登录
一、矩形的性质
1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
1. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （
C
）A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先分别回忆平行四边形和矩形的性质，再对四个选项逐一对比，找出仅属于矩形、不属于平行四边形普遍性质的选项。首先明确平行四边形的基本性质，再明确矩形作为特殊平行四边形的特有性质，逐一核对选项即可推出答案。
【解析】
先梳理两类图形的性质，再逐个判断选项：
1. 平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，因此A选项“对边相等”、B选项“对角相等”、D选项“对角线互相平分”都是平行四边形普遍具备的性质，不符合题意。
2. 矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还有对角线相等、四个内角为直角的特有性质。普通平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此“对角线相等”是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的性质
【点评】
本题考查普通平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，属于基础概念考查题，熟练掌握各类四边形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先分别回忆平行四边形和矩形的性质，再对四个选项逐一对比，找出仅属于矩形、不属于平行四边形普遍性质的选项。首先明确平行四边形的基本性质，再明确矩形作为特殊平行四边形的特有性质，逐一核对选项即可推出答案。
【解析】
先梳理两类图形的性质，再逐个判断选项：
1. 平行四边形的性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分，因此A选项“对边相等”、B选项“对角相等”、D选项“对角线互相平分”都是平行四边形普遍具备的性质，不符合题意。
2. 矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还有对角线相等、四个内角为直角的特有性质。普通平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此“对角线相等”是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的性质
【点评】
本题考查普通平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，属于基础概念考查题，熟练掌握各类四边形的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图18-1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（
A.12
B.16
C.20
D.24
A
）A.12
B.16
C.20
D.24
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的对角线相关性质：矩形的对角线相等且互相平分，据此可先推出OA与OB的长度和相等关系；再结合已知∠AOD=120°，求出邻补角∠AOB的度数，判定△ABO的形状，进而求出AB的长度，最后将△ABO的三条边相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且对角线互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$，
∵$AC=8$，
∴$OA=OB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$∠AOD=120°$，$∠AOD+∠AOB=180°$，
∴$∠AOB=180°-120°=60°$，
又
∵$OA=OB$，
∴△ABO是等边三角形，
∴$AB=OA=OB=4$，
∴△ABO的周长=$OA+OB+AB=4+4+4=12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何题，结合矩形性质和等边三角形的判定进行考察，解题关键是利用矩形对角线的性质得到OA=OB，进而判断出△ABO为等边三角形。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的对角线相关性质：矩形的对角线相等且互相平分，据此可先推出OA与OB的长度和相等关系；再结合已知∠AOD=120°，求出邻补角∠AOB的度数，判定△ABO的形状，进而求出AB的长度，最后将△ABO的三条边相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且对角线互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$，
∵$AC=8$，
∴$OA=OB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵$∠AOD=120°$，$∠AOD+∠AOB=180°$，
∴$∠AOB=180°-120°=60°$，
又
∵$OA=OB$，
∴△ABO是等边三角形，
∴$AB=OA=OB=4$，
∴△ABO的周长=$OA+OB+AB=4+4+4=12$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何题，结合矩形性质和等边三角形的判定进行考察，解题关键是利用矩形对角线的性质得到OA=OB，进而判断出△ABO为等边三角形。
【难度系数】
0.8
3. 如图18-2,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为 (
A.2
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{10}-1$
D.$\sqrt{5}$
C
)A.2
B.$\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{10}-1$
D.$\sqrt{5}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，得到直角边BC的长度与∠ABC为直角；第二步，在直角三角形ABC中用勾股定理计算对角线AC的长度，也就是所作弧的半径AM的长度；第三步，结合数轴上点A对应的数值，根据半径长度求出点M对应的数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=1，
