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22. 中考新考法 新定义问题 已知 $ x, y $ 为有理数，现规定一种新运算※，满足 $ x※y = xy + 1 $。
(1) 求 $ 2※4 $ 的值；
(2) 求 $ (1※4)※(-2) $ 的值；
(3) 任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
(4) 探索 $ a※(b+c) $ 与 $ a※b + a※c $ 的关系，并用等式把它们表达出来。
(1) 求 $ 2※4 $ 的值；
(2) 求 $ (1※4)※(-2) $ 的值；
(3) 任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○中，并比较它们的运算结果：□※○和○※□；
(4) 探索 $ a※(b+c) $ 与 $ a※b + a※c $ 的关系，并用等式把它们表达出来。
答案
22.(1)$2※4=2×4+1=9$。
(2)$(1※4)※(-2)=(1×4+1)×(-2)+1=-9$。
(3)$(-1)※5=-1×5+1=-4$，
$5※(-1)=5×(-1)+1=-4$，
$(-1)※5=5※(-1)$(答案不唯一)。
(4)$\because a※(b+c)=a(b+c)+1$
$=ab+ac+1$，
$a※b+a※c =ab+1+ac+1$
$=ab+ac+2$，
$\therefore a※(b+c)+1=a※b+a※c$。
(2)$(1※4)※(-2)=(1×4+1)×(-2)+1=-9$。
(3)$(-1)※5=-1×5+1=-4$，
$5※(-1)=5×(-1)+1=-4$，
$(-1)※5=5※(-1)$(答案不唯一)。
(4)$\because a※(b+c)=a(b+c)+1$
$=ab+ac+1$，
$a※b+a※c =ab+1+ac+1$
$=ab+ac+2$，
$\therefore a※(b+c)+1=a※b+a※c$。
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算※的规则：两个数进行※运算，结果等于这两个数的乘积加1，运算顺序和常规四则运算一致，有括号先算括号内的内容。
(1) 第一问直接把x=2、y=4代入新运算公式计算即可；
(2) 第二问需要分两步运算，先计算括号内1※4的结果，再把这个结果作为新的x，-2作为y代入公式计算；
(3) 第三问是开放性问题，按要求选两个有理数（至少一个负数），分别代入□※○和○※□计算，对比结果即可，根据乘法交换律可推测两次运算结果相等；
(4) 第四问分别把a※(b+c)和a※b+a※c按照新运算规则展开化简，再对比两个化简后的式子，就能找到二者的等量关系。
【解析】
(1) 根据新运算规则$x※y = xy + 1$，将x=2，y=4代入：
$2※4=2×4+1=8+1=9$
(2) 先计算括号内的$1※4$：
$1※4=1×4+1=4+1=5$
再计算$5※(-2)$：
$5※(-2)=5×(-2)+1=-10+1=-9$
即$(1※4)※(-2)=-9$
(3) 示例：选择□填-1，○填5
计算$(-1)※5$：$(-1)×5+1=-5+1=-4$
计算$5※(-1)$：$5×(-1)+1=-5+1=-4$
可得$(-1)※5=5※(-1)$（答案不唯一，任意满足要求的两个数代入均可得两式相等）
(4) 分别化简两个式子：
首先计算$a※(b+c)$：
$a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1$
再计算$a※b + a※c$：
$a※b + a※c=(ab+1)+(ac+1)=ab+ac+2$
对比两个结果可得：$ab+ac+1 +1 = ab+ac+2$，即$a※(b+c)+1=a※b+a※c$
【答案】
(1) $\boxed{9}$
(2) $\boxed{-9}$
(3) 示例：$(-1)※5=-4$，$5※(-1)=-4$，$(-1)※5=5※(-1)$（答案不唯一）
(4) $\boxed{a※(b+c)+1=a※b+a※c}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、代数式化简
【点评】
本题是新定义运算的基础题型，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，需要严格按照给定规则替换计算，注意运算顺序，第三问为开放性设问，第四问需要通过代数式化简对比得出等量关系，整体考查基础运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算※的规则：两个数进行※运算，结果等于这两个数的乘积加1，运算顺序和常规四则运算一致，有括号先算括号内的内容。
(1) 第一问直接把x=2、y=4代入新运算公式计算即可；
(2) 第二问需要分两步运算，先计算括号内1※4的结果，再把这个结果作为新的x，-2作为y代入公式计算；
(3) 第三问是开放性问题，按要求选两个有理数（至少一个负数），分别代入□※○和○※□计算，对比结果即可，根据乘法交换律可推测两次运算结果相等；
(4) 第四问分别把a※(b+c)和a※b+a※c按照新运算规则展开化简，再对比两个化简后的式子，就能找到二者的等量关系。
【解析】
(1) 根据新运算规则$x※y = xy + 1$，将x=2，y=4代入：
