登录
（1）如图，$\odot O$的直径$AB=10\ \mathrm{cm}$，点$C$在$\odot O$上，$∠ ABC=30°$，则$AC=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
[第1(1)题]
[第1(2)题]
[第1(1)题]
[第1(2)题]
答案
(1) 5
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”出发，回忆圆周角定理的相关推论：直径所对的圆周角为直角，可得出△ACB是直角三角形；再结合已知的∠ABC=30°、AB=10cm，利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可直接求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），即△ACB是直角三角形。
在Rt△ACB中，∠ABC=30°，斜边AB=10cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是先利用直径的性质判断出直角三角形，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，解题思路直接，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”出发，回忆圆周角定理的相关推论：直径所对的圆周角为直角，可得出△ACB是直角三角形；再结合已知的∠ABC=30°、AB=10cm，利用含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可直接求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），即△ACB是直角三角形。
在Rt△ACB中，∠ABC=30°，斜边AB=10cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是先利用直径的性质判断出直角三角形，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，解题思路直接，对基础概念的掌握要求较高。
【难度系数】
0.9
(2) 如图,四边形ABCD为$\odot O$的内接四边形,已知$∠ BOD=100°$,则$∠ A=$
50
°, $∠ C=$130
°;答案
(2) 50,130
解析
【分析】
解题思路分两步：①先求∠A：已知∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠A是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可直接求出∠A的度数；②再求∠C：已知四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠A的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠A是弧BD所对的圆周角，因此：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$
2. 求∠C的度数：
因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：内接四边形对角互补，即$∠ A+∠ C=180°$，因此：
$∠ C=180°-∠ A=180°-50°=130°$
【答案】
50，130
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆周角定理和圆内接四边形性质的直接应用，掌握核心定理和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步：①先求∠A：已知∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠A是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可直接求出∠A的度数；②再求∠C：已知四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，用180°减去∠A的度数即可得到∠C的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数：
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠A是弧BD所对的圆周角，因此：
$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×100°=50°$
2. 求∠C的度数：
因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：内接四边形对角互补，即$∠ A+∠ C=180°$，因此：
$∠ C=180°-∠ A=180°-50°=130°$
【答案】
50，130
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查圆周角定理和圆内接四边形性质的直接应用，掌握核心定理和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(3) 在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=40°，∠B与∠C的度数之比是1：2，则∠B=
70
°，∠C=140
°，∠D=110
°。答案
(3) 70,140,110
解析
【分析】
解题需用到圆内接四边形的核心性质：对角互补。思考路径如下：第一步，已知∠A的度数，∠A和∠C是圆内接四边形的一组对角，因此可先通过互补关系求出∠C的度数；第二步，结合∠B与∠C的度数比，即可计算出∠B的度数；第三步，∠B和∠D是另一组对角，再次用互补关系就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴圆内接四边形对角互补，即$∠ A+∠ C=180°$，$∠ B+∠ D=180°$
已知$∠ A=40°$，代入得：
$∠ C=180°-∠ A=180°-40°=140°$
∵$∠ B:∠ C=1:2$
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ C=\frac{1}{2}×140°=70°$
再代入$∠ B+∠ D=180°$得：
$∠ D=180°-∠ B=180°-70°=110°$
【答案】
70，140，110
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 补角的计算
3. 比例的应用
【点评】
本题是基础考察题，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，按照“已知对角→求对应角→结合比例→求剩余角”的逻辑逐步计算即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题需用到圆内接四边形的核心性质：对角互补。思考路径如下：第一步，已知∠A的度数，∠A和∠C是圆内接四边形的一组对角，因此可先通过互补关系求出∠C的度数；第二步，结合∠B与∠C的度数比，即可计算出∠B的度数；第三步，∠B和∠D是另一组对角，再次用互补关系就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴圆内接四边形对角互补，即$∠ A+∠ C=180°$，$∠ B+∠ D=180°$