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点M，
∴$AM=AC=\sqrt{10}$，
结合题图可知，点A在数轴上表示的数为-1，
∴点M表示的数为$-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，实数与数轴
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，将矩形性质、勾股定理与数轴点的表示相结合，只要理清各量之间的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，得到直角边BC的长度与∠ABC为直角；第二步，在直角三角形ABC中用勾股定理计算对角线AC的长度，也就是所作弧的半径AM的长度；第三步，结合数轴上点A对应的数值，根据半径长度求出点M对应的数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=1，
根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点M，
∴$AM=AC=\sqrt{10}$，
结合题图可知，点A在数轴上表示的数为-1，
∴点M表示的数为$-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，勾股定理，实数与数轴
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题型，将矩形性质、勾股定理与数轴点的表示相结合，只要理清各量之间的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图18-3,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=3 cm,E是DC的中点,BF=$\frac{1}{2}$FC,则四边形DBFE的面积为
6
cm².答案
4.6
解析
【分析】
要求不规则四边形DBFE的面积，直接计算底和高比较困难，因此采用割补法求解：先计算包含该四边形的大三角形△DBC的面积，再减去空白小三角形△ECF的面积，即可得到四边形DBFE的面积。解题时先利用矩形的性质得到相关边的长度，再结合中点、线段比例关系求出△ECF的两条直角边长度，最后分别代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴DC=AB=6cm，BC=3cm，∠C=90°
首先计算△DBC的面积：
$S_{△ DBC}=\frac{1}{2} × DC × BC=\frac{1}{2} × 6 × 3=9\ \mathrm{cm}^2$
∵E是DC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}DC=3\ \mathrm{cm}$
∵$BF=\frac{1}{2}FC$，且$BF+FC=BC=3\ \mathrm{cm}$
∴$FC=\frac{2}{3}BC=2\ \mathrm{cm}$
再计算△ECF的面积：
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2} × EC × FC=\frac{1}{2} × 3 × 2=3\ \mathrm{cm}^2$
因此四边形DBFE的面积为：
$S_{DBFE}=S_{△ DBC}-S_{△ ECF}=9-3=6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
6
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题，通过割补法将未知的不规则图形面积转化为两个规则三角形面积的差，降低了解题难度，解题的关键是准确根据已知条件推导两个三角形的边长参数。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形DBFE的面积，直接计算底和高比较困难，因此采用割补法求解：先计算包含该四边形的大三角形△DBC的面积，再减去空白小三角形△ECF的面积，即可得到四边形DBFE的面积。解题时先利用矩形的性质得到相关边的长度，再结合中点、线段比例关系求出△ECF的两条直角边长度，最后分别代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴DC=AB=6cm，BC=3cm，∠C=90°
首先计算△DBC的面积：
$S_{△ DBC}=\frac{1}{2} × DC × BC=\frac{1}{2} × 6 × 3=9\ \mathrm{cm}^2$
∵E是DC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}DC=3\ \mathrm{cm}$
∵$BF=\frac{1}{2}FC$，且$BF+FC=BC=3\ \mathrm{cm}$
∴$FC=\frac{2}{3}BC=2\ \mathrm{cm}$
再计算△ECF的面积：
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2} × EC × FC=\frac{1}{2} × 3 × 2=3\ \mathrm{cm}^2$
因此四边形DBFE的面积为：
$S_{DBFE}=S_{△ DBC}-S_{△ ECF}=9-3=6\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
6
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的基础题，通过割补法将未知的不规则图形面积转化为两个规则三角形面积的差，降低了解题难度，解题的关键是准确根据已知条件推导两个三角形的边长参数。
【难度系数】
0.7
5. 如图18-4,在矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD间的数量关系,并说明理由.
图18-4
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD间的数量关系,并说明理由.
图18-4
答案
5.(1)
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD.
∴ ∠FAE=∠CDE.
∵ E是AD的中点,
∴ AE=DE.又
∵ ∠FEA=∠CED,
∴ △FAE≌△CDE.
∴ FA=CD.又
∵ FA//CD,
∴ 四边形ACDF是平行四边形.
