9. 新考法构造角平分线模型 如图，$∠ BAD=90°$，$∠ ADC=15°$，$∠ ABC=30°$，$AB=2$，$AD=2\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为（）

A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$3-\sqrt{3}$

9.A 【点拨】如图,过点$C$分别作$AD$,$AB$,$DB$的垂线,垂足分别为$E$,$G$,$F$.$\because∠ BAD=90°$,$AB=2$,$AD=2\sqrt{3}$,
$\therefore\tan∠ ADB=\frac{AB}{AD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=4$.
$\therefore∠ ADB=30°$.$\therefore∠ ABD=60°$.又$\because∠ ADC=15°$,$∠ ABC=30°$,$\therefore$易知$DC$,$BC$分别为$∠ ADB$,$∠ ABD$的平分线.$\therefore CE=CF=CG$.设$CE=CF=CG=a$,$\therefore\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}(AD+DB+AB)× a$.$\therefore2×2\sqrt{3}=(2\sqrt{3}+4+2)a$,解得$a=\sqrt{3}-1$,$\therefore$阴影部分的面积为$\frac{1}{2}AB· AD-\frac{1}{2}DB· CF=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{1}{2}×4×(\sqrt{3}-1)=2$.

10. 某区域平面示意图如图所示,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在B处测得点O位于北偏东$41.32°$,乙勘测员在A处测得点O位于南偏西$60°$,测得$AC=300\ \mathrm{m}$,$BC=400\ \mathrm{m}$,则点O到AC的距离约为 m.(结果保留整数.参考数据:$\sin 41.32°\approx0.66,\cos 41.32°\approx0.75,\tan 41.32°\approx0.88,\sqrt{3}\approx1.73)$

10.276 【点拨】作$ON⊥ BC$于点$N$,$OM⊥ AC$于点$M$,则易得四边形$ONCM$为矩形,$\therefore ON=MC$,$OM=NC$.设$OM=x\ \mathrm{m}$,则$NC=x\ \mathrm{m}$,$BN=(400-x)\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ BNO$中,$∠ BON=41.32°$,$\therefore ON=\frac{BN}{\tan41.32°}\approx\frac{400-x}{0.88}\ \mathrm{m}$,则$MC=ON\approx\frac{400-x}{0.88}\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△ AOM$中,$∠ OAM=60°$,$\therefore AM=\frac{OM}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x\ \mathrm{m}$.$\because AC=AM+CM$,$\therefore300\approx\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{400-x}{0.88}$,解得$x\approx276$,故点$O$到$AC$的距离约为276 m.

11. ★★ 如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=10，OB=17，$\cos∠ OBC=\dfrac{3}{5}$，则点C的坐标为________。

11.$(8,12)$ 【点拨】如图,过点$C$作$CD⊥ x$轴于点$D$,作$CE⊥ y$轴于点$E$.$\because∠ ACB=90°$,$∠ AOB=90°$,
$\therefore∠ OBC+∠ OAC=180°$.又$\because∠ EAC+∠ OAC=180°$,$\therefore∠ EAC=∠ OBC$.$\because AC=10$,$\cos∠ OBC=\frac{3}{5}$,
$\therefore\cos∠ EAC=\frac{EA}{AC}=\frac{EA}{10}=\cos∠ OBC=\frac{3}{5}$.$\therefore EA=6$.
$\therefore EC=\sqrt{AC^2-EA^2}=8$.易得$OD=EC=8$.$\because OB=17$,$\therefore BD=9$.
$\because\cos∠ OBC=\frac{BD}{CB}=\frac{3}{5}$,$\therefore CB=15$.$\therefore CD=\sqrt{CB^2-DB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$.$\therefore$点$C$的坐标为$(8,12)$.

12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$为$BC$上一点，$AB=5$，$BD=1$，$\tan B=\dfrac{3}{4}$，$∠ BAD=α$.
(1)求$AD$的长；
(2)求$\sin α$的值.

