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10. 当 $ n = $
$2$
时，单项式 $ 7x^2y^{2n+1} $ 与 $ -\dfrac{1}{3}x^2y^5 $ 是同类项。答案
10.2
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。观察题中的两个单项式，二者所含字母均为x和y，且x的指数都是2，因此只需让y的指数相等，据此列出关于n的方程求解即可。
【解析】
根据同类项的定义，两个单项式中y的指数相等，可列方程：
$2n+1=5$
移项计算得：$2n=5-1=4$
系数化为1得：$n=2$
【答案】
2
【知识点】
同类项的概念；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查同类项的判定规则，只要掌握“同类项的相同字母指数对应相等”的特点，结合简单的一元一次方程求解即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。观察题中的两个单项式，二者所含字母均为x和y，且x的指数都是2，因此只需让y的指数相等，据此列出关于n的方程求解即可。
【解析】
根据同类项的定义，两个单项式中y的指数相等，可列方程：
$2n+1=5$
移项计算得：$2n=5-1=4$
系数化为1得：$n=2$
【答案】
2
【知识点】
同类项的概念；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查同类项的判定规则，只要掌握“同类项的相同字母指数对应相等”的特点，结合简单的一元一次方程求解即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
11. 若关于 $ x $ 的方程 $ 2(x+a)=x $ 的解是 $ x=2 $，则 $ a $ 的值是
$-1$
。答案
11.$-1$
解析
【分析】
本题是已知一元一次方程的解求参数的问题，解题核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们可以直接将已知的解x=2代入原方程，此时原方程就转化为只含有参数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解就能得到a的值。
【解析】
∵ x=2是方程$2(x+a)=x$的解
∴ 将x=2代入方程，等式成立，得：
$2(2+a)=2$
方程两边同时除以2，得：
$2+a=1$
移项，得：
$a=1-2$
计算得：
$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考察对方程解的概念的理解和应用，掌握“将已知解代入原方程求参数”的思路即可快速解题，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题是已知一元一次方程的解求参数的问题，解题核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。我们可以直接将已知的解x=2代入原方程，此时原方程就转化为只含有参数a的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解就能得到a的值。
【解析】
∵ x=2是方程$2(x+a)=x$的解
∴ 将x=2代入方程，等式成立，得：
$2(2+a)=2$
方程两边同时除以2，得：
$2+a=1$
移项，得：
$a=1-2$
计算得：
$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考察对方程解的概念的理解和应用，掌握“将已知解代入原方程求参数”的思路即可快速解题，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
12. 若$3x - 2$和$4 - 5x$互为相反数，则$x=\_\_\_\_\_\_$。
答案
12.1
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0。结合题目给出的两个代数式互为相反数的条件，可列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去括号、合并同类项、移项、系数化为1）即可求出x的值。
【解析】
解：
∵互为相反数的两个数的和为0，且$3x - 2$和$4 - 5x$互为相反数
∴$(3x-2)+(4-5x)=0$
去括号得：$3x-2+4-5x=0$
合并同类项得：$-2x+2=0$
移项得：$-2x=-2$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
1
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为0的性质，再结合一元一次方程的解法求解即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0。结合题目给出的两个代数式互为相反数的条件，可列出关于x的一元一次方程，再按照解一元一次方程的常规步骤（去括号、合并同类项、移项、系数化为1）即可求出x的值。
【解析】
解：
∵互为相反数的两个数的和为0，且$3x - 2$和$4 - 5x$互为相反数
∴$(3x-2)+(4-5x)=0$
去括号得：$3x-2+4-5x=0$
合并同类项得：$-2x+2=0$
