登录
1. 每年的3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动,如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动,则她们恰好选到同一个活动的概率是（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
1.C
2.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
D
）A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
答案
2.D 【点拨】列表如下：
| | 直行 | 左转 | 右转 |
| --- | --- | --- | --- |
| 直行 | (直行,直行) | (直行,左转) | (直行,右转) |
| 左转 | (左转,直行) | (左转,左转) | (左转,右转) |
| 右转 | (右转,直行) | (右转,左转) | (右转,右转) |
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中至少有一辆汽车向右转的结果共有5种，
∴至少有一辆汽车向右转的概率为$\frac{5}{9}$。
| | 直行 | 左转 | 右转 |
| --- | --- | --- | --- |
| 直行 | (直行,直行) | (直行,左转) | (直行,右转) |
| 左转 | (左转,直行) | (左转,左转) | (左转,右转) |
| 右转 | (右转,直行) | (右转,左转) | (右转,右转) |
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中至少有一辆汽车向右转的结果共有5种，
∴至少有一辆汽车向右转的概率为$\frac{5}{9}$。
3. [新考向数学文化]哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。在质数2,3,5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
3.B 【点拨】列表如下：
| | 2 | 3 | 5 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | | (2,3) | (2,5) |
| 3 | (3,2) | | (3,5) |
| 5 | (5,2) | (5,3) | |
由表可知,共有6种等可能的结果,其中和是偶数的结果有(3,5),(5,3),共2种,
∴和是偶数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
| | 2 | 3 | 5 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | | (2,3) | (2,5) |
| 3 | (3,2) | | (3,5) |
| 5 | (5,2) | (5,3) | |
由表可知,共有6种等可能的结果,其中和是偶数的结果有(3,5),(5,3),共2种,
∴和是偶数的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4.在两个袋内均装着分别写有1,2,3,4的4张卡片,从每个袋中各任取一张卡片,则所取两张卡片上数字之积为偶数的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{3}{4}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{7}{16}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
4.D 【点拨】画树状图如图：
共有16种等可能的结果数,其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12,
∴所取两张卡片上数字之积为偶数的概率是$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$。
5. 新趋势跨学科 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在延时课上制作了A,B,C,D四张卡片(如图),四张卡片除所写内容不同外,其他没有区别,放置于暗箱中摇匀.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中C卡片的概率是
$\frac{1}{4}$
；(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率.
答案
5.【解】(1)$\frac{1}{4}$
(2)四张卡片内容中是化学变化的是A,D,画树状图如图：
共有12种等可能的结果,其中小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的结果有(A,D),(D,A),共2种，
∴小夏抽取的两张卡片内容均为化学变化的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
6. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
A
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
6.A 【点拨】假设A,D为同一根绳子,B,E为同一根绳子,C,F为同一根绳子,列表如下：
| | D | E | F |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,D) | (A,E) | (A,F) |
| B | (B,D) | (B,E) | (B,F) |
| C | (C,D) | (C,E) | (C,F) |
共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一根绳子的结果有(A,D),(B,E),(C,F),共3种,
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
| | D | E | F |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,D) | (A,E) | (A,F) |
| B | (B,D) | (B,E) | (B,F) |
| C | (C,D) | (C,E) | (C,F) |
共有9种等可能的结果,其中两人恰好选中同一根绳子的结果有(A,D),(B,E),(C,F),共3种,
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
7.如图,四边形ABCD是平行四边形,从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这三个条件中任意选取两个,能使$□ ABCD$是正方形的概率为 (
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
A
)A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
7.A 【点拨】由题意知,能使$□ ABCD$是正方形的条件有①②,①③.画树状图如图.
共有6种等可能的结果,其中能使$□ ABCD$是正方形的结果有(①,②),(①,③),(②,①),(③,①),共4种，
∴能使$□ ABCD$是正方形的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
8. 新趋势跨学科 如图，电路上有$S_1,S_2,S_3,S_4$四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{11}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{9}{11}$
D
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{7}{11}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{9}{11}$
答案
8.D 【点拨】将这些开关随机闭合至少两个,所有等可能的结果有$(S_1,S_2),(S_1,S_3),(S_1,S_4),(S_2,S_3),(S_2,S_4),(S_3,S_4),(S_1,S_2,S_3),(S_1,S_2,S_4),(S_1,S_3,S_4),(S_2,S_3,S_4),(S_1,S_2,S_3,S_4)$,共11种,其中能让灯泡发光的结果有$(S_1,S_3),(S_1,S_4),(S_2,S_3),(S_2,S_4),(S_1,S_2,S_3),(S_1,S_2,S_4),(S_1,S_3,S_4),(S_2,S_3,S_4),(S_1,S_2,S_3,S_4)$,共9种,
∴将这些开关随机闭合至少两个,能让灯泡发光的概率为$\frac{9}{11}$。
∴将这些开关随机闭合至少两个,能让灯泡发光的概率为$\frac{9}{11}$。
9. 班长邀请A,B,C,D四名同学参加圆桌会议.
如图,班长坐在⑤号座位,四名同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两名同学座位相邻的概率是
如图,班长坐在⑤号座位,四名同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两名同学座位相邻的概率是
$\frac{1}{2}$
.答案
9.$\frac{1}{2}$ 【点拨】四名同学随机坐在①②③④四个座位的情况列表如下：
| ABCD | ABDC | ACBD | ACDB | ADBC | ADCB |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| BACD | BADC | CABD | CADB | DABC | DACB |
| BCAD | BDAC | CBAD | CDAB | DBAC | DCAB |
| BCDA | BDCA | CBDA | CDBA | DBCA | DCBA |
共有24种等可能的结果,其中A,B两名同学座位相邻的结果有12种,
∴A,B两名同学座位相邻的概率是$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
| ABCD | ABDC | ACBD | ACDB | ADBC | ADCB |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| BACD | BADC | CABD | CADB | DABC | DACB |
| BCAD | BDAC | CBAD | CDAB | DBAC | DCAB |
| BCDA | BDCA | CBDA | CDBA | DBCA | DCBA |
共有24种等可能的结果,其中A,B两名同学座位相邻的结果有12种,
∴A,B两名同学座位相邻的概率是$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
