7. [2025湖南中考]如图,某处有一个晾衣装置,固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B,D,AB=19分米,CD＞AB.在点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米,一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合),且直线MN⊥l.
(1)如图1,当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时,点E到直线AB的距离EG等于12分米,求该连衣裙MN的长度;
(2)如图2,为避免该连衣裙接触到地面,在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧),若∠BAE=76.1°,此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米?(结果保留整数,参考数据:sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.04)

解:(1)根据题意得,$MN = BG = AB - AG$.
在Rt△AEG中,$AE = 13$分米,$EG = 12$分米,
由勾股定理得,$AG = \sqrt{AE^2 - EG^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$(分米).
$\because AB = 19$分米,$\therefore MN = AB - AG = 19 - 5 = 14$(分米).
答:该连衣裙MN的长度为14分米.
(2)如图,过点E作$EK ⊥ AB$于点K.
在Rt△AKE中,
$AK = AE · \cos 76.1° \approx 13 × 0.24 = 3.12$(分米),
$\therefore BK = AB - AK = 19 - 3.12 = 15.88$(分米),
$\therefore BK - MN = 15.88 - 14 = 1.88 \approx 2$(分米).
答:此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米.

【分析】
(1) 要求连衣裙MN的长度，观察图形可知MN垂直地面l，EG垂直AB，AB也垂直地面l，因此四边形BGEN是矩形，可得MN=BG=AB-AG，只需求出AG即可。已知Rt△AEG的斜边AE和直角边EG的长度，利用勾股定理可求出AG，进而得到MN的长度。
(2) 要求连衣裙下端N到地面的距离，先求出点E到地面的高度，再减去连衣裙MN的长度即可。过E作EK垂直AB于K，在Rt△AKE中，已知∠BAE的度数和AE的长度，利用余弦三角函数可求出AK的长度，进而得到E到地面的高度BK，减去MN的长度即为N到地面的距离。
【解析】
(1) 根据题意，MN⊥l，AB⊥l，EG⊥AB，因此四边形BGEN为矩形，可得$MN = BG = AB - AG$。
在Rt△AEG中，$AE = 13$分米，$EG = 12$分米，由勾股定理得：
$AG = \sqrt{AE^2 - EG^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$（分米）
已知$AB = 19$分米，因此$MN = AB - AG = 19 - 5 = 14$（分米）。
(2) 过点E作$EK ⊥ AB$于点K，
在Rt△AKE中，$∠ BAE = 76.1°$，$AE=13$分米，
$AK = AE · \cos76.1° \approx 13 × 0.24 = 3.12$（分米）
则点E到地面的高度$BK = AB - AK = 19 - 3.12 = 15.88$（分米）
连衣裙长度MN为14分米，因此N点到地面的距离为$15.88 - 14 = 1.88 \approx 2$（分米）。
【答案】
(1) 该连衣裙MN的长度为14分米；
(2) 此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2分米。

【知识点】
勾股定理，锐角三角函数应用，矩形的性质
【点评】
本题以生活中的晾衣装置为背景，将实际问题转化为几何计算问题，体现了数学在生活中的应用价值，解题关键是正确构造直角三角形，梳理已知量和所求量之间的数量关系。
【难度系数】
0.75

8. [2025资阳中考]如图,已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为$30°$,在B处测得C的仰角为$60°$,斜坡AB的坡度$i=1:3$,$AB=10\sqrt{10}$米,$CD⊥ BD$.(点A,B,C,D在同一竖直平面内)
(1)求平台BN的高度;
(2)求建筑物的高度(即CD的长).

解:(1)如图,过点B作$BE ⊥ AM$于点E.
$\because$ 斜坡AB的坡度为$i = 1:3$,$\therefore \frac{BE}{AE} = \frac{1}{3}$,$\therefore AE = 3BE$.
在Rt△ABE中,$AB^2 = BE^2 + AE^2$,
$\therefore (10\sqrt{10})^2 = BE^2 + (3BE)^2$,$\therefore BE = 10$米.
答:平台BN的高度为10米.

