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7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=\sqrt{3}$,点$D$为$BC$边上一点,且$BD=2AD$.若$∠ ADC=60°$,则$BC$的长为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
在 Rt△ADC 中,
∵ $\sin ∠ADC = \frac{AC}{AD}$,
∴ $AD = \frac{AC}{\sin ∠ADC} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = 2$,
∴ $BD = 2AD = 4$.
∵ $\tan ∠ADC = \frac{AC}{DC}$,
∴ $DC = \frac{AC}{\tan ∠ADC} = \frac{\sqrt{3}}{\tan 60°} = 1$,
∴ $BC = BD + DC = 5$.
∵ $\sin ∠ADC = \frac{AC}{AD}$,
∴ $AD = \frac{AC}{\sin ∠ADC} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = 2$,
∴ $BD = 2AD = 4$.
∵ $\tan ∠ADC = \frac{AC}{DC}$,
∴ $DC = \frac{AC}{\tan ∠ADC} = \frac{\sqrt{3}}{\tan 60°} = 1$,
∴ $BC = BD + DC = 5$.
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知$∠ C=90°$，$△ ADC$是含$60°$特殊角的直角三角形，且已知$AC$的长度，因此第一步先在$\mathrm{Rt}△ADC$中利用锐角三角函数分别求出$AD$、$DC$的长度；再根据$BD=2AD$的数量关系求出$BD$的长度；最后$BC$是$BD$与$DC$的和，将两段长度相加即可得到$BC$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\sin∠ ADC}=\frac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
$\therefore BD=2AD=2×2=4$。
$\because \tan∠ ADC=\frac{AC}{DC}$，
$\therefore DC=\frac{AC}{\tan∠ ADC}=\frac{\sqrt{3}}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$，
$\therefore BC=BD+DC=4+1=5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形 2. 特殊角的三角函数值 3. 线段和差计算
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，解题核心是找准含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出对应线段长度，再结合已知的线段数量关系求解即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知$∠ C=90°$，$△ ADC$是含$60°$特殊角的直角三角形，且已知$AC$的长度，因此第一步先在$\mathrm{Rt}△ADC$中利用锐角三角函数分别求出$AD$、$DC$的长度；再根据$BD=2AD$的数量关系求出$BD$的长度；最后$BC$是$BD$与$DC$的和，将两段长度相加即可得到$BC$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin∠ ADC=\frac{AC}{AD}$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\sin∠ ADC}=\frac{\sqrt{3}}{\sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
$\therefore BD=2AD=2×2=4$。
$\because \tan∠ ADC=\frac{AC}{DC}$，
$\therefore DC=\frac{AC}{\tan∠ ADC}=\frac{\sqrt{3}}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$，
$\therefore BC=BD+DC=4+1=5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形 2. 特殊角的三角函数值 3. 线段和差计算
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，解题核心是找准含特殊角的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出对应线段长度，再结合已知的线段数量关系求解即可，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8. [2026包头青山区期末]某校组织一次定向越野拉练活动，如图，学生们从点A出发，途中会经过B,C两个检查点，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向上，且$AB=3\sqrt{2}$ km，点C在点A的北偏东80°方向上。若$∠ B=45°$，则检查点B,C之间的距离是多少？（结果保留根号）
答案
解:如图,过点 A 作 $AD ⊥ BC$ 于点 D,
∴ ∠BAD = ∠B = 45°,
∴ AD = BD.
∵ $\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} × 3\sqrt{2} = 3(\mathrm{km})$,
∴ $BD = AD = 3 \mathrm{~km}$.
∵ $∠CAB = 180° - 25° - 80° = 75°$,
∴ $∠C = 180° - 75° - 45° = 60°$.
∵ $\tan C = \frac{AD}{CD} = \tan 60° = \sqrt{3}$,
∴ $CD = \frac{AD}{\tan 60°} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(\mathrm{km})$,
∴ $BC = BD + CD = (3 + \sqrt{3})\mathrm{km}$.
