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4. 在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点：$(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)$。
（1）观察你描出的各点，这些点的排列有什么规律？
（2）若点$(2025,y)$符合（1）中你所描的点的排列规律，那么$y$的值是多少？
（3）若点$(m,n)$也符合（1）中你所描的点的排列规律，那么$m,n$之间有什么关系？
（1）观察你描出的各点，这些点的排列有什么规律？
（2）若点$(2025,y)$符合（1）中你所描的点的排列规律，那么$y$的值是多少？
（3）若点$(m,n)$也符合（1）中你所描的点的排列规律，那么$m,n$之间有什么关系？
答案
解：
按坐标要求在平面直角坐标系中描出各点。
(1) 排列规律：所有描出的点在同一条从左下向右上延伸的直线上，任意一个点的纵坐标都比它的横坐标大1，相邻两点横向、纵向的间距均为1个单位长度。
(2) 由规律可知点的纵坐标等于横坐标加1，将横坐标2025代入得：
$y=2025+1=2026$。
(3) 若点$(m,n)$符合该排列规律，则$m,n$之间的关系为：$n=m+1$。
按坐标要求在平面直角坐标系中描出各点。
(1) 排列规律：所有描出的点在同一条从左下向右上延伸的直线上，任意一个点的纵坐标都比它的横坐标大1，相邻两点横向、纵向的间距均为1个单位长度。
(2) 由规律可知点的纵坐标等于横坐标加1，将横坐标2025代入得：
$y=2025+1=2026$。
(3) 若点$(m,n)$符合该排列规律，则$m,n$之间的关系为：$n=m+1$。
解析
【分析】
首先按照坐标描点的基本方法描出所有点：对每个点，先在x轴找到横坐标对应的位置，在y轴找到纵坐标对应的位置，两条垂线的交点就是要描的点。解决（1）问时，先从直观上观察点的位置特征，再对比每个点的横、纵坐标的数值，总结出数量规律；（2）问直接应用（1）中得到的横纵坐标的数量关系，代入横坐标2025即可求出y的值；（3）问将（1）中具体的数值规律用字母m、n替换对应的横、纵坐标，就能得到二者的通用关系。
【解析】
1. 描点操作：依次对给出的6个点，分别过x轴上横坐标对应点作x轴垂线，过y轴上纵坐标对应点作y轴垂线，两线交点即为所求点，完成描点。
(1) 观察描好的点可得：位置上所有点在同一条从左下向右上延伸的直线上，相邻两点横向、纵向的间距均为1个单位长度；数量上任意一个点的纵坐标都比它的横坐标大1。
(2) 根据上述规律，点的纵坐标=横坐标+1，将横坐标2025代入可得：
$y=2025+1=2026$
(3) 若点$(m,n)$符合该规律，将横坐标替换为m、纵坐标替换为n，可得二者关系：$n=m+1$。
【答案】
描点见解析；
(1) 所有描出的点在同一条从左下向右上延伸的直线上，任意一个点的纵坐标都比它的横坐标大1，相邻两点横向、纵向的间距均为1个单位长度；
(2) $y=2026$；
(3) $n=m+1$
【知识点】
平面直角坐标系描点，坐标规律探究，变量关系表示
【点评】
本题从基础的描点操作出发，引导学生通过观察特殊点的坐标特征，归纳出普遍的坐标规律，既考察了平面直角坐标系的基础操作能力，也锻炼了学生从特殊到一般的归纳总结能力，是坐标规律类的基础题型，能够帮助学生理解坐标数值与点的位置的对应关系。
【难度系数】
0.8
首先按照坐标描点的基本方法描出所有点：对每个点，先在x轴找到横坐标对应的位置，在y轴找到纵坐标对应的位置，两条垂线的交点就是要描的点。解决（1）问时，先从直观上观察点的位置特征，再对比每个点的横、纵坐标的数值，总结出数量规律；（2）问直接应用（1）中得到的横纵坐标的数量关系，代入横坐标2025即可求出y的值；（3）问将（1）中具体的数值规律用字母m、n替换对应的横、纵坐标，就能得到二者的通用关系。
【解析】
1. 描点操作：依次对给出的6个点，分别过x轴上横坐标对应点作x轴垂线，过y轴上纵坐标对应点作y轴垂线，两线交点即为所求点，完成描点。
(1) 观察描好的点可得：位置上所有点在同一条从左下向右上延伸的直线上，相邻两点横向、纵向的间距均为1个单位长度；数量上任意一个点的纵坐标都比它的横坐标大1。
