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1. （2025·扬州校级期末）已知点 D 为线段 AB 的中点，点 C 在线段 AB 上.
（1）如图①，若 $ AC=8\ \mathrm{cm}, BC=6\ \mathrm{cm} $，求线段 $ CD $ 的长；
（2）如图②，若 $ BC=2CD $，点 E 为 BD 中点，$ CE=2\ \mathrm{cm} $，求线段 $ AB $ 的长.
（1）如图①，若 $ AC=8\ \mathrm{cm}, BC=6\ \mathrm{cm} $，求线段 $ CD $ 的长；
（2）如图②，若 $ BC=2CD $，点 E 为 BD 中点，$ CE=2\ \mathrm{cm} $，求线段 $ AB $ 的长.
答案
1. (1) 因为点 D 是 AB 的中点, $AC = 8\ \mathrm{cm}, BC = 6\ \mathrm{cm}$, 所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC+BC)=7(\mathrm{cm})$, $CD=BD-BC=7-6=1(\mathrm{cm})$.
(2) 因为点 D 是 AB 的中点, 所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB$. 因为点 E 为 BD 中点, 所以 $BE=DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}AB$. 因为 $BC=2CD$, 所以 $CD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{6}AB$, $CE=DE-DC=\frac{1}{4}AB-\frac{1}{6}AB=2\ \mathrm{cm}$, 即 $AB=24\ \mathrm{cm}$.
(2) 因为点 D 是 AB 的中点, 所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB$. 因为点 E 为 BD 中点, 所以 $BE=DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}AB$. 因为 $BC=2CD$, 所以 $CD=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{6}AB$, $CE=DE-DC=\frac{1}{4}AB-\frac{1}{6}AB=2\ \mathrm{cm}$, 即 $AB=24\ \mathrm{cm}$.
2. 如图,点 P 是定长线段 AB 上一点,C 从点 P,D 从点 B 同时出发,分别以每秒 a,b 厘米的速度沿直线 AB 向左运动(C 在线段 AP 上,D 在线段 BP 上),并满足下列条件:
①关于 m,n 的单项式$2 m^2 n^a$与$-3 m^b n$的和仍为单项式;
②C,D 在运动过程中,总有$PD=2AC$.
(1)直接写出:$a=$
(2)求出$\frac{AB}{AP}$的值,并说明理由;
(3)在 C,D 运动过程中,M,N 分别是 CD,PB 的中点,运动 t 秒时,恰好满足$3AC=2MN$,求此时$\frac{AB}{CD}$的值.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P117 专题6~P120 专题9
①关于 m,n 的单项式$2 m^2 n^a$与$-3 m^b n$的和仍为单项式;
②C,D 在运动过程中,总有$PD=2AC$.
(1)直接写出:$a=$
1
,$b=$2
;(2)求出$\frac{AB}{AP}$的值,并说明理由;
(3)在 C,D 运动过程中,M,N 分别是 CD,PB 的中点,运动 t 秒时,恰好满足$3AC=2MN$,求此时$\frac{AB}{CD}$的值.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P117 专题6~P120 专题9
答案
2. (1)1 2 【解析】因为关于 m,n 的单项式 $2m^2 n^a$ 与 $-3m^b n$的和仍为单项式,所以单项式 $2m^2 n^a$ 与 $-3m^b n$ 是同类项,所以 $b=2,a=1$.
(2)$\frac{AB}{AP}=3$.理由:设 C,D 运动了 t 秒,则 $PC=t,BD=2t$.设 $\frac{AB}{AP}=k$,则 $AB = kAP$,所以 $PB = (k-1)AP$,所以 $AC = AP-CP=AP-t$, $PD=BP-BD=(k-1)AP-2t$. 因为 $PD=2AC$, 所以 $2(AP-t)=(k-1)AP-2t$, 所以 $k-1=2,k=3$, 所以 $\frac{AB}{AP}=3$.
(3)设 $AP = a'$, 由 (2) 知, $PB = 2a'$, 所以 $PN = BN = a'$, $BC=2a'+t$, $BD=2t$, 所以 $CD=(2a'+t)-2t=2a'-t$, 所以 $BM=\frac{2a'-t}{2}+2t=\frac{2a'+3t}{2}$, $MN=\frac{2a'+3t}{2}-a'=\frac{3}{2}t$. 当点 C 在线段 AP 上时, $AC=a'-t$. 因为 $3AC=2MN$, 所以 $3(a'-t)=3t$, 解得 $a'=2t$. 所以 $CD=2×2t - t=3t$, $AB=3a'=6t$, $\frac{AB}{CD}=\frac{6t}{3t}=2$.
(2)$\frac{AB}{AP}=3$.理由:设 C,D 运动了 t 秒,则 $PC=t,BD=2t$.设 $\frac{AB}{AP}=k$,则 $AB = kAP$,所以 $PB = (k-1)AP$,所以 $AC = AP-CP=AP-t$, $PD=BP-BD=(k-1)AP-2t$. 因为 $PD=2AC$, 所以 $2(AP-t)=(k-1)AP-2t$, 所以 $k-1=2,k=3$, 所以 $\frac{AB}{AP}=3$.
(3)设 $AP = a'$, 由 (2) 知, $PB = 2a'$, 所以 $PN = BN = a'$, $BC=2a'+t$, $BD=2t$, 所以 $CD=(2a'+t)-2t=2a'-t$, 所以 $BM=\frac{2a'-t}{2}+2t=\frac{2a'+3t}{2}$, $MN=\frac{2a'+3t}{2}-a'=\frac{3}{2}t$. 当点 C 在线段 AP 上时, $AC=a'-t$. 因为 $3AC=2MN$, 所以 $3(a'-t)=3t$, 解得 $a'=2t$. 所以 $CD=2×2t - t=3t$, $AB=3a'=6t$, $\frac{AB}{CD}=\frac{6t}{3t}=2$.