解析
【分析】
这是一道结合方向角的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先△ABC为斜三角形，已知∠B=45°，我们可通过过点A作BC的垂线，将△ABC分割为两个直角三角形，把未知边长的求解转化为直角三角形的边长计算；第一步先在Rt△ABD中，利用∠B=45°和AB的长度求出AD、BD的长；第二步根据方向角的定义求出∠BAC的度数，再结合三角形内角和定理算出∠C的度数；第三步在Rt△ACD中，利用∠C的正切值求出CD的长；最后将BD和CD相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：如图，过点A作 $AD ⊥ BC$ 于点D，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∵ $∠ B = 45°$，
∴ $∠ BAD = ∠ B = 45°$，
∴ $AD = BD$。
∵ $\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AB=3\sqrt{2}\mathrm{ km}$，
∴ $AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} × 3\sqrt{2} = 3(\mathrm{km})$，
∴ $BD = AD = 3 \mathrm{~km}$。
根据方向角的定义，$∠ CAB = 180° - 25° - 80° = 75°$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ C = 180° - ∠ CAB - ∠ B = 180° - 75° - 45° = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \tan 60° = \sqrt{3}$，
∴ $CD = \frac{AD}{\tan 60°} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(\mathrm{km})$，
∴ $BC = BD + CD = (3 + \sqrt{3})\mathrm{km}$。
【答案】
检查点B,C之间的距离是$\boldsymbol{(3+\sqrt{3})\mathrm{km}}$
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题将方向角与解直角三角形的知识结合考查，通过作高将斜三角形转化为直角三角形是解题的核心，需要学生熟练掌握特殊角的三角函数值，能灵活运用三角函数求解直角三角形的边长，注重对实际问题转化为数学问题能力的考查。
【难度系数】
0.6
这是一道结合方向角的解直角三角形应用题，解题思路如下：首先△ABC为斜三角形，已知∠B=45°，我们可通过过点A作BC的垂线，将△ABC分割为两个直角三角形，把未知边长的求解转化为直角三角形的边长计算；第一步先在Rt△ABD中，利用∠B=45°和AB的长度求出AD、BD的长；第二步根据方向角的定义求出∠BAC的度数，再结合三角形内角和定理算出∠C的度数；第三步在Rt△ACD中，利用∠C的正切值求出CD的长；最后将BD和CD相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：如图，过点A作 $AD ⊥ BC$ 于点D，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∵ $∠ B = 45°$，
∴ $∠ BAD = ∠ B = 45°$，
∴ $AD = BD$。
∵ $\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AB=3\sqrt{2}\mathrm{ km}$，
∴ $AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \frac{\sqrt{2}}{2} × 3\sqrt{2} = 3(\mathrm{km})$，
∴ $BD = AD = 3 \mathrm{~km}$。
根据方向角的定义，$∠ CAB = 180° - 25° - 80° = 75°$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ C = 180° - ∠ CAB - ∠ B = 180° - 75° - 45° = 60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \tan 60° = \sqrt{3}$，
∴ $CD = \frac{AD}{\tan 60°} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(\mathrm{km})$，
∴ $BC = BD + CD = (3 + \sqrt{3})\mathrm{km}$。
【答案】
检查点B,C之间的距离是$\boldsymbol{(3+\sqrt{3})\mathrm{km}}$
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，三角形内角和定理
【点评】
本题将方向角与解直角三角形的知识结合考查，通过作高将斜三角形转化为直角三角形是解题的核心，需要学生熟练掌握特殊角的三角函数值，能灵活运用三角函数求解直角三角形的边长，注重对实际问题转化为数学问题能力的考查。
【难度系数】
0.6
9. ▶一题多解 [2025长沙中考]如图,某景区内两条互相垂直的道路$a,b$交于点$M$,景点$A,B$在道路$a$上,景点$C$在道路$b$上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路$b$上又开发了风景优美的景点$D$.测得景点$C$位于景点$B$的北偏东$60°$方向上,位于景点$A$的北偏东$30°$方向上,景点$B$位于景点$D$的南偏西$45°$方向上.已知$AB=800\ \mathrm{m}$.
(1)求$∠ ACB$的度数;
(2)求景点$C$与景点$D$之间的距离.(结果保留根号)
(1)求$∠ ACB$的度数;
(2)求景点$C$与景点$D$之间的距离.(结果保留根号)
答案
解:(1)如图,根据题意可得∠CBE = 60°,
∴ ∠CBA = 30°.
∵ ∠BAF = 90°,∠CAF = 30°,
∴ ∠BAC = 120°,
∴ ∠ACB = 180° - 30° - 120° = 30°.
