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某品牌汽车团购活动规定:团购数量不超过5辆,每辆车的价格是12万元;团购数量超过5辆,每增加1辆,团购的每辆车的价格降低1 000元,但每辆车的价格不得低于10万元.当团购数量为多少时,每辆车的价格是10万元?
答案
25辆
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确团购价格的阶梯规则：①团购数量不超过5辆时，单价固定为12万元；②团购数量超过5辆时，每新增1辆单价降低0.1万元，最低单价为10万元。由于目标单价10万元低于12万元，可判断团购数量一定大于5辆。我们可以设团购数量为x辆，根据“原价-超出5辆部分产生的总降价=10万元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
先统一单位：1000元=0.1万元。
设当团购数量为x辆时，每辆车的价格是10万元。
由10万元＜12万元可知，团购数量超过5辆，即x＞5，根据优惠规则列方程：
$12 - 0.1(x - 5) = 10$
解方程：
$12 - 0.1x + 0.5 = 10$
$12.5 - 0.1x = 10$
$0.1x = 2.5$
$x = 25$
验证：当x=25时，对应单价为10万元，符合“每辆车价格不得低于10万元”的规定，结果有效。
【答案】
25辆
【知识点】
一元一次方程应用；阶梯优惠问题；等量关系构建
【点评】
本题是生活中常见的团购优惠类应用题，解题关键是先根据目标单价判断团购数量的区间，再准确梳理价格变化和数量的对应关系，列方程求解即可，解题时注意单位统一，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确团购价格的阶梯规则：①团购数量不超过5辆时，单价固定为12万元；②团购数量超过5辆时，每新增1辆单价降低0.1万元，最低单价为10万元。由于目标单价10万元低于12万元，可判断团购数量一定大于5辆。我们可以设团购数量为x辆，根据“原价-超出5辆部分产生的总降价=10万元”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
先统一单位：1000元=0.1万元。
设当团购数量为x辆时，每辆车的价格是10万元。
由10万元＜12万元可知，团购数量超过5辆，即x＞5，根据优惠规则列方程：
$12 - 0.1(x - 5) = 10$
解方程：
$12 - 0.1x + 0.5 = 10$
$12.5 - 0.1x = 10$
$0.1x = 2.5$
$x = 25$
验证：当x=25时，对应单价为10万元，符合“每辆车价格不得低于10万元”的规定，结果有效。
【答案】
25辆
【知识点】
一元一次方程应用；阶梯优惠问题；等量关系构建
【点评】
本题是生活中常见的团购优惠类应用题，解题关键是先根据目标单价判断团购数量的区间，再准确梳理价格变化和数量的对应关系，列方程求解即可，解题时注意单位统一，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
例 商场销售的某种冰箱的每台进货价为2 500元. 市场调研表明,当每台销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;当每台销售价每降低50元时,平均每天能多售出4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元,每台冰箱的定价应为多少元？
答案
设每台冰箱降价x元.根据题意,得(2 900−x−2 500)(8+4×x/50)=5 000.整理,得x²−300x+22 500=0.解这个方程,得x₁=x₂=150. 2 900−150=2 750.所以每台冰箱的销售价应为2 750元
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住销售利润的基本等量关系：总利润=单台利润×销售总数量。我们可以先设每台冰箱降价x元，分别推导两个核心量的表达式：降价后的单台利润=原售价-降价金额-进货价；销售总数量=原销量+降价后新增的销量，其中每降价50元多售出4台，因此降价x元后新增的销量为$4×\frac{x}{50}$台。将两个表达式代入总利润为5000元的条件中，列一元二次方程求解，最后用原售价减去降价金额即可得到最终定价。
【解析】
解：设每台冰箱降价x元。
根据题意列方程：
$(2900 - x - 2500)(8 + 4×\frac{x}{50})=5000$
整理方程：
$(400 - x)(8+\frac{2x}{25})=5000$
展开并化简得：
$x^2 - 300x + 22500=0$
因式分解得$(x-150)^2=0$，解得$x_1=x_2=150$
因此每台冰箱的定价为：$2900 - 150=2750$（元）
