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12. 若$a=-0.3^2$，$b=-3^{-2}$，$c=(-\dfrac{1}{3})^{-2}$，$d=(-\dfrac{1}{5})^0$，则用“＜”连接这四个数为
$b＜a＜d＜c$
。答案
12.$b＜a＜d＜c$
解析
【分析】
要比较四个数的大小，首先需要根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c、d的具体数值，再按照有理数大小比较的规则（负数＜0＜正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）排序即可。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a=-0.3^2 = -(0.3×0.3) = -0.09$
2. 计算$b$：根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得$b=-3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}\approx-0.111$
3. 计算$c$：$c=(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
4. 计算$d$：根据零指数幂规则$a^0=1$（$a≠0$），得$d=(-\frac{1}{5})^0 = 1$
比较大小：两个负数中，$\left|-\frac{1}{9}\right|＞\left|-0.09\right|$，所以$-\frac{1}{9}＜-0.09$，即$b＜a$；结合正数大于负数的规则，可得$b＜a＜1＜9$，即$b＜a＜d＜c$。
【答案】
$b＜a＜d＜c$
【知识点】
乘方运算，负整数指数幂，零指数幂
【点评】
本题解题关键是准确计算各类幂的结果，要注意区分带括号和不带括号的乘方运算的符号差异，避免因运算顺序或符号判断错误失分。
【难度系数】
0.6
要比较四个数的大小，首先需要根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c、d的具体数值，再按照有理数大小比较的规则（负数＜0＜正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）排序即可。
【解析】
分别计算四个数的值：
1. 计算$a$：$a=-0.3^2 = -(0.3×0.3) = -0.09$
2. 计算$b$：根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得$b=-3^{-2} = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}\approx-0.111$
3. 计算$c$：$c=(-\frac{1}{3})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$
4. 计算$d$：根据零指数幂规则$a^0=1$（$a≠0$），得$d=(-\frac{1}{5})^0 = 1$
比较大小：两个负数中，$\left|-\frac{1}{9}\right|＞\left|-0.09\right|$，所以$-\frac{1}{9}＜-0.09$，即$b＜a$；结合正数大于负数的规则，可得$b＜a＜1＜9$，即$b＜a＜d＜c$。
【答案】
$b＜a＜d＜c$
【知识点】
乘方运算，负整数指数幂，零指数幂
【点评】
本题解题关键是准确计算各类幂的结果，要注意区分带括号和不带括号的乘方运算的符号差异，避免因运算顺序或符号判断错误失分。
【难度系数】
0.6
13. 跨学科 古诗词理解 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟。”比喻非常渺小.据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为
$5×10^{-3}$克
.答案
13.$5×10^{-3}$克
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要先求出一粒粟的重量，再将结果用科学记数法表示。第一步，已知200粒粟重1克，求单粒重量用总重量除以总粒数即可；第二步，回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n的值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零），按照规则转化结果即可。
【解析】
首先计算1粒粟的重量：
$1÷200=0.005$（克）
再将0.005用科学记数法表示：
0.005左起第一个非零数字是5，它前面有3个零，因此$0.005=5×10^{-3}$克。
【答案】
$5×10^{-3}$克
【知识点】
有理数的除法；科学记数法表示较小的数
【点评】
本题结合古诗文背景考查基础运算和科学记数法的应用，情境新颖，解题时要注意负指数的数值确定准确。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要先求出一粒粟的重量，再将结果用科学记数法表示。第一步，已知200粒粟重1克，求单粒重量用总重量除以总粒数即可；第二步，回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，n的值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零），按照规则转化结果即可。
