9. 如图所示，$△ AOB ∽ △ COD$，下列各式中正确的有（）
①$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{CO}$；②$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{DO}$；
③$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{CO}$；④$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

9.A

【分析】
解题时首先根据相似三角形的书写规范确定对应顶点，进而得到对应边，再利用相似三角形对应边成比例的性质逐一验证四个式子即可。相似三角形的顶点书写顺序对应了对应顶点的匹配关系，△AOB∽△COD说明A对应C、O对应O、B对应D，因此对应边为AO与CO、BO与DO、AB与CD，再结合比例性质判断各式正误。
【解析】
已知△AOB∽△COD，根据相似三角形的表示规则，对应顶点按书写顺序一一对应，因此对应边为：AO对应CO，BO对应DO，AB对应CD。
根据相似三角形对应边成比例的性质，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$
逐一判断四个式子：
①$\frac{AB}{CD}=\frac{BO}{CO}$：BO的对应边为DO，不是CO，该式错误；
②$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{DO}$：AO的对应边为CO，不是DO，该式错误；
③$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{CO}$：交叉变形得$AO· CO=BO· OD$，与比例式$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$（即$AO· DO=BO· CO$）矛盾，该式错误；
④$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$：符合相似三角形对应边成比例的性质，该式正确。
综上，只有1个式子正确。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题核心易错点是相似三角形对应边的判断，解题时要严格按照相似符号的书写顺序匹配对应顶点，避免对应边混淆出错。
【难度系数】
0.7

10. 如图，在$□ ABCD$中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则$EF:FC$等于（）

A.$3:2$
B.$3:1$
C.$1:1$
D.$1:2$

10.D

【分析】
解题时先结合已知条件梳理思路：首先平行四边形具有对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC；再结合E是AD中点的条件，可推出ED和BC的长度关系；由AD//BC可得到△EDF和△CBF的两组内错角分别相等，即可判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，就能求出EF与FC的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵点E是AD的中点，
∴$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
∵AD//BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF，
∴△EDF∽△CBF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$EF:FC=ED:BC=\frac{1}{2}BC:BC=1:2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础考题，解题核心是借助平行四边形对边平行的特征找到相似三角形，再结合线段的数量关系通过相似性质求解对应线段比，属于同类考点中的典型基础题型。
【难度系数】
0.8

11.如图,在$△ ABC$中,D、E分别是AB、AC上的点,连结BE、DE.已知$△ ADE ∽ △ ABC$,且$∠ ADE=50°,∠ C=80°,∠ ABE=20°$,则$∠ BEC$的度数为.

11.$70°$

【分析】
解题时首先利用相似三角形的性质得到对应角相等，求出∠ABC的度数，再通过三角形内角和定理算出∠A的度数，最后结合三角形外角的性质即可求出∠BEC的度数。思路可拆解为三步：第一步由相似三角形性质得∠ABC=∠ADE；第二步用△ABC内角和求∠A的度数；第三步利用外角性质推导∠BEC的度数。
【解析】
解：
∵△ADE ∽ △ABC，
∴∠ABC = ∠ADE = 50°（相似三角形对应角相等）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 50° - 80° = 50°。
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC = ∠A + ∠ABE = 50° + 20° = 70°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
【答案】
70°
【知识点】
相似三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，核心是正确运用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形角度相关的定理推导计算，只要不混淆相似三角形的对应角即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

12. 如图所示，$AD// EG// BC$，$AD=6$，$BC=9$，$AE:AB=2:3$，求$GF$的长。

12. 解:$\because EG// BC,\therefore △ AEG∽ △ ABC,\therefore AE:AB=EG:BC,\therefore \dfrac{EG}{9}=\dfrac{2}{3},\therefore EG=6.\because EF// AD,$$\therefore \dfrac{EF}{6}=\dfrac{1}{3},\therefore EF=2,\therefore GF=EG-EF=4.$

【分析】
解题时首先结合题干给出的平行线条件，利用相似三角形的判定定理分步求解相关线段长度：第一步，根据$EG// BC$判定$△ AEG$与$△ ABC$相似，结合已知的线段比例和$BC$的长度求出$EG$；第二步，根据$AD// EG$判定$△ BEF$与$△ BAD$相似，先求出$BE$与$AB$的比值，结合$AD$的长度求出$EF$；第三步，利用线段差$GF=EG-EF$即可算出最终结果。
【解析】
解：
$\because EG// BC$，
$\therefore △ AEG ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore AE:AB=EG:BC$，
将$AE:AB=2:3$，$BC=9$代入得$\dfrac{EG}{9}=\dfrac{2}{3}$，解得$EG=6$。
$\because AD// EG$，即$EF// AD$，
$\therefore △ BEF ∽ △ BAD$，
$\because AE:AB=2:3$，$\therefore BE:AB=(3-2):3=1:3$，
$\therefore EF:AD=BE:AB=1:3$，
将$AD=6$代入得$\dfrac{EF}{6}=\dfrac{1}{3}$，解得$EF=2$。
$\therefore GF=EG-EF=6-2=4$。
【答案】
$GF$的长为$4$
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，核心考点是利用平行线构造相似三角形，解题的关键是准确匹配相似三角形的对应边比例关系，侧重考察学生对相似三角形判定、性质的基础掌握程度和简单运用能力。
【难度系数】
0.7

13.如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，求GH的长.