【答案】
每台冰箱的定价应为2750元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出降价后的单台利润和销售总量，求解后要注意验证结果是否符合实际场景，确保答案合理。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住销售利润的基本等量关系：总利润=单台利润×销售总数量。我们可以先设每台冰箱降价x元，分别推导两个核心量的表达式：降价后的单台利润=原售价-降价金额-进货价；销售总数量=原销量+降价后新增的销量，其中每降价50元多售出4台，因此降价x元后新增的销量为$4×\frac{x}{50}$台。将两个表达式代入总利润为5000元的条件中，列一元二次方程求解，最后用原售价减去降价金额即可得到最终定价。
【解析】
解：设每台冰箱降价x元。
根据题意列方程：
$(2900 - x - 2500)(8 + 4×\frac{x}{50})=5000$
整理方程：
$(400 - x)(8+\frac{2x}{25})=5000$
展开并化简得：
$x^2 - 300x + 22500=0$
因式分解得$(x-150)^2=0$，解得$x_1=x_2=150$
因此每台冰箱的定价为：$2900 - 150=2750$（元）
【答案】
每台冰箱的定价应为2750元
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算；一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的销售类一元二次方程应用题，解题关键是找准总利润的等量关系，正确表示出降价后的单台利润和销售总量，求解后要注意验证结果是否符合实际场景，确保答案合理。
【难度系数】
0.7
1. 某书店平均每天可售出一种贺卡 500 张，每张赢利 0.3 元.为了减少库存，书店决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺卡的售价每降低 0.1 元，那么平均每天可多售出 100 张.书店要想平均每天赢利 120 元，每张贺卡应降价多少元？
答案
每张贺年卡应降价0.1元
解析
【分析】
这是典型的销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单张利润×销售总量”的等量关系。思考步骤如下：1. 设每张贺卡降价x元为未知数；2. 降价后单张利润为原来的盈利减去降价金额，即(0.3 - x)元；3. 计算降价后的销售量：每降价0.1元多售100张，降价x元时多售的张数为(x÷0.1)×100=1000x张，因此总销售量为(500 + 1000x)张；4. 根据总盈利120元列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的解即可。
【解析】
解：设每张贺卡应降价x元。
根据题意，降价后单张贺卡盈利为(0.3 - x)元，每天的销售量为$(500 + \frac{x}{0.1} × 100) = (500 + 1000x)$张。
由总盈利=单张利润×销售量，可列方程：
$(0.3 - x)(500 + 1000x) = 120$
展开并整理方程：
$150 + 300x - 500x - 1000x^2 = 120$
$1000x^2 + 200x - 30 = 0$
两边同时除以10化简得：
$100x^2 + 20x - 3 = 0$
因式分解得：
$(10x - 1)(10x + 3) = 0$
解得：$x_1 = 0.1$，$x_2 = -0.3$
因为降价金额不能为负数，所以$x_2 = -0.3$不符合实际意义，舍去。
【答案】
每张贺卡应降价0.1元
【知识点】
一元二次方程应用、销售利润问题
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是准确抓住总利润的等量关系，正确表示出降价后的单张利润和总销量，同时要注意对求解出的方程根结合实际场景检验，舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润类应用题，解题核心是抓住“总利润=单张利润×销售总量”的等量关系。思考步骤如下：1. 设每张贺卡降价x元为未知数；2. 降价后单张利润为原来的盈利减去降价金额，即(0.3 - x)元；3. 计算降价后的销售量：每降价0.1元多售100张，降价x元时多售的张数为(x÷0.1)×100=1000x张，因此总销售量为(500 + 1000x)张；4. 根据总盈利120元列一元二次方程，求解后结合实际意义舍去不符合的解即可。
【解析】
解：设每张贺卡应降价x元。
根据题意，降价后单张贺卡盈利为(0.3 - x)元，每天的销售量为$(500 + \frac{x}{0.1} × 100) = (500 + 1000x)$张。
