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7. 若关于$x$的方程$(x-2)^2=1-m$没有实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m＞1$
D.$m＜1$
C
）A.$m＞2$
B.$m＜2$
C.$m＞1$
D.$m＜1$
答案
7.C 解析:当 $1-m＜0$ 时,方程没有实数根,解得 $m＞1$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的情况，方程$(x-2)^2=1-m$可通过直接开平方法求解。根据平方数的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此若方程没有实数根，说明等式右边的$1-m$为负数，据此列出关于$m$的不等式，解不等式后对应选项即可得出答案。
【解析】
1. 利用平方数的非负性：对任意实数$x$，都有$(x-2)^2≥0$；
2. 已知方程没有实数根，因此等式右边的$1-m$必须小于0，即$1-m＜0$；
3. 解上述不等式：移项得$-m＜-1$，两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），解得$m＞1$；
4. 结合选项，$m＞1$对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用平方数的非负性判断方程有实根的条件，进而转化为一元一次不等式求解，解题思路明确，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的情况，方程$(x-2)^2=1-m$可通过直接开平方法求解。根据平方数的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此若方程没有实数根，说明等式右边的$1-m$为负数，据此列出关于$m$的不等式，解不等式后对应选项即可得出答案。
【解析】
1. 利用平方数的非负性：对任意实数$x$，都有$(x-2)^2≥0$；
2. 已知方程没有实数根，因此等式右边的$1-m$必须小于0，即$1-m＜0$；
3. 解上述不等式：移项得$-m＜-1$，两边同时乘以$-1$（不等号方向改变），解得$m＞1$；
4. 结合选项，$m＞1$对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用平方数的非负性判断方程有实根的条件，进而转化为一元一次不等式求解，解题思路明确，难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 已知$x_{1}$、$x_{2}$是一元二次方程$(x-1)^{2}=5$的两个解，且$x_{1}＜x_{2}$，下列说法正确的是（
A.$x_{1}＜-1,x_{2}＞3$
B.$x_{1}＜-2,x_{2}＞3$
C.$-1＜x_{1}＜3,-1＜x_{2}＜3$
D.$x_{1}＜3,x_{2}＜3$
A
）A.$x_{1}＜-1,x_{2}＞3$
B.$x_{1}＜-2,x_{2}＞3$
C.$-1＜x_{1}＜3,-1＜x_{2}＜3$
D.$x_{1}＜3,x_{2}＜3$
答案
8.A 解析:
∵$x_1$、$x_2$是一元二次方程$(x-1)^2=5$的两个解,且 $x_1＜x_2$,
∴$x-1=±\sqrt{5}$,
∴$x_2=1+\sqrt{5}＞3$,$x_1=1-\sqrt{5}＜-1$.
∵$x_1$、$x_2$是一元二次方程$(x-1)^2=5$的两个解,且 $x_1＜x_2$,
∴$x-1=±\sqrt{5}$,
∴$x_2=1+\sqrt{5}＞3$,$x_1=1-\sqrt{5}＜-1$.
