24.(12分)如图,在$□ ABCD$中,E是边BC上一点,将$△ ABE$沿AE折叠后,点B的对应点为点F。
(1)如图1,当点F恰好落在边AD上时,求证:四边形ABEF是菱形。
(2)如图2,当点F恰好落在ED上,且$\frac{BE}{EC}=m$时,求$\frac{DF}{FE}$的值。
(3)如图3,当$∠ ABC=45°,AB=2\sqrt{2},BC=4$时,连结BD,下列三个问题,难度依次为易、中、难,对应的满分值分别为2分、3分、4分,根据你的认知水平,选择其中一个问题求解。
①当$AF⊥ BC$时,求BE的长。
②当$EF// BD$时,求BE的长。
③当点F恰好落在BD上时,求BE的长。

(本卷按最新教材改编)

24.(1)由折叠得,$AB=AF,BE=EF,∠BAE=∠FAE$。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD//BC$。所以$∠FAE=∠BEA$。所以$∠BAE=∠BEA$。所以$BA=BE$。所以$AB=AF=BE=EF$。所以四边形ABEF是菱形。(2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以$∠B+∠C=180°,AB=CD,AD//BC$。所以$∠ADF=∠CED$。由折叠得,$AB=AF,∠B=∠AFE,BE=EF$。所以$AB=AF=CD$。因为$∠AFE+∠AFD=180°$,所以$∠AFD=∠C$。所以$△ADF≌△DEC(\mathrm{AAS})$。所以$EC=DF$。所以$\frac{DF}{EF}=\frac{EC}{BE}$。因为$\frac{BE}{EC}=m$,所以$\frac{DF}{EF}=\frac{1}{m}$。(3)①如图1,设AF与BC交于点N。因为$∠ABC=45°,AB=2\sqrt{2},AF⊥BC$,所以$AN=BN=2$。由折叠得,$AB=AF=2\sqrt{2},∠ABC=∠F=45°$。所以$EN=NF=2\sqrt{2}-2$。所以$BE=2-(2\sqrt{2}-2)=4-2\sqrt{2}$。②如图2,延长EF交AD的延长线于点G,过点G作$GH⊥BC$交BC的延长线于点H,过点D作$DK⊥BH$于点K。因为$BE//AD,EF//BD$,所以四边形BEGD为平行四边形。所以$BE=DG,BD=GE$。设$BE=DG=x$。因为$DK⊥BH,GH⊥BC,AD//BC$,所以四边形DKHG为矩形。所以$HK=DG=x,GH=DK$。由①知,$DK=GH=2,CK=2$。所以$EH=EC+CK+KH=4-x+2+x=6$。在$Rt△EHG$中,$GE=\sqrt{GH^2+EH^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}=BD$。由折叠得$∠AEB=∠AEG$。因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD//BC$。所以$∠DAE=∠AEB$。所以$∠AEG=∠DAE$。所以$GE=AG=2\sqrt{10}$。所以$BE=DG=AG-AD=2\sqrt{10}-4$。③如图3,设AE与BD交于点O,过点B作$BM⊥$直线AD于点M,过点A作$AN⊥BC$于点N,过点F作$FP⊥AD$于点P,延长PF交BC的延长线于点Q。因为$AD//BC$,所以$∠MBN=∠M=90°=∠ANB=∠APQ$。所以四边形ANBM是矩形,四边形APQN是矩形。所以$AM=BN=2,AN=BM=2=PQ$。由折叠得,$AE⊥BF,BO=OF,BE=EF$。因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BM=\frac{1}{2}BD·AO$,所以$4×2=2\sqrt{10}AO$。所以$AO=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。所以$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$。所以$BF=\frac{8\sqrt{10}}{5}$。所以$DF=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。因为$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·BM=\frac{1}{2}BF·AO+\frac{1}{2}AD·PF$,所以$8=\frac{2\sqrt{10}}{5}×\frac{8\sqrt{10}}{5}+4PF$。所以$PF=\frac{2}{5}$。所以$FQ=\frac{8}{5}$。所以$BQ=\sqrt{BF^2-FQ^2}=\sqrt{\frac{640}{25}-\frac{64}{25}}=\frac{24}{5}$。因为$EF^2=EQ^2+FQ^2$,所以$BE^2=(\frac{24}{5}-BE)^2+\frac{64}{25}$。所以$BE=\frac{8}{3}$。