1. 已知 $P(m,n)$ 是直线 $y=kx+b(k ≠ 0)$ 上一点,若下列四个点中有三个点在该直线上,则不在该直线上的点是 （）

A.$(m+3,n+2)$
B.$(m+2,n+1)$
C.$(m+6,n+3)$
D.$(m-2,n-1)$

1. A 提示: 对于选项 A,$k=\frac{n+2-n}{m+3-m}=\frac{2}{3}$;对于选项 B,$k=\frac{n+1-n}{m+2-m}=\frac{1}{2}$;对于选项 C,$k=\frac{n+3-n}{m+6-m}=\frac{1}{2}$;对于选项 D,$k=\frac{n-1-n}{m-2-m}=\frac{1}{2}$. 因为在一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 中,$k$ 是固定值,所以 $k=\frac{1}{2}$,而选项 A 中 $k=\frac{2}{3}$,所以点 $(m+3,n+2)$ 不在该直线上。

2. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C = 90°, ∠ A = 30°$,$AB=6$,$P$ 是边 $AB$ 上一动点(不与点 $A$,$B$ 重合), 将 $△ BCP$ 沿 $CP$ 翻折, 点 $B$ 的对应点为 $D$. 若 $CD$ 与直线 $BC$ 所夹的锐角为 $60°$, 则 $AP$ 的长为.

2. 3 或 $\frac{9}{2}$ 提示: 在 $△ ABC$ 中,$∠ C = 90°$,$∠ A = 30°$,$AB = 6$,所以 $∠ B = 90° - ∠ A = 60°$,$BC = \frac{1}{2}AB = 3$. 因为 $CD$ 与直线 $BC$ 所夹的锐角为 $60°$,所以有以下两种情况:①当点 $D$ 在 $AC$ 的下方时,$E$ 为 $BC$ 延长线上的一点,如图 1 所示,此时 $∠ DCE = 60°$,所以 $∠ BCD = 180° - ∠ DCE = 120°$. 由翻折的性质,得 $∠ BCP = ∠ DCP = \frac{1}{2}∠ BCD = 60°$,$BP = PD$,所以 $∠ BCP = ∠ B = 60°$,所以 $△ BCP$ 是等边三角形,所以 $BP = BC = 3$,所以 $AP = AB - BP = 6 - 3 = 3$. ②当点 $D$ 在 $AC$ 的上方时,如图 2 所示,因为 $∠ BCD = ∠ B = 60°$,所以 $△ BCD$ 是等边三角形,所以点 $D$ 在 $AB$ 上,所以 $BD = BC = 3$. 由翻折的性质,得 $BP = PD = \frac{1}{2}BD = \frac{3}{2}$,所以 $AP = AB - BP = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$. 综上所述,$AP$ 的长为 3 或 $\frac{9}{2}$.

3.【数学建模】
(1) 如图 1,在$△ ABC$中,$AB=AC,BD ⊥$$AC,CE ⊥ AB$,垂足分别为$D,E$.求证:$AE=AD$.
【模型运用】
(2) 如图 2,在(1)的条件下,设$BD,CE$相交于点$O$,连接$AO,DE$.求证:$AO$垂直平分$DE$.
(3) 如图 3,平面直角坐标系的第一象限内有一定点$M$.
①用无刻度的直尺和圆规在图 3 的坐标轴上找点$A,B,C$,使$A,B,C$同时满足下列条件;(不写作法,保留作图痕迹)
(a) 点$A,B$分别在$y$轴正半轴、$x$轴正半轴上,且直线$AB$经过点$M$;
(b) 点$C$在$y$轴上,且$AB=AC,MC ⊥$$AB$.
②在①的条件下,若点$M$的坐标为$(4,3)$,求点$B$的坐标.(请利用备用
图分析作答)

3. (1) 证明: 因为 $BD ⊥ AC$,$CE ⊥ AB$,所以 $∠ ADB = ∠ AEC = 90°$. 在 $△ ADB$ 和 $△ AEC$ 中,$\begin{cases} ∠ A = ∠ A, \\ ∠ ADB = ∠ AEC, \\ AB = AC, \end{cases}$ 所以 $△ ADB ≌ △ AEC$(AAS),所以 $AE = AD$.
(2) 证明: 方法 1: 由(1)可知,$AE = AD$,$∠ AEO = ∠ ADO = 90°$. 在 $\mathrm{Rt} △ AEO$ 和 $\mathrm{Rt} △ ADO$ 中,$\begin{cases} AE = AD, \\ AO = AO, \end{cases}$ 所以 $\mathrm{Rt} △ AEO ≌ \mathrm{Rt} △ ADO$(HL),所以 $∠ EAO = ∠ DAO$. 因为 $AE = AD$,所以 $AO$ 垂直平分 $DE$(等腰三角形三线合一).
方法 2: 同方法 1 可得 $\mathrm{Rt} △ AEO ≌ \mathrm{Rt} △ ADO$,所以 $EO = DO$,所以点 $O$ 在 $DE$ 的垂直平分线上. 又因为 $AE = AD$,所以点 $A$ 也在 $DE$ 的垂直平分线上,所以 $AO$ 垂直平分 $DE$.
(3) 解: ①如图 1,$A,B,C$ 即为所求作的点.

②如图 2,过点 $M$ 作 $MH ⊥ AO$,垂足为 $H$. 设点 $A$ 的坐标为 $(0,t)$,则 $AO = AM = t$. 因为点 $M$ 的坐标为 $(4,3)$,所以 $HM = 4$,$OH = 3$,所以 $AH = t - 3$. 在 $\mathrm{Rt} △ AHM$ 中,$AH^2 + MH^2 = AM^2$,所以 $(t - 3)^2 + 4^2 = t^2$,解得 $t = \frac{25}{6}$,所以点 $A$ 的坐标为 $(0,\frac{25}{6})$. 设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$. 将点 $A(0,\frac{25}{6})$,$M(4,3)$ 分别代入,得 $\begin{cases} b = \frac{25}{6}, \\ 4k + b = 3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k = -\frac{7}{24}, \\ b = \frac{25}{6}, \end{cases}$ 所以直线 $AB$ 的函数表达式为 $y = -\frac{7}{24}x + \frac{25}{6}$. 令 $y = 0$,得 $x = \frac{100}{7}$,所以点 $B$ 的坐标为 $(\frac{100}{7},0)$.