解析
【分析】
这道题需要先利用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到两个根后，结合无理数的大小估算确定根的范围，再对比选项选出正确答案。解题思路为：1. 用直接开平方法解方程$(x-1)^2=5$；2. 确定两个根的大小关系，区分出$x_1$和$x_2$；3. 估算$\sqrt{5}$的范围，进而得到$x_1$、$x_2$的取值范围；4. 匹配选项得出结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x-1)^2=5$，根据直接开平方法，可得$x-1=\pm\sqrt{5}$，因此方程的两个解为$x=1+\sqrt{5}$或$x=1-\sqrt{5}$。
已知$x_1＜x_2$，故$x_1=1-\sqrt{5}$，$x_2=1+\sqrt{5}$。
估算无理数$\sqrt{5}$：因为$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，由此可得：
$x_1=1-\sqrt{5}＜1-2=-1$，$x_2=1+\sqrt{5}＞1+2=3$。
对比选项，只有A选项符合上述结论。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法、无理数的估算
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法求解及无理数的大小估算，属于基础题型，解题关键是正确解方程并准确估算无理数的取值范围。
【难度系数】
0.7
这道题需要先利用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到两个根后，结合无理数的大小估算确定根的范围，再对比选项选出正确答案。解题思路为：1. 用直接开平方法解方程$(x-1)^2=5$；2. 确定两个根的大小关系，区分出$x_1$和$x_2$；3. 估算$\sqrt{5}$的范围，进而得到$x_1$、$x_2$的取值范围；4. 匹配选项得出结论。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x-1)^2=5$，根据直接开平方法，可得$x-1=\pm\sqrt{5}$，因此方程的两个解为$x=1+\sqrt{5}$或$x=1-\sqrt{5}$。
已知$x_1＜x_2$，故$x_1=1-\sqrt{5}$，$x_2=1+\sqrt{5}$。
估算无理数$\sqrt{5}$：因为$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，由此可得：
$x_1=1-\sqrt{5}＜1-2=-1$，$x_2=1+\sqrt{5}＞1+2=3$。
对比选项，只有A选项符合上述结论。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法、无理数的估算
【点评】
本题考查一元二次方程的直接开平方法求解及无理数的大小估算，属于基础题型，解题关键是正确解方程并准确估算无理数的取值范围。
【难度系数】
0.7
9. 若关于 $x$ 的方程 $a(x+m)^2=b$（$a≠0$，$a$、$b$、$m$ 均为常数）的根是 $x_1=5$，$x_2=-6$，则关于 $x$ 的方程 $a(x+m+2)^2=b$ 的根是（
A.$x_1=7$，$x_2=-4$
B.$x_1=3$，$x_2=-8$
C.$x_1=-7$，$x_2=8$
D.$x_1=-7$，$x_2=4$
B
）A.$x_1=7$，$x_2=-4$
B.$x_1=3$，$x_2=-8$
C.$x_1=-7$，$x_2=8$
D.$x_1=-7$，$x_2=4$
答案
9.B 解析:把$(x+2)$看作整体,根据题意可知,关于$(x+2)$的方程的根为 $x+2=5$ 或 $x+2=-6$,
∴$x_1=3,x_2=-8$.
∴$x_1=3,x_2=-8$.
解析
【分析】本题可利用整体代换的思想求解。已知方程$a(x+m)^2 = b$的根，观察待求方程与已知方程的结构，发现待求方程中括号内的部分比已知方程多了2，因此可将待求方程中$(x+2)$看作一个整体，对应已知方程中的$x$，进而利用已知方程的根求出待求方程的根。
【解析】已知方程$a(x+m)^2 = b$（$a≠0$）的根为$x_1=5$，$x_2=-6$，根据一元二次方程的解的定义，可知该方程满足$x+m=5$或$x+m=-6$。对待求方程$a(x+m+2)^2 = b$，令$t = x+2$，则方程变形为$a(t + m)^2 = b$，与已知方程结构一致，因此其根满足$t + m =5$或$t + m = -6$，即：当$x+2=5$时，解得$x=3$；当$x+2=-6$时，解得$x=-8$。因此方程$a(x+m+2)^2 = b$的根为$x_1=3$，$x_2=-8$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解，整体代换思想
【点评】本题考查整体代换思想在一元二次方程求解中的应用，无需计算参数值，通过结构对应关系即可快速得到结果，是一元二次方程相关的基础题型，需熟练掌握整体代换方法。
【难度系数】0.6
【解析】已知方程$a(x+m)^2 = b$（$a≠0$）的根为$x_1=5$，$x_2=-6$，根据一元二次方程的解的定义，可知该方程满足$x+m=5$或$x+m=-6$。对待求方程$a(x+m+2)^2 = b$，令$t = x+2$，则方程变形为$a(t + m)^2 = b$，与已知方程结构一致，因此其根满足$t + m =5$或$t + m = -6$，即：当$x+2=5$时，解得$x=3$；当$x+2=-6$时，解得$x=-8$。因此方程$a(x+m+2)^2 = b$的根为$x_1=3$，$x_2=-8$。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解，整体代换思想
【点评】本题考查整体代换思想在一元二次方程求解中的应用，无需计算参数值，通过结构对应关系即可快速得到结果，是一元二次方程相关的基础题型，需熟练掌握整体代换方法。
【难度系数】0.6
10. 定义一种运算“$\bigoplus$”，其规则为$a\bigoplus b=a^{2}-b^{2}+5$，则方程$x\bigoplus 3=0$的解为
$x_1=2,x_2=-2$
.答案
10.$x_1=2,x_2=-2$ 解析:
∵$x\bigoplus 3=0$,
∴$x^2-3^2+5=0$,
∴$x^2=4$,解得 $x_1=2,x_2=-2$.