【解析】
首先计算1粒粟的重量：
$1÷200=0.005$（克）
再将0.005用科学记数法表示：
0.005左起第一个非零数字是5，它前面有3个零，因此$0.005=5×10^{-3}$克。
【答案】
$5×10^{-3}$克
【知识点】
有理数的除法；科学记数法表示较小的数
【点评】
本题结合古诗文背景考查基础运算和科学记数法的应用，情境新颖，解题时要注意负指数的数值确定准确。
【难度系数】
0.8
14.已知$m+n=mn$,则$(m-1)(n-1)=$
1
.答案
14.1
解析
【分析】
要计算代数式$(m-1)(n-1)$的值，首先可以利用多项式乘多项式的运算法则将该式展开，再对展开后的式子进行变形，构造出已知条件$m+n=mn$中包含的$m+n$和$mn$的结构，最后把已知条件作为整体代入变形后的式子，就能求出结果，不需要单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 展开所求代数式：根据多项式乘多项式法则，
$(m-1)(n-1)=mn - m - n + 1$
2. 对展开式变形，整理出和已知条件相关的形式：
$mn - m - n +1 = mn - (m+n) +1$
3. 代入已知条件计算：
已知$m+n=mn$，将其代入上式可得：
原式$=mn - mn +1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题解题的核心是先利用整式乘法展开目标代数式，再通过整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
要计算代数式$(m-1)(n-1)$的值，首先可以利用多项式乘多项式的运算法则将该式展开，再对展开后的式子进行变形，构造出已知条件$m+n=mn$中包含的$m+n$和$mn$的结构，最后把已知条件作为整体代入变形后的式子，就能求出结果，不需要单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 展开所求代数式：根据多项式乘多项式法则，
$(m-1)(n-1)=mn - m - n + 1$
2. 对展开式变形，整理出和已知条件相关的形式：
$mn - m - n +1 = mn - (m+n) +1$
3. 代入已知条件计算：
已知$m+n=mn$，将其代入上式可得：
原式$=mn - mn +1 = 1$
【答案】
1
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题解题的核心是先利用整式乘法展开目标代数式，再通过整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，是代数式求值类题目的常用解题思路。
【难度系数】
0.8
15. 一个大正方形和四个全等的小正方形按图(1)、图(2)两种方式摆放，则图(2)的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是
$ab$
.(用含$a,b$的代数式表示)答案
15.$ab$
解析
【分析】
解题时可先设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，结合两个图形的边长信息列出关于x、y的关系式：观察图(1)可得大正方形边长加2个小正方形边长等于a，即$x+2y=a$；观察图(2)可得大正方形边长减2个小正方形边长等于b，即$x-2y=b$。要求图(2)未覆盖部分的面积，就是大正方形面积减去4个小正方形的面积，可将该面积表达式变形，结合前面得到的两个关系式整体代入计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
设大正方形的边长为$x$，小正方形的边长为$y$。
根据图(1)的边长关系可得：$x + 2y = a$
根据图(2)的边长关系可得：$x - 2y = b$
图(2)中未被小正方形覆盖部分的面积 = 大正方形面积 - 4个小正方形的面积，即：
$S = x^2 - 4y^2$
利用平方差公式因式分解得：
$S = (x + 2y)(x - 2y)$
将$x + 2y = a$，$x - 2y = b$代入上式，可得$S = ab$。
【答案】
$ab$
【知识点】
平方差公式，列代数式，面积计算
【点评】
本题考查数形结合思想与整体代入思想的应用，将所求面积表达式通过因式分解变形后，结合已知边长关系整体代入即可快速求解，避免了单独求解各正方形边长的繁琐计算。
【难度系数】
0.7
解题时可先设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，结合两个图形的边长信息列出关于x、y的关系式：观察图(1)可得大正方形边长加2个小正方形边长等于a，即$x+2y=a$；观察图(2)可得大正方形边长减2个小正方形边长等于b，即$x-2y=b$。要求图(2)未覆盖部分的面积，就是大正方形面积减去4个小正方形的面积，可将该面积表达式变形，结合前面得到的两个关系式整体代入计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
设大正方形的边长为$x$，小正方形的边长为$y$。
根据图(1)的边长关系可得：$x + 2y = a$
根据图(2)的边长关系可得：$x - 2y = b$
图(2)中未被小正方形覆盖部分的面积 = 大正方形面积 - 4个小正方形的面积，即：
$S = x^2 - 4y^2$
利用平方差公式因式分解得：
$S = (x + 2y)(x - 2y)$
将$x + 2y = a$，$x - 2y = b$代入上式，可得$S = ab$。
【答案】
