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}) $
【探究发现】
(2) 若点 $ P(x,y) $ 在第一象限,且点 $ P $ 是“4 - 周长点”,求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(3) 若点 $ P_1,P_2 $ 是“4 - 周长点”(点 $ P_1,P_2 $ 不重合),且位于同一象限,点 $ Q_1,Q_2 $ 是“6 - 周长点”(点 $ Q_1,Q_2 $ 不重合),且位于同一象限,则直线 $ P_1P_2 $ 与直线 $ Q_1Q_2 $ 可能
①平行；②垂直；③是同一条直线；④相交但不垂直.
【综合应用】
(4) 已知在 $ x $ 轴上方的点 $ P $ 是“6 - 周长点”,且在一次函数 $ y = 2x + n $ 的图象上,点 $ A $ 的坐标为 $ (0,8) $. 若 $ △ OAP $ 的面积为 8,求 $ n $ 的值.
【概念理解】
(1) 填空(填“是”或“不是”)：
点 $ M(2,2) $
是
“8 - 周长点”；点 $ N(-\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{2}) $
不是
“5 - 周长点”.【探究发现】
(2) 若点 $ P(x,y) $ 在第一象限,且点 $ P $ 是“4 - 周长点”,求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(3) 若点 $ P_1,P_2 $ 是“4 - 周长点”(点 $ P_1,P_2 $ 不重合),且位于同一象限,点 $ Q_1,Q_2 $ 是“6 - 周长点”(点 $ Q_1,Q_2 $ 不重合),且位于同一象限,则直线 $ P_1P_2 $ 与直线 $ Q_1Q_2 $ 可能
①②
(写出所有可能的序号).①平行；②垂直；③是同一条直线；④相交但不垂直.
【综合应用】
(4) 已知在 $ x $ 轴上方的点 $ P $ 是“6 - 周长点”,且在一次函数 $ y = 2x + n $ 的图象上,点 $ A $ 的坐标为 $ (0,8) $. 若 $ △ OAP $ 的面积为 8,求 $ n $ 的值.
答案
3. 解:(1) 是 不是
(2) 因为点 $ P(x,y) $ 在第一象限,且点 $ P $ 是“4 -周长点”,所以 $ x+y=2 $ 且 $ x＞0,y＞0 $,所以 $ x＜2 $,所以 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y=-x+2(0＜x＜2) $.
(3) ①② 提示:①因为点 $ P_1,P_2 $ 是“4 -周长点”,所以 $ |x|+|y|=2 $,所以当 $ x＞0,y＞0 $ 时,$ y=-x+2 $;当 $ x＞0,y＜0 $ 时,$ y=x-2 $;当 $ x＜0,y＜0 $ 时,$ y=-x-2 $;当 $ x＜0,y＞0 $ 时,$ y=x+2 $. 因为点 $ Q_1,Q_2 $ 是“6 -周长点”,所以 $ |x|+|y|=3 $. 所以当 $ x＞0,y＞0 $ 时,$ y=-x+3 $;当 $ x＞0,y＜0 $ 时,$ y=x-3 $;当 $ x＜0 $,$ y＜0 $ 时,$ y=-x-3 $;当 $ x＜0,y＞0 $ 时,$ y=x+3 $. 所以直线 $ P_1P_2 $ 与直线 $ Q_1Q_2 $ 可能平行或垂直.
(4) 设点 $ P(m,2m+n) $. 因为点 $ A $ 的坐标为(0,8),所以 $ OA=8 $. 因为 $ △ OAP $ 的面积为 8,所以 $ \dfrac{1}{2}×8|m|=8 $,解得 $ m=2 $ 或 $ m=-2 $. 当 $ m=2 $ 时,点 $ P(2,4+n) $,所以 $ 2+4+n=3 $,解得 $ n=-3 $;当 $ m=-2 $ 时,点 $ P(-2,-4+n) $,所以 $ 2-4+n=3 $,解得 $ n=5 $. 综上所述,$ n $ 的值为 5 或-3.
(2) 因为点 $ P(x,y) $ 在第一象限,且点 $ P $ 是“4 -周长点”,所以 $ x+y=2 $ 且 $ x＞0,y＞0 $,所以 $ x＜2 $,所以 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y=-x+2(0＜x＜2) $.
(3) ①② 提示:①因为点 $ P_1,P_2 $ 是“4 -周长点”,所以 $ |x|+|y|=2 $,所以当 $ x＞0,y＞0 $ 时,$ y=-x+2 $;当 $ x＞0,y＜0 $ 时,$ y=x-2 $;当 $ x＜0,y＜0 $ 时,$ y=-x-2 $;当 $ x＜0,y＞0 $ 时,$ y=x+2 $. 因为点 $ Q_1,Q_2 $ 是“6 -周长点”,所以 $ |x|+|y|=3 $. 所以当 $ x＞0,y＞0 $ 时,$ y=-x+3 $;当 $ x＞0,y＜0 $ 时,$ y=x-3 $;当 $ x＜0 $,$ y＜0 $ 时,$ y=-x-3 $;当 $ x＜0,y＞0 $ 时,$ y=x+3 $. 所以直线 $ P_1P_2 $ 与直线 $ Q_1Q_2 $ 可能平行或垂直.
(4) 设点 $ P(m,2m+n) $. 因为点 $ A $ 的坐标为(0,8),所以 $ OA=8 $. 因为 $ △ OAP $ 的面积为 8,所以 $ \dfrac{1}{2}×8|m|=8 $,解得 $ m=2 $ 或 $ m=-2 $. 当 $ m=2 $ 时,点 $ P(2,4+n) $,所以 $ 2+4+n=3 $,解得 $ n=-3 $;当 $ m=-2 $ 时,点 $ P(-2,-4+n) $,所以 $ 2-4+n=3 $,解得 $ n=5 $. 综上所述,$ n $ 的值为 5 或-3.