13. 解:$\because AB// CD,\therefore \dfrac{BG}{DG}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{2}{3}.$$\therefore \dfrac{BG}{BG+GD}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}.\because GH// CD,\therefore \dfrac{GH}{CD}=\dfrac{BG}{BD}=\dfrac{2}{5},即\dfrac{GH}{3}=\dfrac{2}{5}.\therefore GH=\dfrac{6}{5}.$

【分析】
解题时先利用图形中的平行条件推导相似三角形：首先由AB//CD可判定△ABG与△CDG相似，借助相似三角形对应边成比例求出BG与DG的比值，再通过合比性质得到BG与BD的比值；接着由GH//CD判定△BGH与△BDC相似，再次利用相似三角形对应边成比例，代入已知CD的长度即可求出GH的长度。
【解析】
解：$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ A=∠ DCG，∠ ABG=∠ D$，
$\therefore △ ABG∽ △ CDG$，
$\therefore \dfrac{BG}{DG}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{2}{3}$，
由合比性质可得：$\dfrac{BG}{BG+GD}=\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}$，即$\dfrac{BG}{BD}=\dfrac{2}{5}$，
$\because GH// CD$，
$\therefore ∠ BHG=∠ C，∠ BGH=∠ D$，
$\therefore △ BGH∽ △ BDC$，
$\therefore \dfrac{GH}{CD}=\dfrac{BG}{BD}=\dfrac{2}{5}$，
将$CD=3$代入得：$\dfrac{GH}{3}=\dfrac{2}{5}$，
解得$GH=\dfrac{6}{5}$。
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，核心是通过平行线推导三角形相似，两次利用相似三角形的边的比例关系建立已知量和未知量的联系，解题时需注意找准相似三角形的对应边，避免对应关系混淆。
【难度系数】
0.7

14.(核心素养·几何直观)如图,梯形ABCD中,AB//CD,点F在BC上,DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
(2)当点F是BC的中点时,过F作EF//CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.

14. (1)证明:$\because$ 梯形ABCD中,$AB// CD$,即$CD// BG,\therefore △ CDF∽ △ BGF.$
(2)解:由(1)得$△ CDF∽ △ BGF$,且F是BC的中点,$\therefore DF=FG,CD=BG.$ 又$\because EF// CD,AB// CD,\therefore EF// AG.\therefore △ DEF∽ △ DAG.\therefore \dfrac{EF}{AG}=\dfrac{DF}{DG}=\dfrac{1}{2}.$ 又$\because EF=4\mathrm{cm},\therefore AG=8\mathrm{cm},\therefore CD=BG=AG-AB=2\mathrm{cm}.$

【分析】
(1)要证明△CDF∽△BGF，首先结合梯形AB//CD的性质可得CD//BG，由平行线性质可得到两组对应内错角相等，再结合对顶角相等，利用“两角分别相等的两个三角形相似”即可完成证明。
(2)求CD长度时，先利用(1)的相似结论，结合F是BC中点的条件，可得△CDF和△BGF的相似比为1:1，因此CD=BG、DF=FG；再由EF//CD、AB//CD推出EF//AG，进而得到△DEF∽△DAG，根据相似比求出AG的长度，最后通过CD=BG=AG-AB代入数值计算即可得到CD的长。
【解析】
(1)证明：
∵ 梯形ABCD中，$AB// CD$，
∴ $CD// BG$，
∴ $∠ CDF=∠ G$，$∠ DCF=∠ GBF$，
又
∵ $∠ CFD=∠ BFG$（对顶角相等），
∴ $△ CDF∽ △ BGF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：由(1)得$△ CDF∽ △ BGF$，
∵ F是BC的中点，
∴ $CF=BF$，即两三角形的相似比为$1:1$，
∴ $DF=FG$，$CD=BG$。
∵ $EF// CD$，$AB// CD$，
∴ $EF// AG$，
∴ $∠ DEF=∠ A$，$∠ DFE=∠ G$，
∴ $△ DEF∽ △ DAG$，
∴ $\dfrac{EF}{AG}=\dfrac{DF}{DG}=\dfrac{DF}{DF+FG}=\dfrac{1}{2}$。
将$EF=4\mathrm{cm}$代入得$\dfrac{4}{AG}=\dfrac{1}{2}$，解得$AG=8\mathrm{cm}$，
∴ $CD=BG=AG-AB=8-6=2\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)CD的长为$\boldsymbol{2\mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是通过平行线推导角的关系证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比求解未知线段，需熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，能灵活结合平行线、中点等条件进行推导。
【难度系数】
0.7