移项得：$-2x=-2$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
1
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握互为相反数的两数之和为0的性质，再结合一元一次方程的解法求解即可。
【难度系数】
0.9
13. 在公式 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$ 中，已知 $S=16$，$a=3$，$h=4$，则 $b=$
$5$
.答案
13.5
解析
【分析】
本题属于已知公式中部分量的值，求未知量的基础题型，解题思路清晰：首先将已知的S、a、h的数值代入给定的公式，得到只含有未知数b的一元一次方程，再按照一元一次方程的基本解法逐步计算，就能求出b的值。
【解析】
把$S=16$，$a=3$，$h=4$代入公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，得到方程：
$16=\frac{1}{2}×(3+b)×4$
先化简方程右侧：$\frac{1}{2}×4=2$，方程简化为：
$16=2(3+b)$
方程两边同时除以2，得：
$8=3+b$
移项计算得：
$b=8-3=5$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题考察代入法的运用和一元一次方程的基础解法，属于常规基础题，计算难度低，掌握基本运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题属于已知公式中部分量的值，求未知量的基础题型，解题思路清晰：首先将已知的S、a、h的数值代入给定的公式，得到只含有未知数b的一元一次方程，再按照一元一次方程的基本解法逐步计算，就能求出b的值。
【解析】
把$S=16$，$a=3$，$h=4$代入公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，得到方程：
$16=\frac{1}{2}×(3+b)×4$
先化简方程右侧：$\frac{1}{2}×4=2$，方程简化为：
$16=2(3+b)$
方程两边同时除以2，得：
$8=3+b$
移项计算得：
$b=8-3=5$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题考察代入法的运用和一元一次方程的基础解法，属于常规基础题，计算难度低，掌握基本运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
14. 小张有三种邮票共18枚，它们的数量之比为$1:2:3$，则最多的一种邮票有
$9$
枚.答案
14.9
解析
【分析】
本题是比例结合总量的应用题，解题思路如下：首先遇到已知多个量的比例关系的问题时，通常设每一份的数量为x，这样不同比例对应的量就可以用含x的式子简便表示；再根据三种邮票总数量为18枚的等量关系列出一元一次方程，解出x的值后，乘以最大的比例系数即可得到最多的一种邮票的数量。
【解析】
解：设三种邮票数量中每一份为x枚，则三种邮票的数量分别为x枚、2x枚、3x枚。
根据三种邮票共18枚，列方程得：
$x + 2x + 3x = 18$
合并同类项，得：$6x = 18$
系数化为1，得：$x = 3$
最多的一种邮票占3份，数量为$3x = 3×3 = 9$枚。
【答案】
9
【知识点】
1. 比例的应用
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类应用题，解题关键是掌握按比例设未知数的方法，结合总量建立方程求解，注意不要误将求出的x值直接当做最终答案，要对应所求的最大比例的量计算。
【难度系数】
0.8
本题是比例结合总量的应用题，解题思路如下：首先遇到已知多个量的比例关系的问题时，通常设每一份的数量为x，这样不同比例对应的量就可以用含x的式子简便表示；再根据三种邮票总数量为18枚的等量关系列出一元一次方程，解出x的值后，乘以最大的比例系数即可得到最多的一种邮票的数量。
【解析】
解：设三种邮票数量中每一份为x枚，则三种邮票的数量分别为x枚、2x枚、3x枚。
根据三种邮票共18枚，列方程得：
$x + 2x + 3x = 18$
合并同类项，得：$6x = 18$
系数化为1，得：$x = 3$
最多的一种邮票占3份，数量为$3x = 3×3 = 9$枚。
【答案】
9
【知识点】
1. 比例的应用
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类应用题，解题关键是掌握按比例设未知数的方法，结合总量建立方程求解，注意不要误将求出的x值直接当做最终答案，要对应所求的最大比例的量计算。
【难度系数】
0.8
15. 已知关于x的一元一次方程2026x−3=4x+7b的解为x=3，则关于y的一元一次方程2026(1−y)+3=4(1−y)−7b的解为
$y=4$
。答案
15.$y=4$
解析
【分析】
我们已知第一个关于x的一元一次方程的解是x=3，解题有两种清晰的思路：思路1：先根据一元一次方程解的定义，把x=3代入第一个方程，求出参数b的值，再把b代入第二个关于y的方程，按解一元一次方程的常规步骤求出y即可；思路2：观察两个方程的结构特征，将第二个方程变形为和第一个方程结构完全一致的形式，用整体代换的方法直接得到y和x的关系，不用计算b就能快速求出y，计算量更小。
【解析】
方法一（常规解法）：
1. 把x=3代入方程$2026x−3=4x+7b$，得：
$2026×3 - 3 = 4×3 + 7b$
