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例1 如图是一个几何体的三视图，数据如图.该几何体是什么物体？图中数据表示什么？(单位:mm)
【思路导析】从长、宽、高分析.
【请你解答】
【思路导析】从长、宽、高分析.
【请你解答】
答案
解：该几何体是长方体。
图中数据50 mm表示该长方体的高为50 mm，25 mm表示该长方体的长为25 mm，20 mm表示该长方体的宽为20 mm。
图中数据50 mm表示该长方体的高为50 mm，25 mm表示该长方体的长为25 mm，20 mm表示该长方体的宽为20 mm。
解析
【分析】
解题时先从三视图的形状入手判断几何体类型：若一个几何体的三视图均为矩形，说明该几何体是长方体；再结合三视图“长对正、高平齐、宽相等”的对应原则，分析每个数据的含义：三视图中竖直方向共有的长度对应几何体的高，两个不同的水平长度分别对应几何体的长和宽。
【解析】
第一步：判断几何体类型：观察给出的三视图，三个视图均为矩形，因此该几何体为长方体。
第二步：对应数据含义：根据三视图的对应规律，两个竖直视图共同的竖直边长50mm对应长方体的高；其中一个视图的水平长度25mm对应长方体的长，另一个视图的水平长度20mm对应长方体的宽。
【答案】
该几何体是长方体。图中数据50 mm表示该长方体的高为50 mm，25 mm表示该长方体的长为25 mm，20 mm表示该长方体的宽为20 mm。
【知识点】
1. 由三视图判断几何体 2. 三视图的对应规律
【点评】
本题属于三视图相关的基础题型，重点考查对常见几何体三视图的识别能力，以及三视图棱长和几何体棱长的对应关系，熟练掌握三视图的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先从三视图的形状入手判断几何体类型：若一个几何体的三视图均为矩形，说明该几何体是长方体；再结合三视图“长对正、高平齐、宽相等”的对应原则，分析每个数据的含义：三视图中竖直方向共有的长度对应几何体的高，两个不同的水平长度分别对应几何体的长和宽。
【解析】
第一步：判断几何体类型：观察给出的三视图，三个视图均为矩形，因此该几何体为长方体。
第二步：对应数据含义：根据三视图的对应规律，两个竖直视图共同的竖直边长50mm对应长方体的高；其中一个视图的水平长度25mm对应长方体的长，另一个视图的水平长度20mm对应长方体的宽。
【答案】
该几何体是长方体。图中数据50 mm表示该长方体的高为50 mm，25 mm表示该长方体的长为25 mm，20 mm表示该长方体的宽为20 mm。
【知识点】
1. 由三视图判断几何体 2. 三视图的对应规律
【点评】
本题属于三视图相关的基础题型，重点考查对常见几何体三视图的识别能力，以及三视图棱长和几何体棱长的对应关系，熟练掌握三视图的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
例2 已知下面是一个几何体的三视图，试写出该几何体的名称，并画出它的展开图.
【思路导析】这是一个三棱柱.
【请你解答】
【思路导析】这是一个三棱柱.
【请你解答】
答案
解：
该几何体的名称为三棱柱。
该三棱柱的展开图由3个长方形和2个全等的三角形组成：3个长方形为三棱柱的侧面，沿对应相等的侧边顺次相连，2个全等的三角形为三棱柱的两个底面，分别拼接在侧面组合图形的对应边上，使三角形的三条边分别与三个长方形的对应短边长度相等，符合该特征的图形即为该几何体的展开图，展开图形式不唯一，合理即可。
该几何体的名称为三棱柱。
该三棱柱的展开图由3个长方形和2个全等的三角形组成：3个长方形为三棱柱的侧面，沿对应相等的侧边顺次相连，2个全等的三角形为三棱柱的两个底面，分别拼接在侧面组合图形的对应边上，使三角形的三条边分别与三个长方形的对应短边长度相等，符合该特征的图形即为该几何体的展开图，展开图形式不唯一，合理即可。
解析
【分析】
解题时先通过三视图判断几何体类型：第一步观察俯视图，俯视图的形状对应几何体底面的形状，本题俯视图是三角形，说明几何体的底面为三角形；第二步观察主视图和左视图，二者均为矩形，说明该几何体是柱体而非锥体，结合底面为三角形即可确定是三棱柱。再思考展开图的构造：三棱柱属于棱柱，棱柱的展开图由侧面的长方形和两个全等的底面构成，三棱柱底面是三角形，因此侧面有3个长方形，再加2个全等的三角形底面，拼接时保证三角形边长与长方形对应边长度相等即可。
【解析】
1. 判断几何体名称：
由三视图可知，俯视图为三角形，说明几何体的两个底面是三角形；主视图和左视图均为矩形，说明该几何体为柱体，因此可确定该几何体是三棱柱。
2. 分析展开图构成：
三棱柱的展开图由3个长方形和2个全等的三角形组成：3个长方形是三棱柱的侧面，沿对应相等的侧边顺次相连；2个全等的三角形是三棱柱的两个底面，分别拼接在侧面组合图形的对应边上，使三角形的三条边分别与三个长方形的对应短边长度相等即可，展开图形式不唯一，合理即可。
【答案】
该几何体的名称为三棱柱；该三棱柱的展开图由3个顺次相连的长方形（侧面）和2个分别拼接在侧面对应边上的全等三角形（底面）组成，形式合理即可。
【知识点】
由三视图判断几何体；棱柱的展开图
【点评】
