1. 在$Rt△ ABC$中，$AB=4$，$AC=2\sqrt{2}$，$∠ C=90°$，则$∠ A$的度数为（）

A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$60°$

在Rt△ABC中,
∵ AB = 4,AC = 2√2,∠C = 90°,
∴ cos A = $\frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ ∠A = 45°.

【分析】
本题是直角三角形求内角的题型，解题思路清晰：首先已知∠C为直角，要求∠A的度数，题目给出了∠A的邻边AC和斜边AB的长度，我们可以先依据余弦的定义算出cosA的数值，再结合特殊角的三角函数值，就能对应得到∠A的具体度数。
【解析】
在Rt△ABC中，
∵ AB = 4，AC = 2√2，∠C = 90°，
∴ cosA = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又
∵cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ ∠A = 45°。
【答案】
C
【知识点】
余弦的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查利用锐角三角函数求解直角三角形内角的方法，掌握锐角三角函数的定义、熟记常见特殊角的三角函数值即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 教材习题变式 [2026 南通期末] 在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ C=90°, AC=2\sqrt{3}, AB=4$, 解这个直角三角形.

解:在Rt△ABC中,由勾股定理可得 $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2$.
∵ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,
∴ ∠A = 30°,
∴ ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°.

【分析】
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角。本题已知直角三角形的斜边AB和直角边AC，首先可以通过勾股定理计算出另一条未知直角边BC；再结合锐角三角函数的定义求出其中一个锐角的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质求出剩余锐角的度数即可。
【解析】
在$Rt △ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求边$BC$的长度：
根据勾股定理$AB^2=AC^2+BC^2$，可得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4}=2$
2. 求$∠ A$的度数：
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$，
又因为$∠ A$是锐角，所以$∠ A=30°$。
3. 求$∠ B$的度数：
因为直角三角形两锐角互余，所以：
$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°$
【答案】
$BC=2$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数；直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题，核心考察勾股定理、锐角三角函数的应用以及直角三角形的基本性质，熟练记忆特殊角的三角函数值可以提高解题效率。
【难度系数】
0.85

3. [2026北京第159中学期末]如图,一艘船从港口A出发,以10海里/时的速度向正北方向航行,从港口A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上,若这艘船上午8点从港口A出发,10点到达小岛B,在小岛B处测得礁石C在北偏西60°方向上,则小岛B与礁石C的距离BC为 ()

A.40海里
B.30海里
C.20海里
D.10海里

根据题意可得 $AB = (10 - 8) × 10 = 20$(海里).
∵ ∠CAB = 30°,∠CBA = 120°,
∴ ∠ACB = ∠CAB = 30°,
∴ BC = AB = 20 海里.

【分析】
解题时第一步先根据船的航行速度和行驶时长，计算出A到B的距离AB；第二步结合方位角的定义，求出△ABC中∠CAB和∠CBA的度数；第三步利用三角形内角和为180°计算出∠ACB的度数，发现∠ACB与∠CAB相等；最后根据等腰三角形“等角对等边”的性质，即可得到BC的长度。
【解析】
首先计算AB的长度：船从上午8点航行到10点，行驶时长为$10-8=2$小时，已知航行速度为10海里/时，因此$AB = 2 × 10 = 20$（海里）。
由题意得：$∠ CAB = 30°$，B点正北方向与BC的夹角为$60°$，因此$∠ CBA = 180° - 60° = 120°$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 30° - 120° = 30°$
所以$∠ ACB = ∠ CAB = 30°$，根据等角对等边的性质，可得$BC = AB = 20$海里。
【答案】
C
【知识点】
方位角识别，三角形内角和定理，等腰三角形判定
【点评】
本题结合航行实际场景考察几何知识，解题的关键是准确根据方位角得到三角形的内角度数，利用等腰三角形的性质求解，难度较低。
【难度系数】
0.75