∵$x\bigoplus 3=0$,
∴$x^2-3^2+5=0$,
∴$x^2=4$,解得 $x_1=2,x_2=-2$.
解析
【分析】
首先明确新运算“⊕”的规则：$a\bigoplus b=a^2 - b^2 +5$，将方程$x\bigoplus 3=0$中的$a$替换为$x$，$b$替换为$3$，把新运算转化为普通的一元二次方程，再通过直接开平方法求解方程即可。
【解析】
根据新运算规则，$x\bigoplus 3 = x^2 - 3^2 +5$，结合方程$x\bigoplus 3=0$，可得：
$x^2 - 3^2 +5 = 0$
化简得：$x^2 -9 +5 =0$，即$x^2 -4=0$
移项得：$x^2=4$
根据平方根的定义，解得$x=\pm2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题，核心是正确理解并代入新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的一元二次方程，再通过直接开平方法求解，难度较低，适合大部分学生掌握。
【难度系数】
0.7
首先明确新运算“⊕”的规则：$a\bigoplus b=a^2 - b^2 +5$，将方程$x\bigoplus 3=0$中的$a$替换为$x$，$b$替换为$3$，把新运算转化为普通的一元二次方程，再通过直接开平方法求解方程即可。
【解析】
根据新运算规则，$x\bigoplus 3 = x^2 - 3^2 +5$，结合方程$x\bigoplus 3=0$，可得：
$x^2 - 3^2 +5 = 0$
化简得：$x^2 -9 +5 =0$，即$x^2 -4=0$
移项得：$x^2=4$
根据平方根的定义，解得$x=\pm2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题，核心是正确理解并代入新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的一元二次方程，再通过直接开平方法求解，难度较低，适合大部分学生掌握。
【难度系数】
0.7
11. 若$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)=63$，则$a^{2}+b^{2}=$
8
.答案
11.8 解析:
∵$(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=63$,
∴$(a^2+b^2)^2-1=63$,
∴$(a^2+b^2)^2=64$.
∵$a^2+b^2≥0$,
∴$a^2+b^2=8$.
∵$(a^2+b^2+1)(a^2+b^2-1)=63$,
∴$(a^2+b^2)^2-1=63$,
∴$(a^2+b^2)^2=64$.
∵$a^2+b^2≥0$,
∴$a^2+b^2=8$.