(2)如图,延长CD交AM于点F,则$CF ⊥ AM$.
在Rt△ACF中,$∠ CAF = 30°$,
$\therefore \tan ∠ CAF = \frac{CF}{AF} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{CD + 10}{AF}$,$\therefore AF = \sqrt{3}(CD + 10)$.
在Rt△CBD中,$∠ CBD = 60°$,$\therefore BD = \frac{CD}{\tan ∠ CBD} = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$.
$\because AE = AF - EF = AF - BD = 3BE = 30$米,
$\therefore \sqrt{3}(CD + 10) - \frac{\sqrt{3}}{3}CD = 30$,$\therefore CD = (15\sqrt{3} - 15)$米.
答:建筑物的高度为$(15\sqrt{3} - 15)$米.

【分析】
(1) 求平台BN的高度，本质是求点B到水平地面AM的竖直距离，因此过B作$BE⊥AM$于E，BE的长度即为平台高度。已知斜坡AB的坡度$i=1:3$，坡度是竖直高度与水平宽度的比值，因此可得$BE:AE=1:3$，设BE为x，则$AE=3x$，结合AB的长度，在$Rt△ABE$中利用勾股定理即可求解x。
(2) 求CD的长度，由于$CD⊥BD$，BD在水平平台上，因此延长CD交AM于F，可得$CF⊥AM$，四边形BEFD为矩形，即$EF=BD$，$DF=BE$。分别在$Rt△ACF$（仰角$30°$）和$Rt△CBD$（仰角$60°$）中，利用锐角三角函数用CD表示出AF、BD的长度，再根据$AE=AF-EF=AF-BD$的等量关系列方程，即可求解CD的长度。
【解析】
(1) 如图，过点B作$BE ⊥ AM$于点E。
∵ 斜坡AB的坡度为$i = 1:3$，
∴ $\frac{BE}{AE} = \frac{1}{3}$，即$AE = 3BE$。
在$Rt△ABE$中，由勾股定理得$AB^2 = BE^2 + AE^2$，
代入$AB=10\sqrt{10}$，得$(10\sqrt{10})^2 = BE^2 + (3BE)^2$，
化简得$1000=10BE^2$，解得$BE = 10$米。

(2) 如图，延长CD交AM于点F，则$CF ⊥ AM$，易知四边形BDFE是矩形，故$BD=EF$，$DF=BE=10$米。
在$Rt△ACF$中，$∠ CAF = 30°$，
∴ $\tan ∠ CAF = \frac{CF}{AF} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，其中$CF=CD+DF=CD+10$，
代入得$\frac{CD + 10}{AF}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，整理得$AF = \sqrt{3}(CD + 10)$。
在$Rt△CBD$中，$∠ CBD = 60°$，
∴ $\tan ∠ CBD = \frac{CD}{BD}=\sqrt{3}$，整理得$BD = \frac{CD}{\tan 60°} = \frac{\sqrt{3}}{3}CD$。
由(1)得$AE = 3BE = 30$米，且$AE = AF - EF = AF - BD$，
代入AF、BD的表达式得：$\sqrt{3}(CD + 10) - \frac{\sqrt{3}}{3}CD = 30$，
化简求解得$CD = (15\sqrt{3} - 15)$米。
【答案】
(1) 平台BN的高度为10米；

(2) 建筑物的高度为$(15\sqrt{3} - 15)$米。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 坡度坡角问题
3. 仰角俯角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，结合了坡度、仰角的基础概念，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，再借助线段间的等量关系列方程求解，能够有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7

9. 应用意识 [2025海南中考]现有一台红外线理疗灯(如图1),该设备的主体由底座AB,立柱BC,伸缩杆CD和灯臂DE组成,A,B,C三点在同一直线上,图2是该设备的平面示意图.AC垂直于AF,AF与水平线l平行,CD与l的夹角为∠1,DE与l的夹角为∠2.经测量:AB为12 cm,BC为26 cm,DE为30 cm,∠BCD=154°,∠CDE=63°.
(1)填空:∠1=°,∠2=°.
(2)已知点E到AF的距离EM为50 cm时,该设备使用效果最佳.求此时伸缩杆CD的长度.(参考数据:$\sin26°=0.44,\cos26°=0.90,\sin37°=0.60,\cos37°=0.80$)

(1)64 53
如图,延长AC,ME分别交DG于点G,H,$\therefore ∠ CGD = 90°$,$∠ EHD = 90°$. $\because ∠ BCD = 154°$,$\therefore ∠ 1 = 154° - 90° = 64°$.
$\because ∠ CDE = 63°$,$\therefore ∠ 2 = 180° - 64° - 63° = 53°$.

