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活动一:画一画 试一试
记活动一中所画的角为∠AOB,折痕为OC;在∠AOB的内部任意取折痕OC上的一点P,分别画点P到OA和OB的垂线段PD,PE(
),再沿原折痕折叠.
(1) 线段PD与PE相等吗? 说说你的理由.
(2) 由此,你得出什么结论? 请用文字表述.
结论:
(3) 你认为上述结论成立的条件是什么? 请用图1-21中的字母表示.
记活动一中所画的角为∠AOB,折痕为OC;在∠AOB的内部任意取折痕OC上的一点P,分别画点P到OA和OB的垂线段PD,PE(
),再沿原折痕折叠.(1) 线段PD与PE相等吗? 说说你的理由.
(2) 由此,你得出什么结论? 请用文字表述.
结论:
角平分线上的点到角的两边距离相等
.(3) 你认为上述结论成立的条件是什么? 请用图1-21中的字母表示.
答案
1. PD=PE. 方法1:利用轴对称说明点D与点E重合;方法2:利用全等说明PD,PE所在的两个三角形全等
2. 角平分线上的点到角的两边距离相等
3. 点P在∠AOB的平分线上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E
2. 角平分线上的点到角的两边距离相等
3. 点P在∠AOB的平分线上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E
解析
【分析】
(1) 要判断PD与PE是否相等，有两个思考方向：一是利用折叠的轴对称性，沿角平分线OC折叠时，∠AOB的两边OA、OB重合，对应的垂线段PD、PE也会重合，即可得线段相等；二是通过证明三角形全等，观察PD、PE分别在△ODP和△OEP中，两个三角形有公共边OP，两个对应角相等（直角、角平分线分出来的等角），可通过AAS证明全等，得到对应边相等。(2) 总结上述相等的规律，即可得到角平分线的性质。(3) 梳理结论成立的前提：首先点要在角的平分线上，其次是点到两边的线段必须是垂线段，两个条件缺一不可。
【解析】
(1) PD=PE，理由如下：
方法1（轴对称法）：因为OC是∠AOB的折痕，沿OC折叠时，射线OA与射线OB重合，又PD⊥OA，PE⊥OB，因此垂线段PD与PE完全重合，故PD=PE。
方法2（全等法）：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠EOP，
在△ODP和△OEP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODP=∠ OEP\\∠ DOP=∠ EOP\\OP=OP\end{array} $
∴△ODP≌△OEP（AAS），
∴PD=PE。
(2) 由PD=PE的结论可提炼出角平分线的性质。
(3) 结论成立需要同时满足两个条件：①点在角的平分线上，②线段是点到角两边的垂线段，对应图中条件即可。
【答案】
(1) PD=PE，可利用轴对称说明折叠时点D与点E重合，或证明PD、PE所在的两个三角形全等得到；
(2) 角平分线上的点到角的两边距离相等；
(3) 点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础探究题，结合动手折叠操作和几何推理推导性质，重点考查对性质内容和适用条件的理解，要注意使用角平分线性质时，"到两边的距离"即垂线段的条件不能忽略。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断PD与PE是否相等，有两个思考方向：一是利用折叠的轴对称性，沿角平分线OC折叠时，∠AOB的两边OA、OB重合，对应的垂线段PD、PE也会重合，即可得线段相等；二是通过证明三角形全等，观察PD、PE分别在△ODP和△OEP中，两个三角形有公共边OP，两个对应角相等（直角、角平分线分出来的等角），可通过AAS证明全等，得到对应边相等。(2) 总结上述相等的规律，即可得到角平分线的性质。(3) 梳理结论成立的前提：首先点要在角的平分线上，其次是点到两边的线段必须是垂线段，两个条件缺一不可。
【解析】
(1) PD=PE，理由如下：
方法1（轴对称法）：因为OC是∠AOB的折痕，沿OC折叠时，射线OA与射线OB重合，又PD⊥OA，PE⊥OB，因此垂线段PD与PE完全重合，故PD=PE。
方法2（全等法）：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠EOP，
在△ODP和△OEP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODP=∠ OEP\\∠ DOP=∠ EOP\\OP=OP\end{array} $
∴△ODP≌△OEP（AAS），
∴PD=PE。
(2) 由PD=PE的结论可提炼出角平分线的性质。
(3) 结论成立需要同时满足两个条件：①点在角的平分线上，②线段是点到角两边的垂线段，对应图中条件即可。
【答案】
(1) PD=PE，可利用轴对称说明折叠时点D与点E重合，或证明PD、PE所在的两个三角形全等得到；
(2) 角平分线上的点到角的两边距离相等；
(3) 点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E。
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础探究题，结合动手折叠操作和几何推理推导性质，重点考查对性质内容和适用条件的理解，要注意使用角平分线性质时，"到两边的距离"即垂线段的条件不能忽略。
【难度系数】
0.8
活动二:想一想 说一说
我们知道,如果点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,那么
如果点 P 在$∠ AOB$的平分线上,那么点 P 到 OA, OB 的距离相等;反过来,你能提出什么猜想?你的猜想正确吗?尝试说明.