解析
【分析】本题可运用整体思想，将$a^2 + b^2$看作一个整体，利用平方差公式对等式左边进行变形，先求出该整体的平方值，再根据平方数的非负性确定$a^2 + b^2$的取值，舍去不符合实际意义的负根。
【解析】解：设$t = a^2 + b^2$，因为平方数具有非负性，所以$t ≥ 0$。
原等式可转化为$(t + 1)(t - 1) = 63$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$，展开得：
$t^2 - 1 = 63$，
移项得$t^2 = 64$，
由于$t ≥ 0$，所以$t = \sqrt{64} = 8$，即$a^2 + b^2 = 8$。
【答案】8
【知识点】平方差公式、代数式求值
【点评】本题通过整体代换简化了复杂的代数式运算，结合平方的非负性确定结果，是整式乘法中基础的整体思想应用题型，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】解：设$t = a^2 + b^2$，因为平方数具有非负性，所以$t ≥ 0$。
原等式可转化为$(t + 1)(t - 1) = 63$，根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$，展开得：
$t^2 - 1 = 63$，
移项得$t^2 = 64$，
由于$t ≥ 0$，所以$t = \sqrt{64} = 8$，即$a^2 + b^2 = 8$。
【答案】8
【知识点】平方差公式、代数式求值
【点评】本题通过整体代换简化了复杂的代数式运算，结合平方的非负性确定结果，是整式乘法中基础的整体思想应用题型，难度适中。
【难度系数】0.7
12. 若一元二次方程 $ax^{2}=b(ab＞0)$ 的两个不相等的根分别是 $2m+1$ 与 $m-7$, 则 $\dfrac{a}{b}$ 的值为
$\frac{1}{25}$
.答案
12.$\frac{1}{25}$ 解析:根据题意,得 $2m+1+m-7=0$,
∴$m=2$,
∴$2m+1=5$.
∵$ax^2=b(ab＞0)$,
∴$x^2=\frac{b}{a}$,
∴$\frac{b}{a}=(2m+1)^2=25$,
∴$\frac{a}{b}=\frac{1}{25}$.
∴$m=2$,
∴$2m+1=5$.
∵$ax^2=b(ab＞0)$,
∴$x^2=\frac{b}{a}$,
∴$\frac{b}{a}=(2m+1)^2=25$,
∴$\frac{a}{b}=\frac{1}{25}$.
解析
【分析】首先，一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$可变形为$x^2 = \frac{b}{a}$，其两个根互为相反数，因此两根之和为0，据此可先求出参数$m$的值；再代入根求出$\frac{b}{a}$的值，进而得到$\frac{a}{b}$的值。
【解析】解：因为一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根互为相反数，所以两根之和为0，即：
$(2m + 1) + (m - 7) = 0$
化简得：$3m - 6 = 0$，解得$m = 2$。
将$m=2$代入两根，得$2m+1=5$，$m-7=-5$，符合互为相反数的性质。
原方程变形为$x^2 = \frac{b}{a}$，因此$\frac{b}{a}$等于根的平方，即$\frac{b}{a}=5^2=25$，故$\frac{a}{b}=\frac{1}{25}$。
【答案】$\frac{1}{25}$
【知识点】一元二次方程根的性质、直接开平方法解一元二次方程
【点评】本题考查一元二次方程根的性质，核心是利用“互为相反数的两个根之和为0”求参数，再结合方程解与系数的关系计算比值，属于基础题型，需熟练掌握一元二次方程的基本解法。
【难度系数】0.6
【解析】解：因为一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根互为相反数，所以两根之和为0，即：
$(2m + 1) + (m - 7) = 0$
化简得：$3m - 6 = 0$，解得$m = 2$。
将$m=2$代入两根，得$2m+1=5$，$m-7=-5$，符合互为相反数的性质。
原方程变形为$x^2 = \frac{b}{a}$，因此$\frac{b}{a}$等于根的平方，即$\frac{b}{a}=5^2=25$，故$\frac{a}{b}=\frac{1}{25}$。
【答案】$\frac{1}{25}$
【知识点】一元二次方程根的性质、直接开平方法解一元二次方程
【点评】本题考查一元二次方程根的性质，核心是利用“互为相反数的两个根之和为0”求参数，再结合方程解与系数的关系计算比值，属于基础题型，需熟练掌握一元二次方程的基本解法。
【难度系数】0.6
13. 对于实数 $m$、$n$，我们用符号 $\min\{m,n\}$ 表示 $m$、$n$ 两数中较小的数，例如：$\min\{1,2\}=1$. 若$\min\{x^2-1,2x^2\}=2$，则 $x=$
$±\sqrt{3}$
.答案
13.$±\sqrt{3}$ 解析:
∵$2x^2-(x^2-1)=x^2+1＞0$,
∴$\min\{x^2-1,2x^2\}=x^2-1=2$,
∴$x=±\sqrt{3}$.