4. 如图,在铁路建设中,需要确定隧道两洞口A和B的距离.定位点D,E分别位于测绘点C的正北和正西方向.已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为200 m和100 m,测绘点H,G分别为CD,CE的中点,测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西53°的方向上,且HC = 480 m,则隧道AB的长约为.
(参考数据: $\sin 53° \approx 0.8$, $\cos 53° \approx 0.6$, $\tan 53° \approx \frac{4}{3}$)

在Rt△CGH中,∠CHG = 53°,CH = 480 m,
$\cos ∠CHG = \frac{CH}{HG}$,
∴ $HG = \frac{CH}{\cos 53°} \approx \frac{480}{0.6} = 800(\mathrm{m})$.
∵ 点H,G分别为CD,CE的中点,
∴ HG 是 △CDE 的中位线,
∴ $HG = \frac{1}{2}DE$,
∴ $DE = 2HG \approx 1 600 \mathrm{~m}$,
∴ $AB = DE - AE - BD \approx 1 600 - 200 - 100 = 1 300(\mathrm{m})$,
∴ 隧道 AB 的长约为 1 300 m.

【分析】
这是一道结合实际场景的几何计算问题，解题思路可分三步梳理：首先根据方向角确定Rt△CGH的内角度数，结合已知的CH边长，利用三角函数求出HG的长度；其次根据H、G分别是CD、CE中点的条件，判断HG是△CDE的中位线，利用中位线性质求出DE的长度；最后观察线段DE的组成，DE由AE、AB、BD三段组成，代入已知的AE、BD长度即可求出隧道AB的长。
【解析】
由题意可知∠C=90°，△CGH是直角三角形，且在H点测得G在H的南偏西53°方向，因此∠CHG=53°，已知HC=480m。
在Rt△CGH中，$\cos ∠ CHG = \frac{CH}{HG}$，
∴ $HG = \frac{CH}{\cos 53°} \approx \frac{480}{0.6} = 800(\mathrm{m})$。
∵ 点H,G分别为CD,CE的中点，
∴ HG是△CDE的中位线，根据三角形中位线定理可得：
$HG = \frac{1}{2}DE$，
∴ $DE = 2HG \approx 2×800 = 1600 \mathrm{~m}$。
又
∵E、A、B、D四点共线，$DE=AE+AB+BD$，已知AE=200m，BD=100m，
∴ $AB = DE - AE - BD \approx 1600 - 200 - 100 = 1300(\mathrm{m})$。
【答案】
1300 m
【知识点】
解直角三角形的应用，三角形中位线定理，方向角识别
【点评】
本题将实际测量问题转化为几何计算问题，核心是把方向角条件转化为三角形内角，结合解直角三角形、中位线性质关联已知线段和所求线段，能有效考查学生的模型转化能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7

5. 教材习题变式 [2026大庆三十六中期末]如图,轮船A位于灯塔P的北偏东$60°$方向上,到灯塔P的距离为80 n mile,轮船A沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P南偏东$45°$方向上的B处,此时轮船A到灯塔P的距离是多少?（结果保留整数,$\sqrt{2}≈1.414$,$\sqrt{3}≈1.732$,$\sqrt{6}≈2.449$）

解:如图,过点 P 作 $PC ⊥ AB$ 于点 C.
根据题意可得∠APC = 30°,∠BPC = 45°,AP = 80 n mile.
在 Rt△APC 中,$\cos ∠APC = \frac{PC}{AP} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴ $PC = \frac{\sqrt{3}}{2}AP = \frac{\sqrt{3}}{2} × 80 = 40\sqrt{3}(\mathrm{n} \mathrm{~mile})$.
在 Rt△BPC 中,$\cos ∠BPC = \frac{PC}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $PB = \frac{PC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40\sqrt{6} ≈ 98(\mathrm{n} \mathrm{~mile})$.
答:轮船 A 到灯塔 P 的距离约是 98 n mile.