计算化简：$6078 - 3 = 12 + 7b$，即$6075 = 12 + 7b$
移项得：$7b = 6075 - 12 = 6063$
2. 把$7b=6063$代入方程$2026(1−y)+3=4(1−y)−7b$，得：
$2026(1-y) + 3 = 4(1-y) - 6063$
移项，将含$(1-y)$的项移到左边，常数项移到右边：
$2026(1-y) - 4(1-y) = -6063 - 3$
合并同类项得：$2022(1-y) = -6066$
两边同时除以2022：$1-y = -3$
解得：$y=4$
方法二（整体代换法）：
将方程$2026(1−y)+3=4(1−y)−7b$两边同时乘$-1$，整理得：
$2026(y-1) - 3 = 4(y-1) + 7b$
对比已知方程$2026x - 3 = 4x + 7b$，两个方程结构完全相同，因此它们的解满足$y-1 = x$
已知$x=3$，所以$y-1=3$，解得$y=4$
【答案】
$y=4$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，整体代入法
【点评】
本题考查一元一次方程的相关应用，既可以通过先求参数再解方程的常规方法求解，也可以通过观察方程结构用整体代换的方法快速得出结果，后者能有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
我们已知第一个关于x的一元一次方程的解是x=3，解题有两种清晰的思路：思路1：先根据一元一次方程解的定义，把x=3代入第一个方程，求出参数b的值，再把b代入第二个关于y的方程，按解一元一次方程的常规步骤求出y即可；思路2：观察两个方程的结构特征，将第二个方程变形为和第一个方程结构完全一致的形式，用整体代换的方法直接得到y和x的关系，不用计算b就能快速求出y，计算量更小。
【解析】
方法一（常规解法）：
1. 把x=3代入方程$2026x−3=4x+7b$，得：
$2026×3 - 3 = 4×3 + 7b$
计算化简：$6078 - 3 = 12 + 7b$，即$6075 = 12 + 7b$
移项得：$7b = 6075 - 12 = 6063$
2. 把$7b=6063$代入方程$2026(1−y)+3=4(1−y)−7b$，得：
$2026(1-y) + 3 = 4(1-y) - 6063$
移项，将含$(1-y)$的项移到左边，常数项移到右边：
$2026(1-y) - 4(1-y) = -6063 - 3$
合并同类项得：$2022(1-y) = -6066$
两边同时除以2022：$1-y = -3$
解得：$y=4$
方法二（整体代换法）：
将方程$2026(1−y)+3=4(1−y)−7b$两边同时乘$-1$，整理得：
$2026(y-1) - 3 = 4(y-1) + 7b$
对比已知方程$2026x - 3 = 4x + 7b$，两个方程结构完全相同，因此它们的解满足$y-1 = x$
已知$x=3$，所以$y-1=3$，解得$y=4$
【答案】
$y=4$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，整体代入法
【点评】
本题考查一元一次方程的相关应用，既可以通过先求参数再解方程的常规方法求解，也可以通过观察方程结构用整体代换的方法快速得出结果，后者能有效减少计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
16. 我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将0.$\dot{3}$转化为分数时，可设0.$\dot{3}=x$，则$x=0.3+\frac{1}{10}x$，解得$x=\frac{1}{3}$，即0.$\dot{3}=\frac{1}{3}$.仿此方法，将0.$\ddot{73}$化成分数是
$\frac{73}{99}$
.答案
16.$\frac{73}{99}$
解析
【分析】
本题属于方法迁移类题目，可模仿题干给出的一位循环小数化分数的思路求解：首先观察到$0.\dot{7}\dot{3}$的循环节是2位，参考1位循环小数乘10对齐小数部分的逻辑，2位循环小数需要乘100，使乘完之后的数的小数部分和原数的小数部分完全相同，即可构造出只含未知数的一元一次方程，解方程即可得到对应分数。
【解析】
解：设$0.\dot{7}\dot{3}=x$，
由$0.\dot{7}\dot{3}=0.737373···$，将等式两边同时乘100可得：
$100x=73.737373···$
即$100x=73 + 0.\dot{7}\dot{3}$
将$0.\dot{7}\dot{3}=x$代入上式得：
$100x=73 + x$
移项、合并同类项得：$99x=73$
系数化为1得：$x=\frac{73}{99}$
【答案】
$\frac{73}{99}$
【知识点】
一元一次方程的应用，无限循环小数化分数
【点评】
本题解题核心是根据循环节的位数将原数扩大对应倍数（n位循环就扩大$10^n$倍），使扩大后的数和原数的小数部分完全一致，进而构造方程求解，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题属于方法迁移类题目，可模仿题干给出的一位循环小数化分数的思路求解：首先观察到$0.\dot{7}\dot{3}$的循环节是2位，参考1位循环小数乘10对齐小数部分的逻辑，2位循环小数需要乘100，使乘完之后的数的小数部分和原数的小数部分完全相同，即可构造出只含未知数的一元一次方程，解方程即可得到对应分数。
