10. 电子体重秤计数直观又便于携带,为人们带来了方便. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤:制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻$R_1$,$R_1$与踏板上人的质量$m$之间的函数表达式为$R_1=km+b$ (其中$k,b$为常数,$0≤ m≤120$),其图象如图1所示;在图2的电路中,电源电压恒为8伏,定值电阻$R_0$的阻值为30欧,接通开关,人站上踏板,电压表显示的示数为$U_0$,该示数可以换算为人的质量$m$.
温馨提示:①导体两端的电压$U$,导体的电阻$R$,通过导体的电流$I$满足关系式$I=\frac{U}{R}$;
②串联电路中电流处处相等,各电阻两端的电压之和等于总电压.
(1)求$k,b$的值.
(2)求$R_1$关于$U_0$的函数表达式.
(3)用含$U_0$的代数式表示$m$.
(4)若电压表量程为0~6伏,为保护电压表,请确定该电子体重秤可称的最大质量.

10.解:(1)将$(0,240)$,$(120,0)$代入$ R_1=km+b $,
得$\begin{cases} b=240,\\120k+b=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-2,\\b=240, \end{cases}$
$\therefore R_1=-2m+240(0≤ m≤120),k=-2,b=240$.
(2)由题意可得可变电阻两端的电压=电源电压-电压表电压,即可变电阻两端的电压$ =8-U_0 $.
$\because I=\frac{U}{R}$,通过可变电阻和定值电阻的电流大小相等,
$\therefore \frac{8-U_0}{R_1}=\frac{U_0}{R_0}$,化简,得$ R_1=R_0(\frac{8}{U_0}-1) $.
$\because R_0=30,\therefore R_1=\frac{240}{U_0}-30$.
(3)将$ R_1=-2m+240(0≤ m≤120) $代入$ R_1=\frac{240}{U_0}-30 $,
得$-2m+240=\frac{240}{U_0}-30$,
化简,得$ m=-\frac{120}{U_0}+135(0≤ m≤120) $.
(4)$\because m=-\frac{120}{U_0}+135$中,$k=-120＜0$,且$0≤ U_0≤6$,
$\therefore m$随$U_0$的增大而增大,
$\therefore U_0$取最大值6 V的时候,$m$取最大值,
此时$ m_{\mathrm{max}}=-\frac{120}{6}+135=115 $(千克).
故该电子体重秤可称的最大质量为115千克.