本题考查常见几何体的三视图识别和展开图构造，需要熟练掌握柱体的视图特征和展开图的组成结构，能够建立平面图形与立体图形的对应关系，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先通过三视图判断几何体类型：第一步观察俯视图，俯视图的形状对应几何体底面的形状，本题俯视图是三角形，说明几何体的底面为三角形；第二步观察主视图和左视图，二者均为矩形，说明该几何体是柱体而非锥体，结合底面为三角形即可确定是三棱柱。再思考展开图的构造：三棱柱属于棱柱，棱柱的展开图由侧面的长方形和两个全等的底面构成，三棱柱底面是三角形，因此侧面有3个长方形，再加2个全等的三角形底面，拼接时保证三角形边长与长方形对应边长度相等即可。
【解析】
1. 判断几何体名称：
由三视图可知，俯视图为三角形，说明几何体的两个底面是三角形；主视图和左视图均为矩形，说明该几何体为柱体，因此可确定该几何体是三棱柱。
2. 分析展开图构成：
三棱柱的展开图由3个长方形和2个全等的三角形组成：3个长方形是三棱柱的侧面，沿对应相等的侧边顺次相连；2个全等的三角形是三棱柱的两个底面，分别拼接在侧面组合图形的对应边上，使三角形的三条边分别与三个长方形的对应短边长度相等即可，展开图形式不唯一，合理即可。
【答案】
该几何体的名称为三棱柱；该三棱柱的展开图由3个顺次相连的长方形（侧面）和2个分别拼接在侧面对应边上的全等三角形（底面）组成，形式合理即可。
【知识点】
由三视图判断几何体；棱柱的展开图
【点评】
本题考查常见几何体的三视图识别和展开图构造，需要熟练掌握柱体的视图特征和展开图的组成结构，能够建立平面图形与立体图形的对应关系，侧重对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
例3 如图所示的三视图(数据如图所示,单位:mm)表示的几何体的体积是.
【思路导析】这是一个底面半径为3 mm、高为10 mm的圆锥.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】这是一个底面半径为3 mm、高为10 mm的圆锥.
【请你解答】.
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
$\boldsymbol{30π\ \mathrm{mm}^3}$
解析
【分析】
首先根据三视图特征判断几何体：主视图和左视图均为三角形，俯视图为圆，可确定该几何体是圆锥；其次从三视图中提取计算参数：俯视图标注的6是圆锥底面直径，因此底面半径为6÷2=3mm，主视图标注的10是圆锥的高；最后回忆圆锥体积公式，将参数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥。
圆锥底面直径为6mm，因此底面半径$r=\frac{6}{2}=3\mathrm{mm}$，圆锥的高$h=10\mathrm{mm}$。
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数值计算：
$V=\frac{1}{3}π×3^2×10=30π(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$\boldsymbol{30π\ \mathrm{mm}^3}$
【知识点】
三视图识别几何体、圆锥体积计算
【点评】
本题是立体图形计算的基础题型，解题关键是准确通过三视图还原几何体，并正确提取对应的底面半径、高等参数，牢记常见几何体的体积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
首先根据三视图特征判断几何体：主视图和左视图均为三角形，俯视图为圆，可确定该几何体是圆锥；其次从三视图中提取计算参数：俯视图标注的6是圆锥底面直径，因此底面半径为6÷2=3mm，主视图标注的10是圆锥的高；最后回忆圆锥体积公式，将参数代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由三视图可知该几何体为圆锥。
圆锥底面直径为6mm，因此底面半径$r=\frac{6}{2}=3\mathrm{mm}$，圆锥的高$h=10\mathrm{mm}$。
根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$，代入数值计算：
$V=\frac{1}{3}π×3^2×10=30π(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$\boldsymbol{30π\ \mathrm{mm}^3}$
【知识点】
三视图识别几何体、圆锥体积计算
【点评】
本题是立体图形计算的基础题型，解题关键是准确通过三视图还原几何体，并正确提取对应的底面半径、高等参数，牢记常见几何体的体积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
例4 根据物体的展开图画出三视图，
并求出物体的表面积.
【探究点拨】这是一个底面直径为10、高为
25的圆柱的展开图.
【规范解答】三视图如下：
表面积$=10π×25 + 2×π×(\dfrac{10}{2})^2=300π$.
变式探究
根据展开图及数据：
(1)画出立体图；
(2)求相应几何体的表面积及体积.
并求出物体的表面积.
【探究点拨】这是一个底面直径为10、高为
25的圆柱的展开图.
【规范解答】三视图如下：
表面积$=10π×25 + 2×π×(\dfrac{10}{2})^2=300π$.
变式探究
根据展开图及数据：
(1)画出立体图；
(2)求相应几何体的表面积及体积.