【解析】
解：设$0.\dot{7}\dot{3}=x$，
由$0.\dot{7}\dot{3}=0.737373···$，将等式两边同时乘100可得：
$100x=73.737373···$
即$100x=73 + 0.\dot{7}\dot{3}$
将$0.\dot{7}\dot{3}=x$代入上式得：
$100x=73 + x$
移项、合并同类项得：$99x=73$
系数化为1得：$x=\frac{73}{99}$
【答案】
$\frac{73}{99}$
【知识点】
一元一次方程的应用，无限循环小数化分数
【点评】
本题解题核心是根据循环节的位数将原数扩大对应倍数（n位循环就扩大$10^n$倍），使扩大后的数和原数的小数部分完全一致，进而构造方程求解，解题逻辑清晰，容易掌握。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共7小题,共52分)
17. (12分)解方程:
(1) $0.6x + 0.3 = 0.9x - 0.2$;
(2) $\frac{x - 3}{2} - \frac{4x + 1}{5} = 1$;
(3) $\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x - 1) - 2 - x = 2$;
(4) $\frac{x + 4}{0.2} - \frac{x - 3}{0.5} = 2$.
17. (12分)解方程:
(1) $0.6x + 0.3 = 0.9x - 0.2$;
(2) $\frac{x - 3}{2} - \frac{4x + 1}{5} = 1$;
(3) $\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x - 1) - 2 - x = 2$;
(4) $\frac{x + 4}{0.2} - \frac{x - 3}{0.5} = 2$.
答案
17. (1) $x=\frac{5}{3}$；(2) $x=-9$；(3) $x=-8$；(4) $x=-8$
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的求解，解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可根据每个方程的特点灵活调整步骤：(1)无分母和括号，直接移项计算即可；(2)含分母，先找分母最小公倍数去分母再计算；(3)含括号，先去括号再移项合并；(4)分母为小数，先利用分数基本性质将分母化为整数，再按常规步骤求解。
【解析】
(1) $0.6x + 0.3 = 0.9x - 0.2$
移项，得：$0.6x - 0.9x = -0.2 - 0.3$
合并同类项，得：$-0.3x = -0.5$
系数化为1，得：$x = \frac{-0.5}{-0.3} = \frac{5}{3}$
(2) $\frac{x - 3}{2} - \frac{4x + 1}{5} = 1$
去分母（两边同乘10），得：$5(x - 3) - 2(4x + 1) = 10$
去括号，得：$5x - 15 - 8x - 2 = 10$
移项，得：$5x - 8x = 10 + 15 + 2$
合并同类项，得：$-3x = 27$
系数化为1，得：$x = -9$
(3) $\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x - 1) - 2 - x = 2$
去括号，得：$\frac{1}{3}x - \frac{4}{3} - 2 - x = 2$
移项，得：$\frac{1}{3}x - x = 2 + \frac{4}{3} + 2$
合并同类项，得：$-\frac{2}{3}x = \frac{16}{3}$
系数化为1（两边同乘$-\frac{3}{2}$），得：$x = -8$
(4) $\frac{x + 4}{0.2} - \frac{x - 3}{0.5} = 2$
利用分数基本性质化去分母中的小数，得：$\frac{10(x + 4)}{2} - \frac{10(x - 3)}{5} = 2$
化简，得：$5(x + 4) - 2(x - 3) = 2$
去括号，得：$5x + 20 - 2x + 6 = 2$
移项，得：$5x - 2x = 2 - 20 - 6$
合并同类项，得：$3x = -24$
系数化为1，得：$x = -8$
【答案】
(1) $x=\frac{5}{3}$；(2) $x=-9$；(3) $x=-8$；(4) $x=-8$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、分数的基本性质
【点评】
本题为一元一次方程求解的基础题型，重点考查解题步骤的规范应用，解题时需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时要注意括号前的符号，分母为小数时先化整可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次方程的求解，解一元一次方程的常规步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可根据每个方程的特点灵活调整步骤：(1)无分母和括号，直接移项计算即可；(2)含分母，先找分母最小公倍数去分母再计算；(3)含括号，先去括号再移项合并；(4)分母为小数，先利用分数基本性质将分母化为整数，再按常规步骤求解。