(2) 通解 如图,
∵ ∠CBA = ∠ACB = 30°,
∴ AC = AB = 800 m.
∵ ∠CAM = ∠CBA + ∠ACB = 60°,
∴ ∠ACM = 30°,
∴ $AM = \frac{1}{2}AC = 400 \mathrm{~m}$,$\cos ∠ACM = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{MC}{AC}$,
∴ $CM = \frac{\sqrt{3}}{2}AC = \frac{\sqrt{3}}{2} × 800 = 400\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
∴ $BM = AB + AM = 800 + 400 = 1 200(\mathrm{m})$.
∵ ∠BDM = 45°,
∴ ∠MBD = 45°,
∴ DM = BM = 1 200 m,
∴ $DC = DM - CM = (1 200 - 400\sqrt{3})\mathrm{m}$.
答:景点 C 与景点 D 之间的距离为$(1 200 - 400\sqrt{3})\mathrm{m}$.
另解 如图,
∵ ∠ABC = ∠ACB = 30°,
∴ ∠CAM = 60°,
∴ ∠ACM = 30°.
设 $AM = x \mathrm{~m}$,
∴ $AC = 2AM = 2x \mathrm{~m}$,
∴ $\tan ∠ACM = \tan 30° = \frac{AM}{CM} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ $CM = \frac{AM}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x \mathrm{~m}$.
∵ ∠BCM = ∠ACB + ∠ACM = 60°,
∴ $\tan ∠BCM = \tan 60° = \frac{BM}{CM} = \frac{800 + x}{\sqrt{3}x} = \sqrt{3}$(方程思想),
解得 $x = 400$,
∴ $BM = BA + AM = 800 + 400 = 1 200(\mathrm{m})$.
∵ ∠BDM = 45°,
∴ ∠MBD = 45°,
∴ BM = DM = 1 200 m,
∴ $DC = DM - CM = (1 200 - 400\sqrt{3})\mathrm{m}$.
答:景点 C 与景点 D 之间的距离为$(1 200 - 400\sqrt{3})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
(1) 求解∠ACB度数：首先根据方向角的定义，把题目给出的北偏东类方位角转化为△ABC的内角度数，先求出∠ABC和∠BAC的大小，再利用三角形内角和为180°即可算出∠ACB。
(2) 求解CD的长度：先由(1)的等角结论推出AC=AB，再在Rt△ACM中利用特殊角的三角函数或30°直角三角形的性质求出AM、CM的长度；接着根据D点的方位角得出△BDM是等腰直角三角形，得到DM=BM，最后用DM减去CM即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 根据题意得∠CBE=60°，因此$∠ CBA=90°-60°=30°$。
已知$∠ CAF=30°$，因此$∠ BAC=90°+30°=120°$。
由三角形内角和定理可得：
$∠ ACB=180°-∠ CBA-∠ BAC=180°-30°-120°=30°$。
(2) 由(1)可知$∠ CBA=∠ ACB=30°$，根据等角对等边得$AC=AB=800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ CAM=90°-30°=60°$，因此$∠ ACM=30°$。
可得$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×800=400\ \mathrm{m}$，
$CM=AC·\cos30°=800×\frac{\sqrt{3}}{2}=400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$BM=AB+AM=800+400=1200\ \mathrm{m}$。
由景点B位于D的南偏西45°方向，得$∠ BDM=45°$，又$∠ M=90°$，因此$△ BDM$是等腰直角三角形，$DM=BM=1200\ \mathrm{m}$。
因此$CD=DM-CM=(1200-400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠ ACB=30°$；
(2) 景点C与景点D之间的距离为$(1200-400\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【知识点】
方向角的应用；三角形内角和定理；解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将方位条件转化为几何图形的角度关系，再利用特殊三角形的性质和三角函数计算，既考查基础概念的掌握，也考查将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠ACB度数：首先根据方向角的定义，把题目给出的北偏东类方位角转化为△ABC的内角度数，先求出∠ABC和∠BAC的大小，再利用三角形内角和为180°即可算出∠ACB。
(2) 求解CD的长度：先由(1)的等角结论推出AC=AB，再在Rt△ACM中利用特殊角的三角函数或30°直角三角形的性质求出AM、CM的长度；接着根据D点的方位角得出△BDM是等腰直角三角形，得到DM=BM，最后用DM减去CM即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 根据题意得∠CBE=60°，因此$∠ CBA=90°-60°=30°$。
已知$∠ CAF=30°$，因此$∠ BAC=90°+30°=120°$。
由三角形内角和定理可得：
$∠ ACB=180°-∠ CBA-∠ BAC=180°-30°-120°=30°$。
(2) 由(1)可知$∠ CBA=∠ ACB=30°$，根据等角对等边得$AC=AB=800\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$∠ CAM=90°-30°=60°$，因此$∠ ACM=30°$。
可得$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×800=400\ \mathrm{m}$，
$CM=AC·\cos30°=800×\frac{\sqrt{3}}{2}=400\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$BM=AB+AM=800+400=1200\ \mathrm{m}$。
由景点B位于D的南偏西45°方向，得$∠ BDM=45°$，又$∠ M=90°$，因此$△ BDM$是等腰直角三角形，$DM=BM=1200\ \mathrm{m}$。