$2※4=2×4+1=8+1=9$
(2) 先计算括号内的$1※4$：
$1※4=1×4+1=4+1=5$
再计算$5※(-2)$：
$5※(-2)=5×(-2)+1=-10+1=-9$
即$(1※4)※(-2)=-9$
(3) 示例：选择□填-1，○填5
计算$(-1)※5$：$(-1)×5+1=-5+1=-4$
计算$5※(-1)$：$5×(-1)+1=-5+1=-4$
可得$(-1)※5=5※(-1)$（答案不唯一，任意满足要求的两个数代入均可得两式相等）
(4) 分别化简两个式子：
首先计算$a※(b+c)$：
$a※(b+c)=a(b+c)+1=ab+ac+1$
再计算$a※b + a※c$：
$a※b + a※c=(ab+1)+(ac+1)=ab+ac+2$
对比两个结果可得：$ab+ac+1 +1 = ab+ac+2$，即$a※(b+c)+1=a※b+a※c$
【答案】
(1) $\boxed{9}$
(2) $\boxed{-9}$
(3) 示例：$(-1)※5=-4$，$5※(-1)=-4$，$(-1)※5=5※(-1)$（答案不唯一）
(4) $\boxed{a※(b+c)+1=a※b+a※c}$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、代数式化简
【点评】
本题是新定义运算的基础题型，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，需要严格按照给定规则替换计算，注意运算顺序，第三问为开放性设问，第四问需要通过代数式化简对比得出等量关系，整体考查基础运算的熟练度。
【难度系数】
0.7
23. 如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;
(2)若$m=7,n=4$,求拼成矩形的面积.
(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;
(2)若$m=7,n=4$,求拼成矩形的面积.
答案
23.(1)$\because$矩形的长为$m+n$,宽为$m-n$，
$\therefore$周长为$4m$。
(2)矩形的面积为$(m+n)(m-n)$，
把$m=7,n=4$代入，
得$(m+n)(m-n)=11×3=33$。
$\therefore$周长为$4m$。
(2)矩形的面积为$(m+n)(m-n)$，
把$m=7,n=4$代入，
得$(m+n)(m-n)=11×3=33$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确拼接后矩形的长和宽：观察图形可知，边长为m的大正方形拿掉边长为n的小正方形后，剩余三块拼接时，矩形的长为大正方形边长与小正方形边长的和$m+n$，宽为大正方形边长减小正方形边长$m-n$。第一问直接代入矩形周长公式计算即可；第二问先利用矩形面积公式列出代数式，再代入m、n的数值计算结果。
【解析】
(1) 由图形拼接规律可得，拼成的新矩形的长为$m+n$，宽为$m-n$。
根据矩形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
周长$=2×[(m+n)+(m-n)]=2×2m=4m$。
(2) 根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得新矩形面积为：
$S=(m+n)(m-n)$
把$m=7,n=4$代入上式，得：
$S=(7+4)×(7-4)=11×3=33$。
【答案】
(1) $4m$
(2) $33$
【知识点】
列代数式，代数式求值，矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合图形的剪切与拼接背景，考查图形边长关系分析能力和代数式运算能力，解题核心是准确找到拼接后矩形的长和宽，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确拼接后矩形的长和宽：观察图形可知，边长为m的大正方形拿掉边长为n的小正方形后，剩余三块拼接时，矩形的长为大正方形边长与小正方形边长的和$m+n$，宽为大正方形边长减小正方形边长$m-n$。第一问直接代入矩形周长公式计算即可；第二问先利用矩形面积公式列出代数式，再代入m、n的数值计算结果。
【解析】
(1) 由图形拼接规律可得，拼成的新矩形的长为$m+n$，宽为$m-n$。
根据矩形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入得：
周长$=2×[(m+n)+(m-n)]=2×2m=4m$。
(2) 根据矩形面积公式$S=长×宽$，可得新矩形面积为：
$S=(m+n)(m-n)$
把$m=7,n=4$代入上式，得：
$S=(7+4)×(7-4)=11×3=33$。
【答案】
(1) $4m$
(2) $33$
【知识点】
列代数式，代数式求值，矩形周长与面积计算
【点评】
本题结合图形的剪切与拼接背景，考查图形边长关系分析能力和代数式运算能力，解题核心是准确找到拼接后矩形的长和宽，再代入对应公式计算即可。
【难度系数】
0.8
24. 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，其中蕴含了许多优美的规律.古今中外，许多的数学家都曾对其深入研究过，并将研究结果应用于实践.其中杨辉三角如图所示.