$ab$
【知识点】
平方差公式，列代数式，面积计算
【点评】
本题考查数形结合思想与整体代入思想的应用，将所求面积表达式通过因式分解变形后，结合已知边长关系整体代入即可快速求解，避免了单独求解各正方形边长的繁琐计算。
【难度系数】
0.7
16. 若$(x^2 - mx + 8)(x^2 + 3x - n)$的展开式中不含$x^2$和$x^3$项，则$m^n$的值为
$\dfrac{1}{3}$
。答案
16.$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解题的核心是理解“展开式不含x²和x³项”的含义：即x²项、x³项的系数均为0。解题思路如下：首先根据多项式乘多项式的法则，找出展开式中所有能合并为x³、x²的项，分别计算两项的系数，再令系数等于0得到关于m、n的方程，求解得到m、n的值后，代入计算mⁿ即可。
【解析】
第一步：计算x³项的系数
两个多项式相乘时，能得到x³项的组合为：
第一个因式的$x^2$乘第二个因式的$3x$，得到$x^2 · 3x = 3x^3$；
第一个因式的$-mx$乘第二个因式的$x^2$，得到$-mx · x^2 = -mx^3$。
合并x³项的系数为$3 - m$，因展开式不含x³项，故系数为0：
$3 - m = 0$，解得$m = 3$。
第二步：计算x²项的系数
能得到x²项的组合为：
第一个因式的$x^2$乘第二个因式的$-n$，得到$x^2 · (-n) = -nx^2$；
第一个因式的$-mx$乘第二个因式的$3x$，得到$-mx · 3x = -3mx^2$；
第一个因式的8乘第二个因式的$x^2$，得到$8 · x^2 = 8x^2$。
合并x²项的系数为$-n - 3m + 8$，因展开式不含x²项，故系数为0：
将$m=3$代入得：$-n - 3×3 + 8 = 0$，即$-n -1 = 0$，解得$n = -1$。
第三步：计算$m^n$
将$m=3$，$n=-1$代入得：$m^n = 3^{-1} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
多项式乘多项式；多项式的项与系数；负整数指数幂
【点评】
本题重点考查多项式乘法中特定项系数的求解方法，解题的关键是掌握“不含某一项即该项系数为0”的规律，解题时无需展开全部项，只需定位对应次数的项计算系数即可，能减少不必要的运算。
【难度系数】
0.7
解题的核心是理解“展开式不含x²和x³项”的含义：即x²项、x³项的系数均为0。解题思路如下：首先根据多项式乘多项式的法则，找出展开式中所有能合并为x³、x²的项，分别计算两项的系数，再令系数等于0得到关于m、n的方程，求解得到m、n的值后，代入计算mⁿ即可。
【解析】
第一步：计算x³项的系数
两个多项式相乘时，能得到x³项的组合为：
第一个因式的$x^2$乘第二个因式的$3x$，得到$x^2 · 3x = 3x^3$；
第一个因式的$-mx$乘第二个因式的$x^2$，得到$-mx · x^2 = -mx^3$。
合并x³项的系数为$3 - m$，因展开式不含x³项，故系数为0：
$3 - m = 0$，解得$m = 3$。
第二步：计算x²项的系数
能得到x²项的组合为：
第一个因式的$x^2$乘第二个因式的$-n$，得到$x^2 · (-n) = -nx^2$；
第一个因式的$-mx$乘第二个因式的$3x$，得到$-mx · 3x = -3mx^2$；
第一个因式的8乘第二个因式的$x^2$，得到$8 · x^2 = 8x^2$。
合并x²项的系数为$-n - 3m + 8$，因展开式不含x²项，故系数为0：
将$m=3$代入得：$-n - 3×3 + 8 = 0$，即$-n -1 = 0$，解得$n = -1$。
第三步：计算$m^n$
将$m=3$，$n=-1$代入得：$m^n = 3^{-1} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
多项式乘多项式；多项式的项与系数；负整数指数幂
【点评】
本题重点考查多项式乘法中特定项系数的求解方法，解题的关键是掌握“不含某一项即该项系数为0”的规律，解题时无需展开全部项，只需定位对应次数的项计算系数即可，能减少不必要的运算。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 计算：
(1) $2×[5+(-2)^3]-(-|-4|÷2^{-1})$；
(2) $|-4|-(-2)^2-(-1)^{2025}-1÷2$。
17. 计算：
(1) $2×[5+(-2)^3]-(-|-4|÷2^{-1})$；
(2) $|-4|-(-2)^2-(-1)^{2025}-1÷2$。
答案
17.(1)原式$=2×(5-8)+4×2=-6+8=2$。
(2)原式$=4-4+1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
(2)原式$=4-4+1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算按照从左到右的顺序进行，同时要格外注意正负号的处理。
针对(1)：先分别计算中括号内的乘方$(-2)^3$、右侧的绝对值$|-4|$和负整数指数幂$2^{-1}$，再计算中括号内的加法和右侧的除法运算，接着计算乘法，最后计算加减即可得到结果。
针对(2)：依次计算绝对值、乘方、除法运算，再按从左到右的顺序计算加减，注意$(-1)$的奇次幂为$-1$，偶次幂为$1$的规律。
【解析】
(1) 先计算各部分特殊运算：