(2)根据题意得,$\cos ∠ GCD = \frac{CG}{CD}$.
$\because ∠ GCD = 90° - ∠ 1 = 26°$,$\therefore CD = \frac{CG}{\cos 26°}$.
$\because AG = AB + BC + CG = MH = ME + EH$,
$\therefore 12 + 26 + CG = 50 + EH$,$\therefore CG = EH + 12$.
$\because ∠ 2 = 53°$,$∠ EHD = 90°$,$\therefore ∠ HED = 90° - 53° = 37°$,
$\cos ∠ HED = \frac{EH}{DE}$,
$\therefore EH = DE · \cos 37° = 30 × \cos 37° = 24(\mathrm{cm})$,
$\therefore CG = EH + 12 = 24 + 12 = 36(\mathrm{cm})$,$\therefore CD = \frac{36}{\cos 26°} = 40(\mathrm{cm})$.
答:此时伸缩杆CD的长度为40 cm.

【分析】
(1) 求∠1和∠2的度数时，先利用AF与水平线l平行、AC⊥AF的条件，可得AC垂直于l，即AC与l的夹角为90°。延长AC交l于G后，∠BCD是△DCG的外角，根据外角性质即可计算∠1；再结合平角为180°，减去∠1和∠CDE的度数即可得到∠2。
(2) 求CD的长度时，需将CD置于直角三角形中求解：分别延长AC、ME交l于G、H，得到Rt△DCG和Rt△DEH。先在Rt△DEH中用三角函数求出EH的长度，再根据竖直方向总高度相等的等量关系求出CG的长度，最后在Rt△DCG中利用余弦函数即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 如图，延长AC、ME分别交l于点G、H，
∴$∠ CGD=90°$，$∠ EHD=90°$。
$\because ∠ BCD=154°$，$∠ BCD$是$△ DCG$的外角，$\therefore ∠1=∠ BCD-∠ CGD=154°-90°=64°$。
$\because$点G、D、H在直线l上，$∠ CDE=63°$，$\therefore ∠2=180°-∠1-∠ CDE=180°-64°-63°=53°$。
(2) 在$Rt△ DCG$中，$∠ GCD=90°-∠1=90°-64°=26°$，由余弦定义得：$\cos∠ GCD=\frac{CG}{CD}$，即$CD=\frac{CG}{\cos26°}$。
由题意可知竖直方向总高度相等：$AG=MH$，其中$AG=AB+BC+CG$，$MH=ME+EH$，
代入已知数值得：$12+26+CG=50+EH$，整理得$CG=EH+12$。
在$Rt△ DEH$中，$∠2=53°$，$\therefore ∠ HED=90°-53°=37°$，由余弦定义得：$\cos∠ HED=\frac{EH}{DE}$，
已知$DE=30\ \mathrm{cm}$，代入得$EH=DE·\cos37°=30×0.80=24(\mathrm{cm})$。
$\therefore CG=24+12=36(\mathrm{cm})$，代入CD的表达式得：$CD=\frac{36}{\cos26°}=\frac{36}{0.90}=40(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{64}$；$\boldsymbol{53}$

(2) 此时伸缩杆CD的长度为$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 解直角三角形的应用
3. 直角三角形边角关系
【点评】
本题以生活中的红外线理疗灯为背景，将几何知识与实际场景结合，重点考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。解题的关键是合理构造辅助线得到直角三角形，结合角度与线段的等量关系，利用三角函数求解，能有效培养学生的应用意识和建模能力。
【难度系数】
0.6