第一行： 1
第二行： 1 1
第三行： 1 2 1
第四行：
3 3 1
第五行： 1 4 6 4 1
第六行：1 5 10 10 5 1
(1)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为
(2)第三斜行的数分别为1,3,6,10,15,…,请依此规律写出第三斜行第n个数的表达式（用含有n的表达式表示）.
第一行： 1
第二行： 1 1
第三行： 1 2 1
第四行：
3 3 1第五行： 1 4 6 4 1
第六行：1 5 10 10 5 1
(1)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为
$2^{n-1}$
；(2)第三斜行的数分别为1,3,6,10,15,…,请依此规律写出第三斜行第n个数的表达式（用含有n的表达式表示）.
答案
24.(1)$2^{n-1}$ [解析]$\because$第一行数的和为$1=2^0$,第二行数的和为$2=2^1$,第三行数的和为$4=2^2$,第四行数的和为$8=2^3$,第五行数的和为$16=2^4$,…
$\therefore$第$n$行数的和为$2^{n-1}$。
(2)第三斜行的数:$1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3+4+5,…\therefore$第三斜行第$n$个数的表达式为$1+2+3+4+5+…+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$。
$\therefore$第$n$行数的和为$2^{n-1}$。
(2)第三斜行的数:$1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3+4+5,…\therefore$第三斜行第$n$个数的表达式为$1+2+3+4+5+…+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$。
解析
【分析】
(1) 要推导第n行数字的和，可先计算已知前几行的和，再对比行号和和的数值找规律：先分别算出第一到第五行的和依次为1、2、4、8、16，发现这些数都是2的幂，且幂的指数比对应行号小1，即可归纳出通用规律。
(2) 分析第三斜行的数：观察每个数的组成，第1个数是1，第2个数是1加2的和，第3个数是1到3的和，第4个数是1到4的和，由此可得第n个数是从1到n的连续正整数之和，用求和公式计算即可得到表达式。
【解析】
(1) 计算前几行数字的和：
第一行数字和：$1=2^0$
第二行数字和：$1+1=2=2^1$
第三行数字和：$1+2+1=4=2^2$
第四行数字和：$1+3+3+1=8=2^3$
第五行数字和：$1+4+6+4+1=16=2^4$
……
由此可归纳，第n行数字的和为$2^{n-1}$。
(2) 观察第三斜行的数：
第1个数：$1$
第2个数：$3=1+2$
第3个数：$6=1+2+3$
第4个数：$10=1+2+3+4$
第5个数：$15=1+2+3+4+5$
……
第n个数是从1到n的正整数之和，计算得：
$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{n-1}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}n(n+1)}$
【知识点】
杨辉三角规律，数字规律探究，等差数列求和
【点评】
本题以我国古代经典数学成果杨辉三角为载体，考查学生观察、归纳数字规律的能力，题目由浅入深，既考查了乘方的规律认知，也考查了连续正整数求和公式的应用，是规律探究类题的典型代表。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导第n行数字的和，可先计算已知前几行的和，再对比行号和和的数值找规律：先分别算出第一到第五行的和依次为1、2、4、8、16，发现这些数都是2的幂，且幂的指数比对应行号小1，即可归纳出通用规律。
(2) 分析第三斜行的数：观察每个数的组成，第1个数是1，第2个数是1加2的和，第3个数是1到3的和，第4个数是1到4的和，由此可得第n个数是从1到n的连续正整数之和，用求和公式计算即可得到表达式。
【解析】
(1) 计算前几行数字的和：
第一行数字和：$1=2^0$
第二行数字和：$1+1=2=2^1$
第三行数字和：$1+2+1=4=2^2$
第四行数字和：$1+3+3+1=8=2^3$
第五行数字和：$1+4+6+4+1=16=2^4$
……
由此可归纳，第n行数字的和为$2^{n-1}$。
(2) 观察第三斜行的数：
第1个数：$1$
第2个数：$3=1+2$
第3个数：$6=1+2+3$
第4个数：$10=1+2+3+4$
第5个数：$15=1+2+3+4+5$
……
第n个数是从1到n的正整数之和，计算得：
$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{n-1}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}n(n+1)}$
【知识点】
杨辉三角规律，数字规律探究，等差数列求和
【点评】
本题以我国古代经典数学成果杨辉三角为载体，考查学生观察、归纳数字规律的能力，题目由浅入深，既考查了乘方的规律认知，也考查了连续正整数求和公式的应用，是规律探究类题的典型代表。
【难度系数】
0.7
