19. (9分)如图,边长为a的正方形ABCD和边长为b(a ＞ b)的正方形CEFG拼在一起,B,C,E三点在同一直线上,设图1,2中阴影部分的面积分别为$S_1,S_2$.
(1)如图1,$S_1$的值与a的大小有关吗?说明理由;
(2)如图2,若$a - b = 2,a^2 + b^2 = 7$,求$S_2^2$的值.

【点拨】本题考查整式的混合运算,完全平方公式.
【解析】(1)$S_1$的值与$a$的大小无关.理由如下:
由题意知$S_1 = a^2 + b^2 - \dfrac{1}{2}(a+b)· a - \dfrac{1}{2}(a-b)· a - \dfrac{1}{2}b^2 = \dfrac{1}{2}b^2$,$\therefore S_1$的值与$a$的大小无关.
(2)$\because S_2 = \dfrac{1}{2}(a-b)· a + \dfrac{1}{2}(a-b)· b = \dfrac{1}{2}(a-b)(a+b)$,
$\therefore S_2^2 = \dfrac{1}{4}(a-b)^2(a+b)^2$.
$\because a-b=2$,$\therefore (a-b)^2 = a^2 -2ab +b^2 =4$.
$\because a^2 +b^2 =7$,
$\therefore 2ab=3$,$\therefore (a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2 =10$,
$\therefore S_2^2 = \dfrac{1}{4}×4×10 =10$.

20. (10 分)一个奇数的平方与1的差一定能被8整除吗？说明理由.
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【点拨】本题考查奇数的性质,完全平方公式的应用等.
【解析】能,理由如下:
设这个奇数为$2n+1$,其中$n$是整数,
$(2n+1)^2 -1$
$=4n^2 +4n +1 -1$
$=4n^2 +4n$
$=4n(n+1)$,
$\because n$和$n+1$是两个连续的整数,其中有一个是偶数,
$\therefore n·(n+1)$必是偶数,
设$n·(n+1)=2k$,$k$为整数,则$4n(n+1)=8k$,$\therefore (2n+1)^2 -1$必是8的倍数,
即一个奇数的平方与1的差一定能被8整除.