1. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣.”也就是说，图1中直角三角形的三边长$a,b,c$存在$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的关系. 他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将边长为$a$的正方形和边长为$b$的正方形置于边长为$c$的大正方形的左下角和右上角. 若$(c-a)(c-b)=13$，则$a+$$b-c=$.

1. $\sqrt{26}$ 提示: 如图, 图中阴影部分的面积为 $c^{2}-b^{2}=a^{2},AB=c-b,AC=c-a,DE=a-(c-b)=a+b-c$. 因为$(c-a)(c-b)=c^{2}-bc-ca+ab=13$, 所以 $AB · AC=13$, 即 $S_{长方形ACDB}=13$. 因为 $S_{阴影}=2S_{长方形ACDB}+a^{2}-(a+b-c)^{2}=a^{2}$, 所以$(a+b-c)^{2}=26$. 因为 $a+b＞c$, 即 $a+b-c＞0$, 所以 $a+b-c=\sqrt{26}$.

2. 综合与实践:研究$△ ABC$的角平分线$AD$的性质.
【问题提出】
如下图,$AD$是$△ ABC$的角平分线,某数学兴趣小组进行了如下探究:

分别过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥$$AC$于点$F$.由角平分线的性质,得$DE=$$DF$,进一步证得$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\dfrac{AB}{AC}$.于是小组成员们提出了一个新的问题:$\dfrac{AB}{AC}$与$\dfrac{BD}{CD}$有什么数量关系呢?
【特例感知】
(1) 如图 1,$AD$是$△ ABC$的角平分线,若$AB=AC$,则$\dfrac{AB}{AC}\_\_\_\_\_\_\dfrac{BD}{CD}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).

【深入探究】
(2) 如图 2,$AD$是$△ ABC$的角平分线,当$AB ≠ AC$时,该小组成员猜想:可以再次利用面积法,类比证明出$\dfrac{AB}{AC}$与$\dfrac{BD}{CD}$的数量关系.请你完成该证明.
【结论应用】
(3) 如图 3,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$E$是边$AB$上一点,使得$AE=2CD$,连接$DE$.若$BD=6$,$BE=CD=4$,则$DE=\_\_\_\_\_\_$.

(4) 如图 4,$AD$与$CE$均为$△ ABC$的角平分线,且$CE$与$AD$相交于点$O$.若$∠ ABC=60^{ \circ }$,$\dfrac{EO}{CO}=\dfrac{3}{7}$,则$\dfrac{AO}{CO}$的值是________.

2. (1) $=$ 提示: 因为 $AB=AC,AD$ 平分$∠ BAC$,所以 $AD$ 平分 $BC$,即 $BD=CD$,所以 $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=1$.
(2) 证明:设$△ ABC$边 $BC$ 上的高为$h$,则$\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BD · h}{\dfrac{1}{2}CD · h}=\dfrac{BD}{CD}$. 又因为 $\dfrac{S_{△ ABD}}{S_{△ ADC}}=\dfrac{AB}{AC}$,所以$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$.
(3) $4$ 提示: 因为 $AE=2CD=8,BE=4$,所以$AB=AE+BE=12$. 由(2)可知,$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}$,所以 $\dfrac{12}{AC}=\dfrac{6}{4}$,所以 $AC=8$,所以 $AE=AC$. 因为 $AD$ 平分$∠ BAC$,所以 $∠ DAE = ∠ DAC$. 又因为 $AD = AD$, 所以$△ AED≌△ ACD(\mathrm{SAS})$,所以 $ED=CD=4$.
(4) $\dfrac{3}{4}$ 提示: 如图,在 $AC$ 上取 $AF=AE$,连接$OF$. 因为$∠ ABC=60°$,所以$∠ BAC+∠ BCA=120°$. 因为 $AD$ 平分$∠ BAC$, $CE$ 平分$∠ BCA$,所以$∠ OAC=\dfrac{1}{2}∠ BAC$,$∠ OCA=\dfrac{1}{2}∠ BCA$,所以$∠ OAC+∠ OCA=\dfrac{1}{2}∠ BAC+\dfrac{1}{2}∠ BCA=\dfrac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=\dfrac{1}{2}×120°=60°$,所以$∠ AOC=180-60°=120°$,所以$∠ AOE=180°-∠ AOC=180°-120°=60°$. 因为 $AD$ 平分$∠ BAC$,所以$∠ EAO=∠ FAO$. 又因为 $AE=AF,AO=AO$,所以$△ EAO≌△ FAO(\mathrm{SAS})$,所以$∠ AOE=∠ AOF=60°$,所以$∠ COF=60°$,所以$∠ AOF=∠ COF=60°$,所以 $OF$ 是$△ AOC$ 的角平分线,所以$\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{AF}{CF}$. 又因为$AO$ 是$△ ACE$ 的角平分线,所以 $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EO}{CO}=\dfrac{3}{7}$,所以$\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{3}{7}$,所以 $AF=\dfrac{3}{7}AC$,所以 $CF=\dfrac{4}{7}AC$,所以$\dfrac{AO}{CO}=\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{\dfrac{3}{7}AC}{\dfrac{4}{7}AC}=\dfrac{3}{4}$.