12.【解】(1)由题可设$AC=3x$,则$BC=4x$.$\because AC^2+BC^2=AB^2$,$\therefore(3x)^2+(4x)^2=5^2$,
解得$x_1=-1$(舍去),$x_2=1$,$\therefore AC=3$,$BC=4$.
又$\because BD=1$,$\therefore CD=3$.
$\therefore AD=\sqrt{CD^2+AC^2}=3\sqrt{2}$.
(2)过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,在$\mathrm{Rt}△ BED$中,$\tan B=\frac{DE}{BE}=\frac{3}{4}$,$\therefore$设$DE=3y$,则$BE=4y$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BED$中,$BE^2+DE^2=BD^2$,
$\therefore(3y)^2+(4y)^2=1^2$,解得$y_1=-\frac{1}{5}$(舍去),$y_2=\frac{1}{5}$.
$\therefore DE=\frac{3}{5}$.$\therefore\sinα=\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{3}{5}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$.
点技巧 解直角三角形的原则:(1)有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜(斜边)用切(正切);(2)宁乘勿除:选取便于计算的关系式,若能用乘法计算就不用除法计算;(3)取原避中:若能用原始数据计算,应避免使用中间数据求解.

13. 杭州联赛 新考向·知识情境化 如图①是折叠会议桌的实物图,其侧面可抽象成图②,桌面EF可绕点D转动$,EF//AB,DE=DF=DC=25 cm,DB=25\sqrt{10} cm,∠CAB=45°,$点B是点F在地面的正投影.
(1)①桌面EF到地面AB的距离为 cm,∠ACD≈°.
②求桌脚AC的长.(结果精确到0.1 cm)
(2)当桌面EF绕点D转动到图③所示位置时,求点E'到地面AB的距离.(参考数据:√2≈1.41,√10≈3.16,tan 71.6°≈3)

13.【解】(1)①75;116.6 【点拨】如图①,连结$BF$.$\because$点$B$是点$F$在地面的正投影,$\therefore FB⊥ AB$.$\because EF// AB$,$\therefore FB⊥ EF$.在$\mathrm{Rt}△ BFD$中,$DF=25\ \mathrm{cm}$,$DB=25\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$,$\therefore BF=\sqrt{DB^2-DF^2}=\sqrt{(25\sqrt{10})^2-25^2}=75(\mathrm{cm})$,即桌面$EF$到地面$AB$的距离为75 cm.
$\because\tan∠ FDB=\frac{BF}{DF}=\frac{75}{25}=3$,$\tan71.6°\approx3$,$\therefore∠ FDB\approx71.6°$.$\because EF// AB$,$\therefore∠ ABD=∠ FDB\approx71.6°$.
$\because∠ CAB=45°$,$\therefore∠ ACD=∠ CAB+∠ ABC\approx45°+71.6°=116.6°$.
②如图①,过点$C$作$CG⊥ AB$于点$G$.易知$\tan∠ CBG=\tan∠ FDB=\frac{CG}{BG}=3$,$\therefore CG=3BG$.$\because DC=25\ \mathrm{cm}$,$DB=25\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=DB-DC=(25\sqrt{10}-25)\mathrm{cm}$,在$\mathrm{Rt}△ BGC$中,$BC^2=CG^2+BG^2$,$\therefore(25\sqrt{10}-25)^2=(3BG)^2+BG^2=10BG^2$,$\therefore BG=(25-\frac{5}{2}\sqrt{10})\mathrm{cm}$,
$\therefore CG=3BG=(75-\frac{15}{2}\sqrt{10})\mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ AGC$中,$∠ CAB=45°$,$\therefore\sin∠ CAG=\sin45°=\frac{CG}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore AC=\sqrt{2}\ CG=75\sqrt{2}-\frac{15}{2}\sqrt{10}×\sqrt{2}\approx72.3(\mathrm{cm})$,即桌脚$AC$的长约为72.3 cm.

(2)如图②,过点$E'$作$E'H⊥ AB$于点$H$.由旋转的性质可知,$DE'=DE=25\ \mathrm{cm}$.$\because DB=25\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$,$\therefore E'B=E'D+DB=(25+25\sqrt{10})\mathrm{cm}$.易知$\tan∠ FDB=\tan∠ ABE'=3$.$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BHE'$中,$\tan∠ ABE'=\frac{E'H}{BH}=3$,$\therefore E'H=3BH$.
在$\mathrm{Rt}△ BHE'$中,$E'B^2=E'H^2+BH^2$,
$\therefore(25+25\sqrt{10})^2=(3BH)^2+BH^2=10BH^2$,$\therefore BH=(25+\frac{5}{2}\sqrt{10})\mathrm{cm}$,
$\therefore E'H=3BH=75+\frac{15}{2}\sqrt{10}\approx75+\frac{15}{2}×3.16=98.7(\mathrm{cm})$,$\therefore$点$E'$到地面$AB$的距离约为98.7 cm.