∵$2x^2-(x^2-1)=x^2+1＞0$,
∴$\min\{x^2-1,2x^2\}=x^2-1=2$,
∴$x=±\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题关键是先明确“min{m,n}”表示两数中较小的数，需通过作差法比较x²-1和2x²的大小，确定min对应的表达式，再根据结果为2建立方程求解x。
【解析】
解：先比较x²-1与2x²的大小，计算两数的差：
2x² - (x² -1) = x² + 1
∵对于任意实数x，x²≥0，
∴x²+1≥1＞0，即2x² ＞ x² -1
根据min的定义，min{x²-1,2x²}为较小的数，即x²-1
由题意得：x² -1 = 2
移项得x²=3，解得x=±√3
【答案】
±√3
【知识点】
新定义运算、一元二次方程求解
【点评】
本题考查对新定义的理解及代数式大小比较、一元二次方程的解法，核心是通过作差法确定两个数的大小关系，转化为常规方程求解，难度适中，属于基础新定义题型。
【难度系数】
0.5
本题是新定义运算题型，解题关键是先明确“min{m,n}”表示两数中较小的数，需通过作差法比较x²-1和2x²的大小，确定min对应的表达式，再根据结果为2建立方程求解x。
【解析】
解：先比较x²-1与2x²的大小，计算两数的差：
2x² - (x² -1) = x² + 1
∵对于任意实数x，x²≥0，
∴x²+1≥1＞0，即2x² ＞ x² -1
根据min的定义，min{x²-1,2x²}为较小的数，即x²-1
由题意得：x² -1 = 2
移项得x²=3，解得x=±√3
【答案】
±√3
【知识点】
新定义运算、一元二次方程求解
【点评】
本题考查对新定义的理解及代数式大小比较、一元二次方程的解法，核心是通过作差法确定两个数的大小关系，转化为常规方程求解，难度适中，属于基础新定义题型。
【难度系数】
0.5
14. 解下列方程：
(1)$4(2x-1)^{2}-36=0$；
(2)$(3x-1)^{2}=(x+1)^{2}$；
(3)$9(3x+1)^{2}=25(2x-1)^{2}.$
(1)$4(2x-1)^{2}-36=0$；
(2)$(3x-1)^{2}=(x+1)^{2}$；
(3)$9(3x+1)^{2}=25(2x-1)^{2}.$
答案
14.(1)$x_1=2,x_2=-1$. (2)$x_1=1,x_2=0$. (3)$x_1=8,x_2=\frac{2}{19}$.
解析
【分析】
这三个方程均为一元二次方程，可利用直接开平方法求解：
(1) 先将方程整理为“平方项=常数”的形式，再开平方转化为一元一次方程求解；
(2)(3) 均为两个平方相等的形式，根据“若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$”，直接开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$4(2x-1)^2=36$，
两边同除以4得：$(2x-1)^2=9$，
开平方得：$2x-1=\pm3$，
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x=-1$；
故方程(1)的解为$x_1=2$，$x_2=-1$。
(2) 直接开平方得：$3x-1=\pm(x+1)$，
当$3x-1=x+1$时，移项得$2x=2$，解得$x=1$；
当$3x-1=-(x+1)$时，展开得$3x-1=-x-1$，移项得$4x=0$，解得$x=0$；
故方程(2)的解为$x_1=1$，$x_2=0$。
(3) 直接开平方得：$3(3x+1)=\pm5(2x-1)$，
当$3(3x+1)=5(2x-1)$时，展开得$9x+3=10x-5$，移项得$-x=-8$，解得$x=8$；
当$3(3x+1)=-5(2x-1)$时，展开得$9x+3=-10x+5$，移项得$19x=2$，解得$x=\frac{2}{19}$；
故方程(3)的解为$x_1=8$，$x_2=\frac{2}{19}$。
【答案】
14.(1)$x_1=2,x_2=-1$；(2)$x_1=1,x_2=0$；(3)$x_1=8,x_2=\frac{2}{19}$。
【知识点】