由总盈利=单张利润×销售量，可列方程：
$(0.3 - x)(500 + 1000x) = 120$
展开并整理方程：
$150 + 300x - 500x - 1000x^2 = 120$
$1000x^2 + 200x - 30 = 0$
两边同时除以10化简得：
$100x^2 + 20x - 3 = 0$
因式分解得：
$(10x - 1)(10x + 3) = 0$
解得：$x_1 = 0.1$，$x_2 = -0.3$
因为降价金额不能为负数，所以$x_2 = -0.3$不符合实际意义，舍去。
【答案】
每张贺卡应降价0.1元
【知识点】
一元二次方程应用、销售利润问题
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是准确抓住总利润的等量关系，正确表示出降价后的单张利润和总销量，同时要注意对求解出的方程根结合实际场景检验，舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.7
2. 某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600盏. 调查表明，这种台灯的售价每涨价1元，其销售量将减少10盏. 为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时该商场应进多少盏台灯？
答案
设每盏台灯涨价x元.根据题意,得(40+x−30)(600−10x)=10 000.解得x₁=10,x₂=40.所以每盏台灯的售价应定为50元或80元,应进台灯500盏或200盏
解析
【分析】
本题属于销售利润类实际应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售总量”这一等量关系。首先设出涨价金额为未知数，再分别用含未知数的式子表示涨价后的单件利润、总销售量，代入等量关系列出一元二次方程，求解后对应计算售价和进货量即可。
【解析】
解：设每盏台灯涨价$x$元。
涨价后每盏台灯的利润为：$40 + x - 30 = (10 + x)$元
涨价后每月的销售量为：$(600 - 10x)$盏
根据总利润为10000元，列方程得：
$(10 + x)(600 - 10x) = 10000$
整理方程：
$6000 + 500x - 10x^2 = 10000$
化简得：$x^2 - 50x + 400 = 0$
因式分解得：$(x - 10)(x - 40) = 0$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = 40$
当$x=10$时，售价为$40 + 10 = 50$元，应进货$600 - 10×10 = 500$盏；
当$x=40$时，售价为$40 + 40 = 80$元，应进货$600 - 10×40 = 200$盏。
【答案】
每盏台灯的售价应定为50元或80元，应进台灯500盏或200盏
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题是销售类实际问题的典型习题，解题关键是找准等量关系，正确用未知数表示出单件利润和销售量，求解后要注意验证解是否符合实际情况，本题两个解均符合销售逻辑，都需要保留。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类实际应用题，解题核心是抓住“总利润=单件商品利润×销售总量”这一等量关系。首先设出涨价金额为未知数，再分别用含未知数的式子表示涨价后的单件利润、总销售量，代入等量关系列出一元二次方程，求解后对应计算售价和进货量即可。
【解析】
解：设每盏台灯涨价$x$元。
涨价后每盏台灯的利润为：$40 + x - 30 = (10 + x)$元
涨价后每月的销售量为：$(600 - 10x)$盏
根据总利润为10000元，列方程得：
$(10 + x)(600 - 10x) = 10000$
整理方程：
$6000 + 500x - 10x^2 = 10000$
化简得：$x^2 - 50x + 400 = 0$
因式分解得：$(x - 10)(x - 40) = 0$
解得：$x_1 = 10$，$x_2 = 40$
当$x=10$时，售价为$40 + 10 = 50$元，应进货$600 - 10×10 = 500$盏；
当$x=40$时，售价为$40 + 40 = 80$元，应进货$600 - 10×40 = 200$盏。
【答案】
每盏台灯的售价应定为50元或80元，应进台灯500盏或200盏
【知识点】
一元二次方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题是销售类实际问题的典型习题，解题关键是找准等量关系，正确用未知数表示出单件利润和销售量，求解后要注意验证解是否符合实际情况，本题两个解均符合销售逻辑，都需要保留。
【难度系数】
0.7
