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1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$，则$∠ A$的度数为（
A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
D
）A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
1.D
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$a=3\sqrt{3}$，$c=3\sqrt{6}$，求这个三角形的其他元素。
答案
2.【解】$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,a=3\sqrt{3},c=3\sqrt{6}$,
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3\sqrt{6})^2-(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{3}$,
$\therefore\tan B=\frac{b}{a}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=1,\therefore∠ B=45°$,
$\therefore∠ A=90°-∠ B=45°$.
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3\sqrt{6})^2-(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{3}$,
$\therefore\tan B=\frac{b}{a}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=1,\therefore∠ B=45°$,
$\therefore∠ A=90°-∠ B=45°$.
3. 如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,连结EB,EC,且EC平分∠BED,AB=$\sqrt{3}$,∠ABE=30°,则DE的长为
1
.答案
3.1
4. 新趋势学科内综合 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABO$是直角三角形,$∠ BAO=90°$,点$B$在$x$轴上,$AO=5,\cosα=\frac{3}{5}$.
(1)求点$A$的坐标;
(2)求$∠ ABO$的正切值;
(3)延长$BA$,交$y$轴于点$C$,则点$C$的坐标为
(1)求点$A$的坐标;
(2)求$∠ ABO$的正切值;
(3)延长$BA$,交$y$轴于点$C$,则点$C$的坐标为
$(0,\frac{25}{4})$
.答案
4.【解】(1)过点$A$作$AN⊥ OB$于点$N$,
$\because$在$\mathrm{Rt}△ AON$中,$\cosα=\frac{3}{5}=\frac{ON}{OA}=\frac{ON}{5},\therefore ON=3$.
$\therefore AN=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$\therefore$点$A$的坐标为$(3,4)$.
(2)由(1)易知$\tanα=\frac{4}{3}$,
$\because∠ OAB=90°,\therefore\tanα=\frac{AB}{OA}=\frac{4}{3}$.
$\therefore\tan∠ ABO=\frac{OA}{AB}=\frac{3}{4}$.
(3)$(0,\frac{25}{4})$ 【点拨】$\because OA=5$,在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$\cosα=\frac{OA}{OB}=\frac{3}{5}$,$\therefore OB=\frac{25}{3}$.由(2)知$\tan∠ ABO=\frac{3}{4}$,$\therefore\tan∠ ABO=\frac{3}{4}=\frac{OC}{OB}=\frac{OC}{\frac{25}{3}}$,$\therefore OC=\frac{25}{4}$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,\frac{25}{4})$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ AON$中,$\cosα=\frac{3}{5}=\frac{ON}{OA}=\frac{ON}{5},\therefore ON=3$.
$\therefore AN=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
$\therefore$点$A$的坐标为$(3,4)$.
(2)由(1)易知$\tanα=\frac{4}{3}$,
$\because∠ OAB=90°,\therefore\tanα=\frac{AB}{OA}=\frac{4}{3}$.
$\therefore\tan∠ ABO=\frac{OA}{AB}=\frac{3}{4}$.
(3)$(0,\frac{25}{4})$ 【点拨】$\because OA=5$,在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$\cosα=\frac{OA}{OB}=\frac{3}{5}$,$\therefore OB=\frac{25}{3}$.由(2)知$\tan∠ ABO=\frac{3}{4}$,$\therefore\tan∠ ABO=\frac{3}{4}=\frac{OC}{OB}=\frac{OC}{\frac{25}{3}}$,$\therefore OC=\frac{25}{4}$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,\frac{25}{4})$.
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$\sin B=\dfrac{4}{5}$，则BC的长是（
A.3
B.6
C.8
D.9
B
）A.3
B.6
C.8
D.9
答案
5.B
6. 济宁期末 新考法·化斜为直法 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=15°,BC=2√2,求AB的长. 
