2. 类比反比例函数的图象与性质的学习过程,小欣进一步研究了函数 $y=\dfrac{1}{x+1}$ 的图象与性质.
其过程如下.
(1)绘制函数图象
①列表:

②描点:根据表中的数值描点 $(x,y)$.
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.

(2)探究函数性质
判断下列说法是否正确.(正确的画“√”,错误的画“×”)
①函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小.（）
②函数图象关于原点对称.（）
③函数图象与直线 $x=-1$ 没有交点.（）

2. (1)如图.
(2)①× ②× ③√ 解析:根据函数图象可知,每一个分支上,函数值y随x的增大而减小,故①错误;图象关于(-1,0)对称,故②错误;函数图象与直线x=-1没有交点,故③正确.

【分析】
函数$y=\dfrac{1}{x+1}$是反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$向左平移1个单位得到的，定义域为$x≠ -1$，图像分为$x＜-1$和$x＞-1$两个分支。绘制图像时，需根据给出的点分两个区域用平滑曲线连接，注意$x=-1$是渐近线，曲线不会与该直线相交；判断性质时，要结合图像，明确增减性仅在每个分支成立、对称中心为$(-1,0)$而非原点、$x=-1$时函数无意义，以此分析各说法。
【解析】
(1) 绘制图象：根据表格中的点，在$x＞-1$的区域，用平滑曲线依次连接$(0,1)$、$(1,0.5)$、$(2,0.25)$等点；在$x＜-1$的区域，用平滑曲线依次连接$(-4,-0.25)$、$(-3,-0.5)$、$(-2,-1)$、$(-1.5,-2)$、$(-1.25,-4)$等点，注意曲线在$x$接近$-1$时，右侧趋向正无穷，左侧趋向负无穷，完成图象补充。
(2) 性质判断：①函数值$y$随$x$的增大而减小仅在每个分支上成立，并非整个定义域，故该说法错误；②函数图象的对称中心为$(-1,0)$，不是原点，故该说法错误；③当$x=-1$时，函数$y=\dfrac{1}{x+1}$无意义，因此图象与直线$x=-1$没有交点，故该说法正确。
【答案】
(1) 如图. (2) ①× ②× ③√
【知识点】
反比例函数图像与性质，函数图像绘制，函数对称性
【点评】
本题类比反比例函数的学习过程，考察函数图象的绘制及性质，重点需掌握函数平移后的特征、增减性的分支性、对称中心及渐近线的性质，易因忽略定义域或增减性的适用范围出错。
【难度系数】
0.5