我们知道,如果点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,那么
PA=PB
;反过来,如果 QA=QB,那么点 Q 在线段AB的垂直平分线上
.如果点 P 在$∠ AOB$的平分线上,那么点 P 到 OA, OB 的距离相等;反过来,你能提出什么猜想?你的猜想正确吗?尝试说明.
答案
PA=PB；线段AB的垂直平分线上；猜想：如果点P到OA，OB的距离相等，那么点P在∠AOB的平分线上
解析
【分析】
本题考查线段垂直平分线、角平分线的性质与对应的逆定理，解题时先回忆相关定理内容：①线段垂直平分线的性质是“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，将条件和结论互换就能得到它的判定定理；②角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，同理将条件和结论互换，即可得到对应的猜想，也就是角平分线的判定定理。
【解析】
1. 若点P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB；
2. 若QA=QB，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点Q在线段AB的垂直平分线上；
3. 已知角平分线的性质为“如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA，OB的距离相等”，将条件和结论互换，得到猜想：如果点P到OA，OB的距离相等，那么点P在∠AOB的平分线上，该猜想符合角平分线的判定定理，是正确的。
【答案】
PA=PB；线段AB的垂直平分线上；猜想：如果点P到OA，OB的距离相等，那么点P在∠AOB的平分线上
【知识点】
线段垂直平分线的性质与判定；角平分线的性质与判定；互逆命题
【点评】
本题属于基础概念题，侧重对几何基础定理的正向、逆向表述的考查，需要准确区分性质定理和判定定理的条件与结论，熟练记忆相关内容即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题考查线段垂直平分线、角平分线的性质与对应的逆定理，解题时先回忆相关定理内容：①线段垂直平分线的性质是“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，将条件和结论互换就能得到它的判定定理；②角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，同理将条件和结论互换，即可得到对应的猜想，也就是角平分线的判定定理。
【解析】
1. 若点P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB；
2. 若QA=QB，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点Q在线段AB的垂直平分线上；
3. 已知角平分线的性质为“如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA，OB的距离相等”，将条件和结论互换，得到猜想：如果点P到OA，OB的距离相等，那么点P在∠AOB的平分线上，该猜想符合角平分线的判定定理，是正确的。
【答案】
PA=PB；线段AB的垂直平分线上；猜想：如果点P到OA，OB的距离相等，那么点P在∠AOB的平分线上
【知识点】
线段垂直平分线的性质与判定；角平分线的性质与判定；互逆命题
【点评】
本题属于基础概念题，侧重对几何基础定理的正向、逆向表述的考查，需要准确区分性质定理和判定定理的条件与结论，熟练记忆相关内容即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
1. 到三角形的三条边距离相等的点是 （
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
A
）A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
答案
1. A
解析
【分析】
解题时先明确题干核心要求：找到三角形三条边距离都相等的点。首先回忆三角形各特殊线段交点的相关性质，可通过性质逐一匹配或排除选项：先结合角平分线的性质推导角平分线交点到三边距离的关系，再分别明确中线、高、垂直平分线交点的性质，判断是否符合题干要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。三角形三条角平分线交于同一点，该点到三条边的距离均相等，符合题意。
B. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三条边距离相等，排除。
C. 三角形三条高的交点是垂心，没有到三条边距离相等的性质，排除。
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，排除。
综上本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的不同结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题干核心要求：找到三角形三条边距离都相等的点。首先回忆三角形各特殊线段交点的相关性质，可通过性质逐一匹配或排除选项：先结合角平分线的性质推导角平分线交点到三边距离的关系，再分别明确中线、高、垂直平分线交点的性质，判断是否符合题干要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。三角形三条角平分线交于同一点，该点到三条边的距离均相等，符合题意。
B. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三条边距离相等，排除。
C. 三角形三条高的交点是垂心，没有到三条边距离相等的性质，排除。
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点是外心，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边距离相等，排除。
综上本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，要注意区分“到三边距离相等”和“到三个顶点距离相等”对应的不同结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