【分析】
这是一道方位角背景下的解直角三角形应用题，解题思路如下：①首先通过作辅助线构造直角三角形：过P作PC⊥AB，将△PAB拆分为两个直角三角形Rt△APC和Rt△BPC；②先在已知边长的Rt△APC中，利用锐角三角函数求出两个直角三角形的公共边PC的长度；③再在Rt△BPC中，结合45°角的三角函数值，用PC的长度求出PB的长度，也就是所求的轮船到灯塔P的距离。
【解析】
解：如图，过点 P 作 $PC ⊥ AB$ 于点 C。
根据题意可得$∠ APC = 30°$，$∠ BPC = 45°$，$AP = 80 \ \mathrm{n \ mile}$。
在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中，$\cos ∠ APC = \frac{PC}{AP} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $PC = \frac{\sqrt{3}}{2}AP = \frac{\sqrt{3}}{2} × 80 = 40\sqrt{3}(\mathrm{n} \mathrm{~mile})$。
在 $\mathrm{Rt}△ BPC$ 中，$\cos ∠ BPC = \frac{PC}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $PB = \frac{PC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40\sqrt{6} ≈ 98(\mathrm{n} \mathrm{~mile})$。
【答案】
答:轮船A到灯塔P的距离约是98 n mile。

【知识点】
解直角三角形应用、方位角、锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的基础题型，核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形，以公共边为桥梁结合三角函数求解，能够很好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7

6. 教材练习变式 如图,一艘轮船由西向东航行,行驶到A岛时,测得灯塔B在A岛的北偏东$31°$方向上,继续向东航行10 n mile到达C岛,此时测得灯塔B在C岛的北偏西$61°$方向上,求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离.(结果精确到0.1 n mile,参考数据:$\sin 31° \approx 0.52,\cos 31° \approx 0.86,\tan 31° \approx 0.60,\sin 61° \approx 0.87,\cos 61° \approx 0.48,\tan 61° \approx 1.80$)

解:如图,过点 B 作 $BD ⊥ AC$ 于点 D,
则∠BDC = ∠ADB = 90°,∠ABD = 31°,∠CBD = 61°,
∴ $\tan 31° = \frac{AD}{BD}$,$\tan 61° = \frac{CD}{BD}$.
∵ $AD + CD = AC = 10 \mathrm{~n} \mathrm{~mile}$,
∴ $BD · \tan 31° + BD · \tan 61° = 10 \mathrm{~n} \mathrm{~mile}$,
∴ $BD = \frac{10}{\tan 31° + \tan 61°} ≈ \frac{10}{0.6 + 1.8} ≈ 4.2(\mathrm{n} \mathrm{~mile})$.
答:轮船在航行过程中与灯塔 B 的最短距离为 4.2 n mile.

【分析】
要找轮船航行过程中与灯塔B的最短距离，根据“点到直线的距离中垂线段最短”，可知最短距离是点B到AC的垂线段长度。首先过点B作BD⊥AC于D，BD即为所求。接下来结合方向角的性质可得∠ABD=31°、∠CBD=61°，再分别在两个直角三角形中用正切函数将AD、CD用含BD的式子表示，最后根据AD+CD=AC=10 n mile建立方程，代入三角函数值即可求出BD的长度。
【解析】
解：如图，过点B作$BD ⊥ AC$于点D，
则$∠BDC = ∠ADB = 90°$，$∠ABD = 31°$，$∠CBD = 61°$，
∴ $\tan 31° = \frac{AD}{BD}$，$\tan 61° = \frac{CD}{BD}$，即$AD=BD·\tan31°$，$CD=BD·\tan61°$。
∵ $AD + CD = AC = 10 \mathrm{~n~mile}$，
∴ $BD · \tan 31° + BD · \tan 61° = 10 \mathrm{~n~mile}$，
∴ $BD = \frac{10}{\tan 31° + \tan 61°} ≈ \frac{10}{0.6 + 1.8} ≈ 4.2(\mathrm{n~mile})$。
【答案】
轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2 n mile。

【知识点】
点到直线的距离、方向角、解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，结合方向角确定直角三角形的内角，再利用三角函数建立等量关系求解，有效考查了将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7