已知$∠ A=40°$，代入得：
$∠ C=180°-∠ A=180°-40°=140°$
∵$∠ B:∠ C=1:2$
∴$∠ B=\frac{1}{2}∠ C=\frac{1}{2}×140°=70°$
再代入$∠ B+∠ D=180°$得：
$∠ D=180°-∠ B=180°-70°=110°$
【答案】
70，140，110
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 补角的计算
3. 比例的应用
【点评】
本题是基础考察题，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，按照“已知对角→求对应角→结合比例→求剩余角”的逻辑逐步计算即可，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
（1）下列说法中，正确的是(
A.两个半圆是等弧
B.圆周角相等，所对的弦也相等
C.半圆所对的弦是直径，直径所对的弧是半圆
D.一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半
C
).A.两个半圆是等弧
B.圆周角相等，所对的弦也相等
C.半圆所对的弦是直径，直径所对的弧是半圆
D.一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半
答案
(1) C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念与定理，解题时需逐一核对每个选项的表述是否符合定理的完整内容，尤其要注意定理的适用前提：①等弧、圆周角与弦的对应关系都需要在同圆或等圆的前提下方能成立；②要准确区分圆心角与圆周角的倍数关系，避免记反；③结合半圆和直径的对应关系判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等弧的定义是：同圆或等圆中能够完全重合的弧。若两个半圆所在圆的半径不相等，则二者无法重合，不是等弧，故A错误。
B. 只有在同圆或等圆的前提下，相等的圆周角所对的弦才相等，选项缺少该前提，故B错误。
C. 根据圆的性质：半圆的两个端点是直径的两个端点，因此半圆所对的弦是直径；直径的两个端点恰好把圆分成两条相等的弧，每一条弧都是半圆，因此直径所对的弧是半圆，故C正确。
D. 圆周角定理内容为：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，选项将二者的倍数关系表述颠倒，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
等弧的概念；圆周角定理；弦与弧的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点为忽略圆周角、等弧相关定理的适用前提（同圆或等圆），或是混淆圆心角和圆周角的倍数关系，只要牢记相关概念和定理的完整表述即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
本题考查圆的相关基础概念与定理，解题时需逐一核对每个选项的表述是否符合定理的完整内容，尤其要注意定理的适用前提：①等弧、圆周角与弦的对应关系都需要在同圆或等圆的前提下方能成立；②要准确区分圆心角与圆周角的倍数关系，避免记反；③结合半圆和直径的对应关系判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 等弧的定义是：同圆或等圆中能够完全重合的弧。若两个半圆所在圆的半径不相等，则二者无法重合，不是等弧，故A错误。
B. 只有在同圆或等圆的前提下，相等的圆周角所对的弦才相等，选项缺少该前提，故B错误。
C. 根据圆的性质：半圆的两个端点是直径的两个端点，因此半圆所对的弦是直径；直径的两个端点恰好把圆分成两条相等的弧，每一条弧都是半圆，因此直径所对的弧是半圆，故C正确。
D. 圆周角定理内容为：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，选项将二者的倍数关系表述颠倒，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
等弧的概念；圆周角定理；弦与弧的对应关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点为忽略圆周角、等弧相关定理的适用前提（同圆或等圆），或是混淆圆心角和圆周角的倍数关系，只要牢记相关概念和定理的完整表述即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
（2）在$\odot O$中，$∠ AOB=40°$，弦AB所对的圆周角等于（
A.$20°$
B.$80°$
C.$20°$或$160°$
D.$140°$或$40°$
C
）.A.$20°$
B.$80°$
C.$20°$或$160°$
D.$140°$或$40°$
答案
(2) C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理内容，明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半；其次要注意：一条弦对应两段弧（劣弧和优弧），对应的圆周角也有两种情况，需要分类讨论计算，避免漏解。第一步先计算劣弧AB对应的圆周角，第二步计算优弧AB对应的圆周角，最终汇总得到所有结果即可。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
弦AB对应两条不同的弧，分两种情况计算：
1. 当圆周角对应劣弧AB时，劣弧AB对应的圆心角为∠AOB=40°，
则对应的圆周角度数为：$\frac{1}{2}×40°=20°$；
2. 当圆周角对应优弧AB时，优弧AB对应的圆心角为$360°-40°=320°$，
则对应的圆周角度数为：$\frac{1}{2}×320°=160°$。
综上，弦AB所对的圆周角为20°或160°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 分类讨论求圆周角
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，易错点是容易忽略弦同时对应优弧和劣弧两种情况，只计算劣弧对应的圆周角导致漏解，解题时需注意全面分析题意。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理内容，明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半；其次要注意：一条弦对应两段弧（劣弧和优弧），对应的圆周角也有两种情况，需要分类讨论计算，避免漏解。第一步先计算劣弧AB对应的圆周角，第二步计算优弧AB对应的圆周角，最终汇总得到所有结果即可。
【解析】
解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
弦AB对应两条不同的弧，分两种情况计算：
1. 当圆周角对应劣弧AB时，劣弧AB对应的圆心角为∠AOB=40°，
则对应的圆周角度数为：$\frac{1}{2}×40°=20°$；
2. 当圆周角对应优弧AB时，优弧AB对应的圆心角为$360°-40°=320°$，
则对应的圆周角度数为：$\frac{1}{2}×320°=160°$。
综上，弦AB所对的圆周角为20°或160°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 分类讨论求圆周角