【解析】
(1) $0.6x + 0.3 = 0.9x - 0.2$
移项，得：$0.6x - 0.9x = -0.2 - 0.3$
合并同类项，得：$-0.3x = -0.5$
系数化为1，得：$x = \frac{-0.5}{-0.3} = \frac{5}{3}$
(2) $\frac{x - 3}{2} - \frac{4x + 1}{5} = 1$
去分母（两边同乘10），得：$5(x - 3) - 2(4x + 1) = 10$
去括号，得：$5x - 15 - 8x - 2 = 10$
移项，得：$5x - 8x = 10 + 15 + 2$
合并同类项，得：$-3x = 27$
系数化为1，得：$x = -9$
(3) $\frac{4}{3}(\frac{1}{4}x - 1) - 2 - x = 2$
去括号，得：$\frac{1}{3}x - \frac{4}{3} - 2 - x = 2$
移项，得：$\frac{1}{3}x - x = 2 + \frac{4}{3} + 2$
合并同类项，得：$-\frac{2}{3}x = \frac{16}{3}$
系数化为1（两边同乘$-\frac{3}{2}$），得：$x = -8$
(4) $\frac{x + 4}{0.2} - \frac{x - 3}{0.5} = 2$
利用分数基本性质化去分母中的小数，得：$\frac{10(x + 4)}{2} - \frac{10(x - 3)}{5} = 2$
化简，得：$5(x + 4) - 2(x - 3) = 2$
去括号，得：$5x + 20 - 2x + 6 = 2$
移项，得：$5x - 2x = 2 - 20 - 6$
合并同类项，得：$3x = -24$
系数化为1，得：$x = -8$
【答案】
(1) $x=\frac{5}{3}$；(2) $x=-9$；(3) $x=-8$；(4) $x=-8$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、分数的基本性质
【点评】
本题为一元一次方程求解的基础题型，重点考查解题步骤的规范应用，解题时需注意：去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时要注意括号前的符号，分母为小数时先化整可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
18. (6分)当$m$取何值时，代数式$\frac{m+1}{3}$的值比$\frac{3m+1}{2}$的值小1？
答案
18. $m=\frac{5}{7}$
解析
【分析】
首先根据题干的关键描述提取等量关系：“$\frac{m+1}{3}$比$\frac{3m+1}{2}$小1”等价于$\frac{3m+1}{2}$减去$\frac{m+1}{3}$的差等于1，据此列出关于$m$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步求解即可。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\frac{3m+1}{2} - \frac{m+1}{3} = 1$
去分母，两边同时乘6（分母2和3的最小公倍数），得：
$3(3m+1) - 2(m+1) = 6$
去括号，得：
$9m + 3 - 2m - 2 = 6$
移项，得：
$9m - 2m = 6 - 3 + 2$
合并同类项，得：
$7m = 5$
系数化为1，得：
$m = \frac{5}{7}$
【答案】
$m=\frac{5}{7}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查根据文字表述提取等量关系的能力，以及解一元一次方程的基础操作，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
【难度系数】
0.7
首先根据题干的关键描述提取等量关系：“$\frac{m+1}{3}$比$\frac{3m+1}{2}$小1”等价于$\frac{3m+1}{2}$减去$\frac{m+1}{3}$的差等于1，据此列出关于$m$的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步求解即可。
【解析】
解：根据题意列方程：
$\frac{3m+1}{2} - \frac{m+1}{3} = 1$
去分母，两边同时乘6（分母2和3的最小公倍数），得：
$3(3m+1) - 2(m+1) = 6$
去括号，得：
$9m + 3 - 2m - 2 = 6$
移项，得：
$9m - 2m = 6 - 3 + 2$
合并同类项，得：
$7m = 5$
系数化为1，得：
$m = \frac{5}{7}$
【答案】
$m=\frac{5}{7}$
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程
【点评】
本题重点考查根据文字表述提取等量关系的能力，以及解一元一次方程的基础操作，解题时要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时若括号前为负号，括号内各项要变号。
【难度系数】
0.7
19. (6分)现有四个整式：$x^2 - 1, \frac{1}{2}, \frac{x+1}{3}, -2.$
(1) 若将其中任意两个整式用等号连接，则一共能组成
(2) 在(1)所组成的方程中，选择一个一元一次方程进行解方程.