$(-2)^3=-8$，$|-4|=4$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×[5+(-8)] - (-4÷\frac{1}{2})\\&=2×(-3) - (-4×2)\\&=-6 + 8\\&=2\end{aligned}$
(2) 先计算各部分特殊运算：
$|-4|=4$，$(-2)^2=4$，$(-1)^{2025}=-1$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4 - 4 - (-1) - \frac{1}{2}\\&=4-4+1-\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
有理数混合运算、绝对值的化简、乘方的运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心是严格遵循运算顺序，易错点是乘方的符号、多重负号的处理以及负整数指数幂的计算，做题时仔细核对每一步的符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算按照从左到右的顺序进行，同时要格外注意正负号的处理。
针对(1)：先分别计算中括号内的乘方$(-2)^3$、右侧的绝对值$|-4|$和负整数指数幂$2^{-1}$，再计算中括号内的加法和右侧的除法运算，接着计算乘法，最后计算加减即可得到结果。
针对(2)：依次计算绝对值、乘方、除法运算，再按从左到右的顺序计算加减，注意$(-1)$的奇次幂为$-1$，偶次幂为$1$的规律。
【解析】
(1) 先计算各部分特殊运算：
$(-2)^3=-8$，$|-4|=4$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×[5+(-8)] - (-4÷\frac{1}{2})\\&=2×(-3) - (-4×2)\\&=-6 + 8\\&=2\end{aligned}$
(2) 先计算各部分特殊运算：
$|-4|=4$，$(-2)^2=4$，$(-1)^{2025}=-1$，代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4 - 4 - (-1) - \frac{1}{2}\\&=4-4+1-\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{2}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
有理数混合运算、绝对值的化简、乘方的运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心是严格遵循运算顺序，易错点是乘方的符号、多重负号的处理以及负整数指数幂的计算，做题时仔细核对每一步的符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
18.计算：$x · x^5 - (2x^3)^2 + x^9 ÷ x^3$
答案
18. $x · x^5-(2x^3)^2+x^9 ÷ x^3$
$=x^6-4x^6+x^6=-2x^6$。
$=x^6-4x^6+x^6=-2x^6$。
解析
【分析】
本题属于整式的混合运算题，解题时遵循先算乘方、乘除，最后算加减的运算顺序。首先对应每部分运算回忆相关法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方要把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减。分别算出三个项的结果后，再合并同类项即可得到答案。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算同底数幂乘法：$x·x^5 = x^{1+5}=x^6$
2. 计算积的乘方：$(2x^3)^2=2^2·(x^3)^2=4x^{3×2}=4x^6$
3. 计算同底数幂除法：$x^9÷x^3=x^{9-3}=x^6$
将结果代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^6 - 4x^6 + x^6\\&=(1-4+1)x^6\\&=-2x^6\end{aligned}$
【答案】
$-2x^6$
【知识点】
同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，主要考查幂的运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，计算积的乘方时不要遗漏系数的乘方，合并同类项时注意符号处理，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的混合运算题，解题时遵循先算乘方、乘除，最后算加减的运算顺序。首先对应每部分运算回忆相关法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方要把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减。分别算出三个项的结果后，再合并同类项即可得到答案。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算同底数幂乘法：$x·x^5 = x^{1+5}=x^6$
2. 计算积的乘方：$(2x^3)^2=2^2·(x^3)^2=4x^{3×2}=4x^6$
3. 计算同底数幂除法：$x^9÷x^3=x^{9-3}=x^6$
将结果代入原式合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=x^6 - 4x^6 + x^6\\&=(1-4+1)x^6\\&=-2x^6\end{aligned}$