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，易错点是容易忽略弦同时对应优弧和劣弧两种情况，只计算劣弧对应的圆周角导致漏解，解题时需注意全面分析题意。
【难度系数】
0.7
（3）在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是（
A.$1:2:3:4$
B.$4:3:2:1$
C.$4:1:3:2$
D.$4:3:1:2$
D
）。A.$1:2:3:4$
B.$4:3:2:1$
C.$4:1:3:2$
D.$4:3:1:2$
答案
(3) D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，也就是∠A与∠C的和等于∠B与∠D的和，都为180°。因为四个角的度数比中每一份代表的度数相同，所以只需要验证各选项中∠A和∠C的份数之和是否等于∠B和∠D的份数之和，符合的就是正确答案。
【解析】
根据圆内接四边形的性质可知：圆内接四边形的对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$，因此$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
设每一份的度数为$x$，逐一验证选项：
A选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=1:2:3:4$，$1x+3x=4x$，$2x+4x=6x$，$4x≠6x$，不符合要求；
B选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=4:3:2:1$，$4x+2x=6x$，$3x+1x=4x$，$6x≠4x$，不符合要求；
C选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=4:1:3:2$，$4x+3x=7x$，$1x+2x=3x$，$7x≠3x$，不符合要求；
D选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=4:3:1:2$，$4x+1x=5x$，$3x+2x=5x$，$5x=5x$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 比例的应用
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，将角度和的关系转化为比例份数的等量关系即可快速判断，不需要计算具体角度，解题技巧性较强。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补，也就是∠A与∠C的和等于∠B与∠D的和，都为180°。因为四个角的度数比中每一份代表的度数相同，所以只需要验证各选项中∠A和∠C的份数之和是否等于∠B和∠D的份数之和，符合的就是正确答案。
【解析】
根据圆内接四边形的性质可知：圆内接四边形的对角互补，即$∠ A + ∠ C = 180°$，$∠ B + ∠ D = 180°$，因此$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$。
设每一份的度数为$x$，逐一验证选项：
A选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=1:2:3:4$，$1x+3x=4x$，$2x+4x=6x$，$4x≠6x$，不符合要求；
B选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=4:3:2:1$，$4x+2x=6x$，$3x+1x=4x$，$6x≠4x$，不符合要求；
C选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=4:1:3:2$，$4x+3x=7x$，$1x+2x=3x$，$7x≠3x$，不符合要求；
D选项：$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=4:3:1:2$，$4x+1x=5x$，$3x+2x=5x$，$5x=5x$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆内接四边形对角互补
2. 比例的应用
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补的性质，将角度和的关系转化为比例份数的等量关系即可快速判断，不需要计算具体角度，解题技巧性较强。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AC$，$∠ BAC=70°$. 求$∠ D$的度数.
答案
3. $125°$
解析
【分析】
首先，已知$AB=AC$，可得$△ ABC$为等腰三角形，结合已知的顶角$∠ BAC$的度数，可根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理算出底角$∠ ABC$的度数；其次，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ D$与$∠ ABC$是一组互补的对角，代入$∠ ABC$的度数即可求出$∠ D$的大小。
【解析】
解：在$△ ABC$中，
$\because AB=AC$，$∠ BAC=70°$
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
$\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形
$\therefore ∠ D + ∠ ABC=180°$（圆内接四边形的对角互补）
$\therefore ∠ D=180° - 55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合题，将等腰三角形的角度计算和圆内接四边形的性质结合考查，解题逻辑清晰，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先，已知$AB=AC$，可得$△ ABC$为等腰三角形，结合已知的顶角$∠ BAC$的度数，可根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理算出底角$∠ ABC$的度数；其次，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ D$与$∠ ABC$是一组互补的对角，代入$∠ ABC$的度数即可求出$∠ D$的大小。
【解析】
解：在$△ ABC$中，
$\because AB=AC$，$∠ BAC=70°$
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$
$\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形
$\therefore ∠ D + ∠ ABC=180°$（圆内接四边形的对角互补）
$\therefore ∠ D=180° - 55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的几何综合题，将等腰三角形的角度计算和圆内接四边形的性质结合考查，解题逻辑清晰，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