因此$CD=DM-CM=(1200-400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $∠ ACB=30°$；
(2) 景点C与景点D之间的距离为$(1200-400\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【知识点】
方向角的应用；三角形内角和定理；解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将方位条件转化为几何图形的角度关系，再利用特殊三角形的性质和三角函数计算，既考查基础概念的掌握，也考查将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.65
10. 在$△ ABC$中，$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$∠ B = 45°$，求$BC$的长.
答案
解:分情况讨论:
①如图1,当△ABC为锐角三角形时,过点A作$AD ⊥ BC$于点D,
∵ $AB = 3\sqrt{6}$,∠B = 45°,
∴ $AD = BD = AB · \sin 45° = 3\sqrt{3}$,
∴ $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 3$,
∴ $BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$.
②如图2,当△ABC为钝角三角形时,
过点A作$AD ⊥ BC$,交BC的延长线于点D,
∵ $AB = 3\sqrt{6}$,∠B = 45°,
∴ $AD = BD = AB · \sin 45° = 3\sqrt{3}$,
∴ $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 3$,
∴ $BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$.
综上,BC的长为$3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$.
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，需分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论求解。解题时可通过作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形：先在Rt△ABD中，利用∠B=45°的三角函数值求出AD、BD的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理求出CD的长度，最后结合图形判断BC与BD、CD的数量关系，计算得到BC的长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当△ABC为锐角三角形时，过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
∵ $AB = 3\sqrt{6}$，∠B = 45°，
∴ $AD = BD = AB · \sin 45° = 3\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3$，
∴ $BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$。
② 当△ABC为钝角三角形时，过点A作$AD ⊥ BC$，交BC的延长线于点D，
∵ $AB = 3\sqrt{6}$，∠B = 45°，
∴ $AD = BD = AB · \sin 45° = 3\sqrt{3}$，
同理可得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 3$，
∴ $BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$。
【答案】
BC的长为$3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$。
【知识点】
1.解直角三角形
2.分类讨论思想
3.勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，解题关键是明确三角形形状不确定时需分类讨论，通过作高将非直角三角形转化为直角三角形是常用的转化方法，易错点是忽略钝角三角形的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，需分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论求解。解题时可通过作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形：先在Rt△ABD中，利用∠B=45°的三角函数值求出AD、BD的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理求出CD的长度，最后结合图形判断BC与BD、CD的数量关系，计算得到BC的长。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当△ABC为锐角三角形时，过点A作$AD ⊥ BC$于点D，
∵ $AB = 3\sqrt{6}$，∠B = 45°，
∴ $AD = BD = AB · \sin 45° = 3\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ADC$中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3$，
∴ $BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$。
② 当△ABC为钝角三角形时，过点A作$AD ⊥ BC$，交BC的延长线于点D，
∵ $AB = 3\sqrt{6}$，∠B = 45°，
∴ $AD = BD = AB · \sin 45° = 3\sqrt{3}$，
同理可得$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 3$，
∴ $BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$。
【答案】
BC的长为$3\sqrt{3} + 3$或$3\sqrt{3} - 3$。
【知识点】
1.解直角三角形
2.分类讨论思想
3.勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，解题关键是明确三角形形状不确定时需分类讨论，通过作高将非直角三角形转化为直角三角形是常用的转化方法，易错点是忽略钝角三角形的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