【答案】
$-2x^6$
【知识点】
同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础常规题，主要考查幂的运算法则的应用，解题时要注意运算顺序，计算积的乘方时不要遗漏系数的乘方，合并同类项时注意符号处理，熟练掌握基础运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
19. 先化简，再求值：$(x-1)^2 + x(3-x)$，其中$x=-\dfrac{1}{2}$。
答案
19. 原式$=x^2-2x+1+3x-x^2=x+1$。
当$x=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$。
当$x=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：首先对原式进行化简，降低后续计算的复杂度，再代入x的取值算出结果。具体思考路径为：先回忆完全平方公式展开$(x-1)^2$，再用单项式乘多项式的法则计算$x(3-x)$，随后合并同类项得到最简整式，最后代入数值计算即可。
【解析】
1. 展开各项：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x-1)^2=x^2-2x+1$；
根据单项式乘多项式法则，可得$x(3-x)=3x-x^2$；
2. 合并同类项化简：
原式$=x^2-2x+1+3x-x^2=(x^2-x^2)+(-2x+3x)+1=x+1$；
3. 代入求值：
把$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子，得原式$=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查整式乘法的运算法则和合并同类项的方法，解题时注意展开项的符号不要出错，先化简再求值的方式能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.9
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰可分为两步：首先对原式进行化简，降低后续计算的复杂度，再代入x的取值算出结果。具体思考路径为：先回忆完全平方公式展开$(x-1)^2$，再用单项式乘多项式的法则计算$x(3-x)$，随后合并同类项得到最简整式，最后代入数值计算即可。
【解析】
1. 展开各项：
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x-1)^2=x^2-2x+1$；
根据单项式乘多项式法则，可得$x(3-x)=3x-x^2$；
2. 合并同类项化简：
原式$=x^2-2x+1+3x-x^2=(x^2-x^2)+(-2x+3x)+1=x+1$；
3. 代入求值：
把$x=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子，得原式$=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础常规题，核心考查整式乘法的运算法则和合并同类项的方法，解题时注意展开项的符号不要出错，先化简再求值的方式能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.9
20. 先化简,再求值:$[(2a+b)^2 + (b+2a)(b-2a) - 2b(a+2b)] ÷ 2b$,其中$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{4}.$
答案
20. 原式$=(4a^2+4ab+b^2+b^2-4a^2-2ab-4b^2)÷2b$
$=(2ab-2b^2)÷2b=a-b$，
当$a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{4}$时,原式$=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$。
$=(2ab-2b^2)÷2b=a-b$，
当$a=\dfrac{1}{3},b=\dfrac{1}{4}$时,原式$=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简原式，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的法则将中括号内的各项展开，再合并同类项，之后按照多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果；第二步将a、b的取值代入最简式计算即可，先化简再代值能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
先展开中括号内的各项：
1. 由完全平方公式得：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
2. 由平方差公式得：$(b+2a)(b-2a)=b^2-(2a)^2=b^2-4a^2$
3. 由单项式乘多项式法则得：$-2b(a+2b)=-2ab-4b^2$
将上述结果代入原式中括号内合并同类项：
$4a^2+4ab+b^2 + b^2-4a^2 -2ab-4b^2 = (4a^2-4a^2)+(4ab-2ab)+(b^2+b^2-4b^2)=2ab-2b^2$
再进行多项式除以单项式运算：
$(2ab-2b^2)÷2b = 2ab÷2b - 2b^2÷2b = a - b$