(2) 根据上述规律，点的纵坐标=横坐标+1，将横坐标2025代入可得：
$y=2025+1=2026$
(3) 若点$(m,n)$符合该规律，将横坐标替换为m、纵坐标替换为n，可得二者关系：$n=m+1$。
【答案】
描点见解析；
(1) 所有描出的点在同一条从左下向右上延伸的直线上，任意一个点的纵坐标都比它的横坐标大1，相邻两点横向、纵向的间距均为1个单位长度；
(2) $y=2026$；
(3) $n=m+1$
【知识点】
平面直角坐标系描点，坐标规律探究，变量关系表示
【点评】
本题从基础的描点操作出发，引导学生通过观察特殊点的坐标特征，归纳出普遍的坐标规律，既考察了平面直角坐标系的基础操作能力，也锻炼了学生从特殊到一般的归纳总结能力，是坐标规律类的基础题型，能够帮助学生理解坐标数值与点的位置的对应关系。
【难度系数】
0.8
5.（1）如图，在平面直角坐标系中，横坐标都是1的点，如点$(1,2),(1,-\frac{1}{2}),(1,3),(1,-3)$都在一条直线上。
① 请描述这条直线的特征。
② 在平面直角坐标系中，横坐标都是2的点是否都在一条直线上？横坐标都是－3的点呢？说出你的发现。
（2）横坐标是纵坐标的2倍的点也在一条直线上吗？画一画，写出你的发现。
（3）通过以上问题的探索，请你提出一个与之相关的新问题，写出你的发现。
① 请描述这条直线的特征。
② 在平面直角坐标系中，横坐标都是2的点是否都在一条直线上？横坐标都是－3的点呢？说出你的发现。
（2）横坐标是纵坐标的2倍的点也在一条直线上吗？画一画，写出你的发现。
（3）通过以上问题的探索，请你提出一个与之相关的新问题，写出你的发现。
答案
解：
(1) ① 这条直线过$x$轴上的点$(1,0)$，平行于$y$轴（垂直于$x$轴），直线上所有点的横坐标恒为1。
② 横坐标都是2的点都在一条直线上，横坐标都是$-3$的点也都在一条直线上。
发现：平面直角坐标系中，横坐标为任意定值$a$的所有点，组成一条过点$(a,0)$且平行于$y$轴、垂直于$x$轴的直线。
(2) 描出满足横坐标是纵坐标2倍的点：$(0,0)$、$(2,1)$、$(-2,-1)$、$(4,2)$，将这些点依次连线，可知这些点都在同一条直线上。
发现：所有满足横坐标是纵坐标2倍的点，组成一条经过原点，分布在第一、三象限的直线。
(3) 提出新问题：纵坐标都是3的点是否都在同一条直线上？
发现：平面直角坐标系中，纵坐标为任意定值$b$的所有点，组成一条过点$(0,b)$且平行于$x$轴、垂直于$y$轴的直线。
(1) ① 这条直线过$x$轴上的点$(1,0)$，平行于$y$轴（垂直于$x$轴），直线上所有点的横坐标恒为1。
② 横坐标都是2的点都在一条直线上，横坐标都是$-3$的点也都在一条直线上。
发现：平面直角坐标系中，横坐标为任意定值$a$的所有点，组成一条过点$(a,0)$且平行于$y$轴、垂直于$x$轴的直线。
(2) 描出满足横坐标是纵坐标2倍的点：$(0,0)$、$(2,1)$、$(-2,-1)$、$(4,2)$，将这些点依次连线，可知这些点都在同一条直线上。
发现：所有满足横坐标是纵坐标2倍的点，组成一条经过原点，分布在第一、三象限的直线。
(3) 提出新问题：纵坐标都是3的点是否都在同一条直线上？
发现：平面直角坐标系中，纵坐标为任意定值$b$的所有点，组成一条过点$(0,b)$且平行于$x$轴、垂直于$y$轴的直线。
解析
【分析】
解题时需从平面直角坐标系中点的坐标的含义出发思考：首先对于横坐标为定值的点，x坐标固定不变，y可取任意实数，结合坐标系中直线的位置特征，即可判断这类点所在直线的特点；对于满足横坐标是纵坐标2倍的点，可先列举多个符合条件的点，描点连线后就能判断是否共线，再总结其直线特征；第三问为开放性问题，可类比横坐标为定值的规律，拓展思考纵坐标为定值的点的规律，提出对应问题并总结即可。
【解析】
(1) ① 观察所有横坐标为1的点，其x值恒等于1，x轴上x=1、y=0的点为(1,0)，将这类点连线后，直线与y轴平行、与x轴垂直，即可得到直线的特征。
② 横坐标为2的点x恒等于2，横坐标为-3的点x恒等于-3，类比横坐标为1的点的规律，可知这两类点都分别在同一条直线上，进而归纳出横坐标为定值a的点的共同直线特征。