(1) 若将其中任意两个整式用等号连接，则一共能组成
$5$
个方程；(2) 在(1)所组成的方程中，选择一个一元一次方程进行解方程.
答案
19. 解:(1) 组成的方程有:$x^2-1=\frac{1}{2}$,$x^2-1=\frac{x+1}{3}$,$x^2-1=-2$,$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$,$\frac{x+1}{3}=-2$,一共可以组成5个方程.
(2) 选择方程$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$,去分母,得$3=2x+2$,解得$x=\frac{1}{2}$;选择方程$\frac{x+1}{3}=-2$,去分母,得$x+1=-6$,解得$x=-7$.
(2) 选择方程$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$,去分母,得$3=2x+2$,解得$x=\frac{1}{2}$;选择方程$\frac{x+1}{3}=-2$,去分母,得$x+1=-6$,解得$x=-7$.
解析
【分析】
(1) 解题先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。首先计算四个整式两两组合的总情况数，再排除不含未知数的组合，剩余的就是符合要求的方程个数。四个整式两两配对共6种组合，其中$\frac{1}{2}$和$-2$都是常数，二者组成的等式不含未知数，不属于方程，剩下5种组合都含未知数，符合方程定义。
(2) 先明确一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数最高次数为1的整式方程。从第一问得到的方程中筛选出一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
【解析】
(1) 列出四个整式两两组合的所有等式：
① $x^2-1=\frac{1}{2}$，含未知数$x$，是方程；
② $x^2-1=\frac{x+1}{3}$，含未知数$x$，是方程；
③ $x^2-1=-2$，含未知数$x$，是方程；
④ $\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$，含未知数$x$，是方程；
⑤ $\frac{x+1}{3}=-2$，含未知数$x$，是方程；
⑥ $\frac{1}{2}=-2$，不含未知数，不是方程。
因此一共能组成5个方程。
(2) 选择一元一次方程$\frac{x+1}{3}=-2$求解：
去分母，等式两边同时乘3，得$x+1=-6$
移项，得$x=-6-1$
合并同类项，得$x=-7$
（若选择$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$求解：去分母得$3=2(x+1)$，去括号得$3=2x+2$，移项得$2x=3-2$，合并同类项得$2x=1$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$，结果也正确。）
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) 示例：选择$\frac{x+1}{3}=-2$，解得$\boldsymbol{x=-7}$（或选择$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$，解得$x=\frac{1}{2}$）
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题侧重基础概念的考察，第一问容易忽略“不含未知数的等式不是方程”，误算为6个，解题时要紧扣定义逐一判断；第二问解一元一次方程要注意去分母时不要漏乘常数项，掌握基础解方程步骤即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 解题先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。首先计算四个整式两两组合的总情况数，再排除不含未知数的组合，剩余的就是符合要求的方程个数。四个整式两两配对共6种组合，其中$\frac{1}{2}$和$-2$都是常数，二者组成的等式不含未知数，不属于方程，剩下5种组合都含未知数，符合方程定义。
(2) 先明确一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数最高次数为1的整式方程。从第一问得到的方程中筛选出一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）求解即可。
【解析】
(1) 列出四个整式两两组合的所有等式：
① $x^2-1=\frac{1}{2}$，含未知数$x$，是方程；