答案
解：
(1) 该立体为底面边长为10、侧棱长为20的正三棱柱，立体图（略，绘制上下底面为全等正三角形、侧面为三个全等矩形的直棱柱即可）。
(2) 由展开图可知该几何体是正三棱柱，底面为边长等于10的等边三角形，棱柱的高为20。
侧面积：$3 × 10 × 20 = 600$
底面等边三角形的高为$\sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$，单个底面面积为$\frac{1}{2} × 10 × 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$
表面积：$600 + 2 × 25\sqrt{3} = 600 + 50\sqrt{3}$
体积：$S_{\mathrm{底}} × h = 25\sqrt{3} × 20 = 500\sqrt{3}$
答：该几何体的表面积为$600+50\sqrt{3}$，体积为$500\sqrt{3}$。
(1) 该立体为底面边长为10、侧棱长为20的正三棱柱，立体图（略，绘制上下底面为全等正三角形、侧面为三个全等矩形的直棱柱即可）。
(2) 由展开图可知该几何体是正三棱柱，底面为边长等于10的等边三角形，棱柱的高为20。
侧面积：$3 × 10 × 20 = 600$
底面等边三角形的高为$\sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}$，单个底面面积为$\frac{1}{2} × 10 × 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$
表面积：$600 + 2 × 25\sqrt{3} = 600 + 50\sqrt{3}$
体积：$S_{\mathrm{底}} × h = 25\sqrt{3} × 20 = 500\sqrt{3}$
答：该几何体的表面积为$600+50\sqrt{3}$，体积为$500\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先观察展开图构成：展开图包含2个全等的等边三角形和3个全等的矩形，由此可判断该几何体是正三棱柱，底面为边长10的等边三角形，侧棱长（即棱柱的高）为20。（1）画立体图时按照直棱柱的画法，绘制上下为平行且全等的正三角形、侧面为三个矩形的直棱柱即可。（2）求表面积和体积时，回忆对应公式：表面积=侧面积+2个底面积，侧面积为3个矩形的面积和，底面积用等边三角形面积公式计算，需先通过勾股定理求出等边三角形的高；体积=底面积×棱柱的高，代入对应数据计算即可。
【解析】
(1) 该几何体是底面为边长10的等边三角形、侧棱长为20的正三棱柱，立体图绘制要求：上下底面为互相平行且全等的正三角形，三个侧面均为长20、宽10的矩形即可。
(2) 计算过程：
① 侧面积：三个侧面是全等的矩形，侧面积$=3×10×20=600$；
② 底面等边三角形的高：由勾股定理得，高$=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，单个底面面积$=\frac{1}{2}×10×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$；
③ 表面积：侧面积+2个底面积$=600 + 2×25\sqrt{3}=600+50\sqrt{3}$；
④ 体积：底面积×棱柱的高$=25\sqrt{3}×20=500\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 立体图为上下底面是边长为10的全等正三角形、侧棱长为20的正三棱柱，绘制符合直三棱柱特征即可；
(2) 表面积为$600+50\sqrt{3}$，体积为$500\sqrt{3}$。
【知识点】
展开图识别几何体，正三棱柱表面积计算，正三棱柱体积计算
【点评】
本题重点考查立体图形展开图的辨识能力，以及正三棱柱表面积、体积公式的应用，解题的核心是先准确判断几何体类型，再对应公式计算，注意计算表面积时不要遗漏两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察展开图构成：展开图包含2个全等的等边三角形和3个全等的矩形，由此可判断该几何体是正三棱柱，底面为边长10的等边三角形，侧棱长（即棱柱的高）为20。（1）画立体图时按照直棱柱的画法，绘制上下为平行且全等的正三角形、侧面为三个矩形的直棱柱即可。（2）求表面积和体积时，回忆对应公式：表面积=侧面积+2个底面积，侧面积为3个矩形的面积和，底面积用等边三角形面积公式计算，需先通过勾股定理求出等边三角形的高；体积=底面积×棱柱的高，代入对应数据计算即可。
【解析】
(1) 该几何体是底面为边长10的等边三角形、侧棱长为20的正三棱柱，立体图绘制要求：上下底面为互相平行且全等的正三角形，三个侧面均为长20、宽10的矩形即可。
(2) 计算过程：
① 侧面积：三个侧面是全等的矩形，侧面积$=3×10×20=600$；
② 底面等边三角形的高：由勾股定理得，高$=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，单个底面面积$=\frac{1}{2}×10×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}$；
③ 表面积：侧面积+2个底面积$=600 + 2×25\sqrt{3}=600+50\sqrt{3}$；
④ 体积：底面积×棱柱的高$=25\sqrt{3}×20=500\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 立体图为上下底面是边长为10的全等正三角形、侧棱长为20的正三棱柱，绘制符合直三棱柱特征即可；
(2) 表面积为$600+50\sqrt{3}$，体积为$500\sqrt{3}$。
【知识点】
展开图识别几何体，正三棱柱表面积计算，正三棱柱体积计算
【点评】
本题重点考查立体图形展开图的辨识能力，以及正三棱柱表面积、体积公式的应用，解题的核心是先准确判断几何体类型，再对应公式计算，注意计算表面积时不要遗漏两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