一元二次方程的解法（直接开平方法），平方运算性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，是一元二次方程的基础题型，核心是利用“平方相等则底数相等或互为相反数”转化为一元一次方程，计算时需注意符号处理，避免漏解或符号错误。
【难度系数】
0.6
这三个方程均为一元二次方程，可利用直接开平方法求解：
(1) 先将方程整理为“平方项=常数”的形式，再开平方转化为一元一次方程求解；
(2)(3) 均为两个平方相等的形式，根据“若$a^2=b^2$，则$a=\pm b$”，直接开平方转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$4(2x-1)^2=36$，
两边同除以4得：$(2x-1)^2=9$，
开平方得：$2x-1=\pm3$，
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x=-1$；
故方程(1)的解为$x_1=2$，$x_2=-1$。
(2) 直接开平方得：$3x-1=\pm(x+1)$，
当$3x-1=x+1$时，移项得$2x=2$，解得$x=1$；
当$3x-1=-(x+1)$时，展开得$3x-1=-x-1$，移项得$4x=0$，解得$x=0$；
故方程(2)的解为$x_1=1$，$x_2=0$。
(3) 直接开平方得：$3(3x+1)=\pm5(2x-1)$，
当$3(3x+1)=5(2x-1)$时，展开得$9x+3=10x-5$，移项得$-x=-8$，解得$x=8$；
当$3(3x+1)=-5(2x-1)$时，展开得$9x+3=-10x+5$，移项得$19x=2$，解得$x=\frac{2}{19}$；
故方程(3)的解为$x_1=8$，$x_2=\frac{2}{19}$。
【答案】
14.(1)$x_1=2,x_2=-1$；(2)$x_1=1,x_2=0$；(3)$x_1=8,x_2=\frac{2}{19}$。
【知识点】
一元二次方程的解法（直接开平方法），平方运算性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，是一元二次方程的基础题型，核心是利用“平方相等则底数相等或互为相反数”转化为一元一次方程，计算时需注意符号处理，避免漏解或符号错误。
【难度系数】
0.6
15.【新情境】在解一元二次方程时,有这样一种解法:
如:解方程 $x(x+8)=4$.
解:原方程变形,得 $[(x+4)-4][(x+4)+4]=4$, 整理,得 $(x+4)^2-4^2=4$, 即 $(x+4)^2=20$, 直接开平方,得 $x_1=-4+2\sqrt{5}$,$x_2=-4-2\sqrt{5}$. 我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程 $(x+2)(x+8)=40$ 的解题过程.
解:原方程变形,得 $[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$, 整理,得 $(x+a)^2-b^2=40$, 即 $(x+a)^2=40+b^2$, 直接开平方,得 $x_1=c$,$x_2=d$.
上述解题过程中,$a$、$b$、$c$、$d$ 表示的数分别是
(2)请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)=4$.
如:解方程 $x(x+8)=4$.
解:原方程变形,得 $[(x+4)-4][(x+4)+4]=4$, 整理,得 $(x+4)^2-4^2=4$, 即 $(x+4)^2=20$, 直接开平方,得 $x_1=-4+2\sqrt{5}$,$x_2=-4-2\sqrt{5}$. 我们称这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程 $(x+2)(x+8)=40$ 的解题过程.
解:原方程变形,得 $[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$, 整理,得 $(x+a)^2-b^2=40$, 即 $(x+a)^2=40+b^2$, 直接开平方,得 $x_1=c$,$x_2=d$.
上述解题过程中,$a$、$b$、$c$、$d$ 表示的数分别是
5
、3
、2
、-12
.(2)请用“平均数法”解方程:$(x-2)(x+6)=4$.