将$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{4}$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题核心是熟练掌握完全平方公式、平方差公式以及整式的运算法则，先化简再代入求值的方式可以大幅简化计算，提升正确率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简原式，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的法则将中括号内的各项展开，再合并同类项，之后按照多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果；第二步将a、b的取值代入最简式计算即可，先化简再代值能减少计算量，降低出错概率。
【解析】
先展开中括号内的各项：
1. 由完全平方公式得：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
2. 由平方差公式得：$(b+2a)(b-2a)=b^2-(2a)^2=b^2-4a^2$
3. 由单项式乘多项式法则得：$-2b(a+2b)=-2ab-4b^2$
将上述结果代入原式中括号内合并同类项：
$4a^2+4ab+b^2 + b^2-4a^2 -2ab-4b^2 = (4a^2-4a^2)+(4ab-2ab)+(b^2+b^2-4b^2)=2ab-2b^2$
再进行多项式除以单项式运算：
$(2ab-2b^2)÷2b = 2ab÷2b - 2b^2÷2b = a - b$
将$a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{4}$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$
【答案】
$\frac{1}{12}$
【知识点】
整式混合运算，乘法公式，代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，解题核心是熟练掌握完全平方公式、平方差公式以及整式的运算法则，先化简再代入求值的方式可以大幅简化计算，提升正确率。
【难度系数】
0.8
21. 研究下列算式你会发现有什么规律：
$4×1×2+1=3^2$；$4×2×3+1=5^2$；
$4×3×4+1=7^2$；$4×4×5+1=9^2$；…
请你将找出的规律用含一个字母的等式表示出来。
$4×1×2+1=3^2$；$4×2×3+1=5^2$；
$4×3×4+1=7^2$；$4×4×5+1=9^2$；…
请你将找出的规律用含一个字母的等式表示出来。
答案
21. $4n(n+1)+1=(2n+1)^2$。
解析
【分析】
要推导式子的规律，可按以下步骤思考：
第一步，先观察所有式子的共同结构：每个式子左侧都固定有“4×”和“+1”，剩余两个乘数是连续的正整数，且较小的乘数和式子的顺序序号一致；
第二步，观察式子右侧：都是奇数的平方，该奇数等于对应式子序号的2倍加1；
第三步，用字母n表示正整数（对应第n个式子），把变化的量替换为n，再通过整式运算验证等式两边是否相等，确认规律的正确性。
【解析】
设n为正整数，对应第n个算式：
第1个算式（n=1）：$4×1×(1+1)+1=(2×1+1)^2$
第2个算式（n=2）：$4×2×(2+1)+1=(2×2+1)^2$
第3个算式（n=3）：$4×3×(3+1)+1=(2×3+1)^2$
……
归纳可得第n个算式为$4n(n+1)+1=(2n+1)^2$。
验证：左边展开得$4n(n+1)+1=4n^2+4n+1$，右边展开得$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$，左右两边相等，规律成立。
【答案】
$4n(n+1)+1=(2n+1)^2$
【知识点】
数字规律探究，整式乘法运算，完全平方公式
【点评】
本题是规律探究类典型题，核心是区分式子中的不变项和变化项，将变化项与式子序号建立对应关系，再通过整式运算验证规律，侧重考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
要推导式子的规律，可按以下步骤思考：
第一步，先观察所有式子的共同结构：每个式子左侧都固定有“4×”和“+1”，剩余两个乘数是连续的正整数，且较小的乘数和式子的顺序序号一致；
第二步，观察式子右侧：都是奇数的平方，该奇数等于对应式子序号的2倍加1；
第三步，用字母n表示正整数（对应第n个式子），把变化的量替换为n，再通过整式运算验证等式两边是否相等，确认规律的正确性。
【解析】
设n为正整数，对应第n个算式：
第1个算式（n=1）：$4×1×(1+1)+1=(2×1+1)^2$
第2个算式（n=2）：$4×2×(2+1)+1=(2×2+1)^2$
第3个算式（n=3）：$4×3×(3+1)+1=(2×3+1)^2$
……
归纳可得第n个算式为$4n(n+1)+1=(2n+1)^2$。
验证：左边展开得$4n(n+1)+1=4n^2+4n+1$，右边展开得$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$，左右两边相等，规律成立。
【答案】
$4n(n+1)+1=(2n+1)^2$
【知识点】
数字规律探究，整式乘法运算，完全平方公式
【点评】
本题是规律探究类典型题，核心是区分式子中的不变项和变化项，将变化项与式子序号建立对应关系，再通过整式运算验证规律，侧重考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