答案
6.【解】如图,过点$C$作$AB$的垂线,交$AB$的延长线于点$M$.$\because∠ A=30°,∠ ACB=15°,\therefore∠ CBM=30°+15°=45°$.$\therefore$易得$CM=BM=2$.在$\mathrm{Rt}△ ACM$中,$\tan A=\frac{CM}{AM}$,
$\therefore\frac{2}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.$\therefore AM=2\sqrt{3}$.
$\therefore AB=AM-BM=2\sqrt{3}-2$.
点方法 本题运用化斜为直法,通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.
7. 如图,一艘货轮在海面上航行,准备要停靠到码头C处,货轮航行到A处时,测得码头C处在北偏东$60°$方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东$30°$方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东$70°$方向航行20海里到达码头C,则货轮从A到B航行的距离约为
(第7题) (第8题)
6
海里.(结果精确到0.1海里,参考数据:$\sin 50°\approx0.766,\cos 50°\approx0.643,\tan 50°\approx1.192$)(第7题) (第8题)
答案
7.6 【点拨】如图,过$B$作$BD⊥ AC$于$D$,由题意可知$∠ ABE=30°,∠ BAC=30°$,则$∠ C=180°-30°-30°-70°=50°$.$\because$在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BC=20$海里,$\therefore BD=BC·\sin50°\approx20×0.766=15.32$(海里).$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ BAD=30°$,$\therefore AB=2BD\approx30.6$(海里),故货轮从$A$到$B$航行的距离约为30.6海里.
8. 新考法 方程思想 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD是斜边AB的中线,过点A作CD的垂线,分别交BC,CD于点E,F.若$\tan∠ CAE=\frac{2}{3}$,$AE=26$,则CD的长为（
A.39
B.$8\sqrt{13}$
C.$6\sqrt{13}$
D.19.5
D
）A.39
B.$8\sqrt{13}$
C.$6\sqrt{13}$
D.19.5
答案
8.D 【点拨】在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AC}=\frac{2}{3}$,
$\therefore$设$CE=2x$,则$AC=3x$,$\therefore CE^2+AC^2=AE^2$,即$(2x)^2+(3x)^2=26^2$,解得$x=2\sqrt{13}$(负值已舍去).
$\therefore AC=6\sqrt{13}$.$\because AE⊥ CD$,$\therefore∠ AEC+∠ ECD=90°$.
又$\because∠ CAE+∠ AEC=90°$,$\therefore∠ CAE=∠ ECD$.$\because CD$是斜边$AB$上的中线,$\therefore CD=BD=\frac{1}{2}AB$.$\therefore∠ ECD=∠ B$.$\therefore∠ CAE=∠ B$.$\therefore\tan B=\tan∠ CAE=\frac{2}{3}$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\tan B=\frac{AC}{BC}$,$\therefore BC=\frac{6\sqrt{13}}{\frac{2}{3}}=9\sqrt{13}$.
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(6\sqrt{13})^2+(9\sqrt{13})^2}=39$.
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=19.5$.
$\therefore$设$CE=2x$,则$AC=3x$,$\therefore CE^2+AC^2=AE^2$,即$(2x)^2+(3x)^2=26^2$,解得$x=2\sqrt{13}$(负值已舍去).
$\therefore AC=6\sqrt{13}$.$\because AE⊥ CD$,$\therefore∠ AEC+∠ ECD=90°$.
又$\because∠ CAE+∠ AEC=90°$,$\therefore∠ CAE=∠ ECD$.$\because CD$是斜边$AB$上的中线,$\therefore CD=BD=\frac{1}{2}AB$.$\therefore∠ ECD=∠ B$.$\therefore∠ CAE=∠ B$.$\therefore\tan B=\tan∠ CAE=\frac{2}{3}$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\tan B=\frac{AC}{BC}$,$\therefore BC=\frac{6\sqrt{13}}{\frac{2}{3}}=9\sqrt{13}$.
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(6\sqrt{13})^2+(9\sqrt{13})^2}=39$.
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB=19.5$.