② $x^2-1=\frac{x+1}{3}$，含未知数$x$，是方程；
③ $x^2-1=-2$，含未知数$x$，是方程；
④ $\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$，含未知数$x$，是方程；
⑤ $\frac{x+1}{3}=-2$，含未知数$x$，是方程；
⑥ $\frac{1}{2}=-2$，不含未知数，不是方程。
因此一共能组成5个方程。
(2) 选择一元一次方程$\frac{x+1}{3}=-2$求解：
去分母，等式两边同时乘3，得$x+1=-6$
移项，得$x=-6-1$
合并同类项，得$x=-7$
（若选择$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$求解：去分母得$3=2(x+1)$，去括号得$3=2x+2$，移项得$2x=3-2$，合并同类项得$2x=1$，系数化为1得$x=\frac{1}{2}$，结果也正确。）
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) 示例：选择$\frac{x+1}{3}=-2$，解得$\boldsymbol{x=-7}$（或选择$\frac{1}{2}=\frac{x+1}{3}$，解得$x=\frac{1}{2}$）
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题侧重基础概念的考察，第一问容易忽略“不含未知数的等式不是方程”，误算为6个，解题时要紧扣定义逐一判断；第二问解一元一次方程要注意去分母时不要漏乘常数项，掌握基础解方程步骤即可得分。
【难度系数】
0.7
20. (6分)用铁皮制作茶叶盒,每张铁皮可制作盒身15个或制作盒盖42个,一个盒身与两个盒盖配成一套茶叶盒.现有108张铁皮,用多少张制作盒身,多少张制作盒盖,可以恰好配为成套茶叶盒?
答案
20. 用63张制作盒身,45张制作盒盖,可以恰好配为成套茶叶盒.
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题时可先梳理两个核心等量关系：①制作盒身的铁皮张数+制作盒盖的铁皮张数=总铁皮数108张；②配套规则要求盒盖的总数量=2×盒身的总数量（因为1个盒身需要配2个盒盖）。我们可以先设制作盒身的铁皮张数为x，用含x的式子表示制作盒盖的铁皮张数，再根据配套的数量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用x张铁皮制作盒身，则用$(108-x)$张铁皮制作盒盖。
根据配套时盒盖总数量是盒身总数量的2倍，列方程得：
$42(108-x)=2× 15x$
展开计算得：
$4536-42x=30x$
移项、合并同类项得：
$72x=4536$
系数化为1得：
$x=63$
则制作盒盖的铁皮张数为：$108-63=45$（张）
检验：盒身总数量为$63×15=945$个，盒盖总数量为$45×42=1890$个，$1890=2×945$，符合配套要求，结果正确。
【答案】
用63张制作盒身，45张制作盒盖，可以恰好配为成套茶叶盒。
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是常见的配套类应用题，解题的核心是准确匹配配套对应的数量关系，避免将盒身和盒盖的倍数关系写反，结合总数量的限制设未知数列方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套类应用题，解题时可先梳理两个核心等量关系：①制作盒身的铁皮张数+制作盒盖的铁皮张数=总铁皮数108张；②配套规则要求盒盖的总数量=2×盒身的总数量（因为1个盒身需要配2个盒盖）。我们可以先设制作盒身的铁皮张数为x，用含x的式子表示制作盒盖的铁皮张数，再根据配套的数量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设用x张铁皮制作盒身，则用$(108-x)$张铁皮制作盒盖。
根据配套时盒盖总数量是盒身总数量的2倍，列方程得：
$42(108-x)=2× 15x$
展开计算得：
$4536-42x=30x$
移项、合并同类项得：
$72x=4536$
系数化为1得：
$x=63$
则制作盒盖的铁皮张数为：$108-63=45$（张）
检验：盒身总数量为$63×15=945$个，盒盖总数量为$45×42=1890$个，$1890=2×945$，符合配套要求，结果正确。
【答案】
用63张制作盒身，45张制作盒盖，可以恰好配为成套茶叶盒。
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是常见的配套类应用题，解题的核心是准确匹配配套对应的数量关系，避免将盒身和盒盖的倍数关系写反，结合总数量的限制设未知数列方程即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