(2) 先列举出(0,0)、(2,1)、(-2,-1)、(4,2)等满足“横坐标是纵坐标2倍”的点，在坐标系中描点后顺次连线，可观察到所有点都在同一条直线上，再总结这条直线的位置特征即可。
(3) 类比横坐标为定值的探究思路，可提出纵坐标为定值的相关问题，再按照相同的探究方法总结规律即可，结论合理即可。
【答案】
(1) ① 这条直线过$x$轴上的点$(1,0)$，平行于$y$轴（垂直于$x$轴），直线上所有点的横坐标恒为1。
② 横坐标都是2的点都在一条直线上，横坐标都是$-3$的点也都在一条直线上。
发现：平面直角坐标系中，横坐标为任意定值$a$的所有点，组成一条过点$(a,0)$且平行于$y$轴、垂直于$x$轴的直线。
(2) 描出满足横坐标是纵坐标2倍的点：$(0,0)$、$(2,1)$、$(-2,-1)$、$(4,2)$，将这些点依次连线，可知这些点都在同一条直线上。
发现：所有满足横坐标是纵坐标2倍的点，组成一条经过原点，分布在第一、三象限的直线。
(3) 提出新问题：纵坐标都是3的点是否都在同一条直线上？
发现：平面直角坐标系中，纵坐标为任意定值$b$的所有点，组成一条过点$(0,b)$且平行于$x$轴、垂直于$y$轴的直线。（第三问答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 点的坐标特征
2. 平行于坐标轴的直线的性质
3. 函数图象的初步认识
【点评】
这道题围绕平面直角坐标系中特殊直线上点的坐标规律展开探究，引导学生从特殊示例归纳一般结论，既巩固了坐标相关的基础知识，也锻炼了归纳推理与类比探究的能力，开放性问题的设置能有效拓展思维，提升对坐标规律的应用意识。
【难度系数】
0.8
解题时需从平面直角坐标系中点的坐标的含义出发思考：首先对于横坐标为定值的点，x坐标固定不变，y可取任意实数，结合坐标系中直线的位置特征，即可判断这类点所在直线的特点；对于满足横坐标是纵坐标2倍的点，可先列举多个符合条件的点，描点连线后就能判断是否共线，再总结其直线特征；第三问为开放性问题，可类比横坐标为定值的规律，拓展思考纵坐标为定值的点的规律，提出对应问题并总结即可。
【解析】
(1) ① 观察所有横坐标为1的点，其x值恒等于1，x轴上x=1、y=0的点为(1,0)，将这类点连线后，直线与y轴平行、与x轴垂直，即可得到直线的特征。
② 横坐标为2的点x恒等于2，横坐标为-3的点x恒等于-3，类比横坐标为1的点的规律，可知这两类点都分别在同一条直线上，进而归纳出横坐标为定值a的点的共同直线特征。
(2) 先列举出(0,0)、(2,1)、(-2,-1)、(4,2)等满足“横坐标是纵坐标2倍”的点，在坐标系中描点后顺次连线，可观察到所有点都在同一条直线上，再总结这条直线的位置特征即可。
(3) 类比横坐标为定值的探究思路，可提出纵坐标为定值的相关问题，再按照相同的探究方法总结规律即可，结论合理即可。
【答案】
(1) ① 这条直线过$x$轴上的点$(1,0)$，平行于$y$轴（垂直于$x$轴），直线上所有点的横坐标恒为1。
② 横坐标都是2的点都在一条直线上，横坐标都是$-3$的点也都在一条直线上。
发现：平面直角坐标系中，横坐标为任意定值$a$的所有点，组成一条过点$(a,0)$且平行于$y$轴、垂直于$x$轴的直线。
(2) 描出满足横坐标是纵坐标2倍的点：$(0,0)$、$(2,1)$、$(-2,-1)$、$(4,2)$，将这些点依次连线，可知这些点都在同一条直线上。
发现：所有满足横坐标是纵坐标2倍的点，组成一条经过原点，分布在第一、三象限的直线。
(3) 提出新问题：纵坐标都是3的点是否都在同一条直线上？
发现：平面直角坐标系中，纵坐标为任意定值$b$的所有点，组成一条过点$(0,b)$且平行于$x$轴、垂直于$y$轴的直线。（第三问答案不唯一，合理即可）
【知识点】
1. 点的坐标特征
2. 平行于坐标轴的直线的性质
3. 函数图象的初步认识
【点评】
这道题围绕平面直角坐标系中特殊直线上点的坐标规律展开探究，引导学生从特殊示例归纳一般结论，既巩固了坐标相关的基础知识，也锻炼了归纳推理与类比探究的能力，开放性问题的设置能有效拓展思维，提升对坐标规律的应用意识。
【难度系数】
0.8
