1. 如图,直线 AE 与 CD 相交于点 B,射线 BF 平分$∠ABC$,射线 BG 在$∠ABD$内.
(1)若$∠DBE$的补角是它的余角的 3 倍,求$∠DBE$的度数;
(2)在(1)的条件下,若$∠DBG=∠ABG-33^{\circ }$,求$∠ABG$的度数;
(3)若$∠FBG=100^{\circ }$,求$∠ABG$和$∠DBG$的度数的差.

(1) 设$∠DBE=α$,则$∠DBE$的补角是$180^{\circ }-α$,它的余角是$90^{\circ }-α$,依题意,得 $180^{\circ }-α=3(90^{\circ }-α)$,解得 $α=45^{\circ }$,所以$∠DBE$ 的度数为 $45^{\circ }$.
(2) 由 (1) 可知 $∠ABG+ ∠DBG = 135^{\circ }$, 又因为 $∠DBG =∠ABG-33^{\circ }$,所以 $∠ABG$ 的度数为 $84^{\circ }$.
(3) 因为射线 BF 平分$∠ABC$,所以可设$∠ABF=∠CBF=β$.又因为$∠FBG=100^{\circ }$,所以$∠ABG=100^{\circ }-β,∠DBG=180^{\circ }-100^{\circ }-β=80^{\circ }-β$,所以$∠ABG-∠DBG=(100^{\circ }-β)-(80^{\circ }-β)=20^{\circ }$,即$∠ABG$和$∠DBG$的度数的差为$20^{\circ }$.

2. 新定义 如图①,射线 OC 在∠AOB 的内部,图中共有 3 个角:∠AOB,∠AOC 和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍,则称射线 OC 是∠AOB 的奇妙线.
(1)一个角的角平分线这个角的奇妙线.(填“是”或“不是”)
(2)如图②,若∠MPN=60°,射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始,以每秒 10°的速度逆时针旋转,当∠QPN 首次等于 180°时停止旋转,设旋转的时间为 t(s).
①当 t 为何值时,射线 PM 是∠QPN 的奇妙线?
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒 6°的速度逆时针旋转,并与射线 PQ 同时停止旋转.请求出当射线 PQ 是∠MPN 的奇妙线时 t 的值.

(1) 是 【解析】若 OC 平分$∠AOB$,则$∠AOB=2∠AOC=2∠BOC$,所以一个角的角平分线是这个角的奇妙线.
(2) ①当$∠MPN=2∠MPQ$时,$10t=60+\frac{1}{2}×60$,解得 $t=9$;当$∠QPN=2∠MPN$时,$10t=2×60$,解得 $t=12$;当$∠QPM=2∠MPN$时,$10t=60+2×60$,解得 $t=18$.故当 t 为 9 或 12 或18 时,射线 PM 是$∠QPN$的奇妙线.
②当$∠MPQ=2∠QPN$时,$10t=\frac{1}{3}(6t+60)$,解得 $t=\frac{5}{2}$;当$∠MPN=2∠QPN$时,$10t=\frac{1}{2}(6t+60)$,解得 $t=\frac{30}{7}$;当$∠QPN=2∠MPQ$时,$10t=\frac{2}{3}(6t+60)$,解得 $t=\frac{20}{3}$.故当射线 PQ 是$∠MPN$的奇妙线时 t 的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$.