1. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$AD$ 是边 $BC$ 上的高，$E$ 是边 $AC$ 的中点，$P$ 是 $AD$ 上的一个动点，图中能够表示 $PC+PE$ 的最小值的是下列哪条线段的长 （）


A.$BC$
B.$AD$
C.$CD$
D.$CE$

1. B 提示:如图,连接BP.因为△ABC是等边三角形,AD是边BC上的高,所以点B与点C关于AD对称,所以BP=CP,所以PC+PE=PB+PE≥BE,所以PC+PE的最小值为BE的长.因为AD=BE,所以PC+PE的最小值为AD的长。

2. 如图,已知直线 $y=\dfrac{12}{5}x-12$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点$A$ 和点$B$,$C$ 是$OB$ 上的一点. 若将$△ ABC$ 沿$AC$ 翻折,点$B$ 恰好落在$x$ 轴上的点 $B'$ 处,则点$C$ 的坐标为.

2. $(0,-\dfrac{10}{3})$ 提示:因为直线$y=\dfrac{12}{5}x-12$与x轴、y轴分别交于点A和点B,所以当y=0时,x=5;当x=0时,y=-12.所以点A(5,0),B(0,-12),OA=5,OB=12,所以$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$.由折叠的性质,得AB'=AB=13,B'C=BC,所以B'O=AB'-OA=13-5=8,所以点B'(-8,0).设OC=m,则BC=B'C=12-m.在Rt△OCB'中,$B'C^2=OC^2+B'O^2$,即$(12-m)^2=m^2+8^2$,解得$m=\dfrac{10}{3}$.因为C是OB上的一点,点B(0,-12),所以点$C(0,-\dfrac{10}{3})$.

3.【问题情境】
规定:在平面直角坐标系中,任意不重合的两点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$之间的折线距离为$d(M,N)=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|.$
例如,如图,点$A(2,0)$与点$B(0,2)$之间的折线距离为$d(A,B)=|2-0|+|0-2|=2+2=4.$
【知识应用】
(1) 如图,点$A(2,0),B(0,2),C(-2,0),$则$d(B,C)=$,$d(O,A)=d(O,C)=$.
【拓展延伸】
(2) ①如图,若 $D$ 是线段 $BC$ 上一点,则$d(O,D)=$;
②若 $P$ 是平面直角坐标系中的点,且$d(O,P)=2$,请在图中画出所有满足条件的点 $P$ 组成的图形.
【问题解决】
(3) 若直线$y=2x+b$上存在点 $Q$,使$d(O,Q) ≤ 2$,求 $b$ 的取值范围.

3. 解:(1)4 2 提示:根据折线距离公式,得d(B,C)=|0-(-2)|+|2-0|=2+2=4;d(O,A)=|0-2|+|0-0|=2+0=2,d(O,C)=|0-(-2)|+|0-0|=2+0=2,即d(O,A)=d(O,C)=2.
(2) ①2 提示:设线段BC的函数表达式为y=k₁x+b₁.将点B(0,2),C(-2,0)代入,得$\begin{cases}b_1=2,\\-2k_1+b_1=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=1,\\b_1=2,\end{cases}$所以线段BC的函数表达式为y=x+2(-2≤x≤0).由D是线段BC上一点,设点D(t,t+2),且-2≤t≤0,则d(O,D)=|0-t|+|0-(t+2)|=|t|+|t+2|.又因为-2≤t≤0,所以d(O,D)=-t+t+2=2.
②设点P(x,y),因为d(O,P)=2,即d(O,P)=|0-x|+|0-y|=|x|+|y|=2.当y＞0时,y=2-|x|,此时-2≤x≤2;当y＜0时,y=|x|-2,此时-2≤x≤2.画出图形如图1所示。
(3) 由(2)可知,图1中正方形ABCE上的所有点与原点之间的折线距离为2.若直线y=2x+b上存在点Q,使d(O,Q)≤2,则点Q在正方形ABCE的边上及内部.如图2,当直线y=2x+b过点A时,2×2+b=0,解得b=-4;当直线y=2x+b过点C时,-2×2+b=0,解得b=4.所以当-4≤b≤4时,直线y=2x+b与正方形ABCE有公共点,此时存在点Q,使d(O,Q)≤2.综上所述,b的取值范围-4≤b≤4。