答案
15.(1)5 3 2 -12 解析:原方程变形,得$[(x+5)-3][(x+5)+3]=40$,整理,得$(x+5)^2-3^2=40$,即$(x+5)^2=40+3^2$,直接开平方,得x+5=7或x+5=-7,
∴$x_1=2,x_2=-12$.上述过程中,a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、-12. (2)原方程变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$,整理,得$(x+2)^2-4^2=4$,即$(x+2)^2=4+4^2$,直接开平方,得$x+2=2\sqrt{5}$或$x+2=-2\sqrt{5}$,
∴$x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}$.
∴$x_1=2,x_2=-12$.上述过程中,a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、-12. (2)原方程变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$,整理,得$(x+2)^2-4^2=4$,即$(x+2)^2=4+4^2$,直接开平方,得$x+2=2\sqrt{5}$或$x+2=-2\sqrt{5}$,
∴$x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题是新情境下的一元二次方程解法（平均数法）问题，核心思路是利用平方差公式简化计算：对于形如$(m)(n)$的两个一次式乘积，先计算它们的平均数作为整体，再计算每个因式与平均数的差，将原式转化为$[(平均数)-差][(平均数)+差]$的形式，利用平方差公式展开后整理为完全平方形式，再通过直接开平方求解。
(1) 求$a$、$b$、$c$、$d$时，先确定两个因式$(x+2)$和$(x+8)$的平均数，再计算差，代入后整理为完全平方形式，开平方得到解；
(2) 解方程时，先找两个因式的平均数，转化为平均数与差的平方差形式，再整理求解。
【解析】
(1) 对于方程变形为$[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$：
两个因式为$(x+2)$和$(x+8)$，它们的平均数为$\frac{(x+2)+(x+8)}{2}=x+5$，故$a=5$；
其中一个因式与平均数的差为$(x+8)-(x+5)=3$，故$b=3$；
整理得$(x+5)^2 - 3^2=40$，即$(x+5)^2=49$，开平方得$x+5=\pm7$，解得$x=2$或$x=-12$，故$c=2$，$d=-12$。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=4$：
原方程变形为$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$，
整理得$(x+2)^2 - 4^2=4$，即$(x+2)^2=20$，
直接开平方得$x+2=\pm2\sqrt{5}$，
解得$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 5、3、2、-12；(2) $x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法、平方差公式
【点评】
本题为新情境题型，引入“平均数法”解一元二次方程，本质是利用平方差公式简化运算，考查学生对公式的灵活运用及新方法的理解能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是新情境下的一元二次方程解法（平均数法）问题，核心思路是利用平方差公式简化计算：对于形如$(m)(n)$的两个一次式乘积，先计算它们的平均数作为整体，再计算每个因式与平均数的差，将原式转化为$[(平均数)-差][(平均数)+差]$的形式，利用平方差公式展开后整理为完全平方形式，再通过直接开平方求解。
(1) 求$a$、$b$、$c$、$d$时，先确定两个因式$(x+2)$和$(x+8)$的平均数，再计算差，代入后整理为完全平方形式，开平方得到解；
(2) 解方程时，先找两个因式的平均数，转化为平均数与差的平方差形式，再整理求解。
【解析】
(1) 对于方程变形为$[(x+a)-b][(x+a)+b]=40$：
两个因式为$(x+2)$和$(x+8)$，它们的平均数为$\frac{(x+2)+(x+8)}{2}=x+5$，故$a=5$；
其中一个因式与平均数的差为$(x+8)-(x+5)=3$，故$b=3$；
整理得$(x+5)^2 - 3^2=40$，即$(x+5)^2=49$，开平方得$x+5=\pm7$，解得$x=2$或$x=-12$，故$c=2$，$d=-12$。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=4$：
原方程变形为$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$，
整理得$(x+2)^2 - 4^2=4$，即$(x+2)^2=20$，
直接开平方得$x+2=\pm2\sqrt{5}$，
解得$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 5、3、2、-12；(2) $x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法、平方差公式
【点评】
本题为新情境题型，引入“平均数法”解一元二次方程，本质是利用平方差公式简化运算，考查学生对公式的灵活运用及新方法的理解能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