(2)BC=2CD.理由如下:
∵ CF平分∠BCD,
∴ ∠DCE=45°.
∵ ∠CDE = 90°,
∴ ∠CED=45°.
∴ △CDE是等腰直角三角形.
∴ CD=DE.
∵ E是AD的中点,
∴ AD=2DE=2CD.
∵ AD=BC,
∴ BC=2CD.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AB//CD.
∴ ∠FAE=∠CDE.
∵ E是AD的中点,
∴ AE=DE.又
∵ ∠FEA=∠CED,
∴ △FAE≌△CDE.
∴ FA=CD.又
∵ FA//CD,
∴ 四边形ACDF是平行四边形.
(2)BC=2CD.理由如下:
∵ CF平分∠BCD,
∴ ∠DCE=45°.
∵ ∠CDE = 90°,
∴ ∠CED=45°.
∴ △CDE是等腰直角三角形.
∴ CD=DE.
∵ E是AD的中点,
∴ AD=2DE=2CD.
∵ AD=BC,
∴ BC=2CD.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ACDF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由矩形性质可得AB//CD，即FA//CD，接下来只需证FA=CD即可：结合E是AD中点的条件，利用对顶角相等、两直线平行内错角相等可证△FAE≌△CDE，得到FA=CD，即可完成证明。
(2) 推导BC与CD的数量关系时，先从CF平分∠BCD入手：矩形中∠BCD为90°，平分后得∠DCE=45°，结合∠D=90°可推出△CDE是等腰直角三角形，得CD=DE；再结合E是AD中点，得AD=2DE=2CD，最后利用矩形对边相等AD=BC，即可推出二者数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠FAE=∠CDE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
又
∵ ∠FEA=∠CED，
∴ △FAE≌△CDE（ASA），
∴ FA=CD。
又
∵ FA//CD，
∴ 四边形ACDF是平行四边形。
(2) BC=2CD，理由如下：
∵ CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴ ∠DCE=45°。
∵ ∠CDE = 90°，
∴ ∠CED=180°-90°-45°=45°，
∴ ∠DCE=∠CED，
∴ △CDE是等腰直角三角形，
∴ CD=DE。
∵ E是AD的中点，
∴ AD=2DE=2CD。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC，
∴ BC=2CD。
【答案】
(1) 四边形ACDF是平行四边形，证明如上；
(2) BC=2CD，理由如上。
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的性质与判定定理，结合角平分线、中点的性质逐步推导即可，能很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ACDF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理。首先由矩形性质可得AB//CD，即FA//CD，接下来只需证FA=CD即可：结合E是AD中点的条件，利用对顶角相等、两直线平行内错角相等可证△FAE≌△CDE，得到FA=CD，即可完成证明。
(2) 推导BC与CD的数量关系时，先从CF平分∠BCD入手：矩形中∠BCD为90°，平分后得∠DCE=45°，结合∠D=90°可推出△CDE是等腰直角三角形，得CD=DE；再结合E是AD中点，得AD=2DE=2CD，最后利用矩形对边相等AD=BC，即可推出二者数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CD，
∴ ∠FAE=∠CDE。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
又
∵ ∠FEA=∠CED，
∴ △FAE≌△CDE（ASA），
∴ FA=CD。
又
∵ FA//CD，
∴ 四边形ACDF是平行四边形。
(2) BC=2CD，理由如下：
∵ CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴ ∠DCE=45°。
∵ ∠CDE = 90°，
∴ ∠CED=180°-90°-45°=45°，
∴ ∠DCE=∠CED，
∴ △CDE是等腰直角三角形，
∴ CD=DE。
∵ E是AD的中点，
∴ AD=2DE=2CD。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC，
∴ BC=2CD。
【答案】
(1) 四边形ACDF是平行四边形，证明如上；
(2) BC=2CD，理由如上。
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是熟练掌握特殊四边形的性质与判定定理，结合角平分线、中点的性质逐步推导即可，能很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
