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12. 计算$(-π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-2}$的结果是 （
A.$-\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$6$
D.$10$
D
）A.$-\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{9}$
C.$6$
D.$10$
答案
12.D
解析
【分析】
本题考查零指数幂和负整数指数幂的混合运算，解题思路是先分别根据两个幂的运算规则计算出两个项的值，再将结果相加即可得到最终答案。首先回忆相关运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，计算时注意底数的符号不要出错。
【解析】
解：分别计算两个部分的数值：
1. 计算$(-π)^0$：根据零指数幂的运算规则，任意非零数的0次幂为1，因为$-π≠0$，所以$(-π)^0=1$。
2. 计算$(-\dfrac{1}{3})^{-2}$：根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}}=9$。
3. 求和：$(-π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-2}=1+9=10$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握，解题时需注意运算规则的准确应用，避免混淆负指数的运算逻辑或者忽略底数的符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查零指数幂和负整数指数幂的混合运算，解题思路是先分别根据两个幂的运算规则计算出两个项的值，再将结果相加即可得到最终答案。首先回忆相关运算规则：①任何非零数的0次幂等于1；②非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，计算时注意底数的符号不要出错。
【解析】
解：分别计算两个部分的数值：
1. 计算$(-π)^0$：根据零指数幂的运算规则，任意非零数的0次幂为1，因为$-π≠0$，所以$(-π)^0=1$。
2. 计算$(-\dfrac{1}{3})^{-2}$：根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$(-\dfrac{1}{3})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{9}}=9$。
3. 求和：$(-π)^0 + (-\dfrac{1}{3})^{-2}=1+9=10$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 零指数幂运算
2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对零指数幂、负整数指数幂运算法则的掌握，解题时需注意运算规则的准确应用，避免混淆负指数的运算逻辑或者忽略底数的符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
13. 下列算式中,计算结果等于$2a^3$的是（
A.$2+a^3$
B.$2(a+a+a)$
C.$2· a· a· a$
D.$2a· 2a· 2a$
C
）A.$2+a^3$
B.$2(a+a+a)$
C.$2· a· a· a$
D.$2a· 2a· 2a$
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先明确目标结果$2a^3$的含义：是2与$a^3$的乘积，其中$a^3$表示3个a相乘。接下来我们只需要逐一计算每个选项的运算结果，和$2a^3$对比，选出匹配的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $2$和$a^3$不是同类项，无法合并，结果仍为$2+a^3$，不等于$2a^3$，不符合要求；
B. 先计算括号内：$a+a+a=3a$，再算乘法：$2×3a=6a$，不等于$2a^3$，不符合要求；
C. 根据乘方的定义，$a·a·a=a^3$，因此$2·a·a·a=2a^3$，和目标结果一致，符合要求；
D. $2a·2a·2a=(2×2×2)×(a·a·a)=8a^3$，不等于$2a^3$，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义、单项式乘法、同类项合并
【点评】
本题侧重考查整式相关的基础运算规则，核心是对乘方含义的理解，只要掌握基础概念和运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确目标结果$2a^3$的含义：是2与$a^3$的乘积，其中$a^3$表示3个a相乘。接下来我们只需要逐一计算每个选项的运算结果，和$2a^3$对比，选出匹配的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $2$和$a^3$不是同类项，无法合并，结果仍为$2+a^3$，不等于$2a^3$，不符合要求；
B. 先计算括号内：$a+a+a=3a$，再算乘法：$2×3a=6a$，不等于$2a^3$，不符合要求；
C. 根据乘方的定义，$a·a·a=a^3$，因此$2·a·a·a=2a^3$，和目标结果一致，符合要求；
D. $2a·2a·2a=(2×2×2)×(a·a·a)=8a^3$，不等于$2a^3$，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义、单项式乘法、同类项合并
【点评】
本题侧重考查整式相关的基础运算规则，核心是对乘方含义的理解，只要掌握基础概念和运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
14. 若长方形的长为$2a + 1$，宽为$2a - 1$，则此长方形的面积为（
A.$2a^2 - \frac{1}{2}$
B.$4a^2 - 4a + 1$
C.$4a^2 + 4a + 1$
D.$4a^2 - 1$
D
）A.$2a^2 - \frac{1}{2}$
B.$4a^2 - 4a + 1$
C.$4a^2 + 4a + 1$
D.$4a^2 - 1$
答案
14.D
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，将题目给出的长和宽代入公式可得到整式乘法算式。观察算式特征可知，它符合平方差公式的结构，即两个数的和与这两个数的差相乘，因此可以直接套用平方差公式进行简便计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据长方形面积公式列式：
$\begin{split}面积&=长×宽\\&=(2a+1)(2a-1)\\&=(2a)^2-1^2\\&=4a^2-1\end{split}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算；平方差公式
【点评】
本题属于基础的整式乘法应用类题目，重点考查对平方差公式结构的识别和运用能力，计算时需注意单项式平方时系数也要同时乘方，避免和完全平方公式混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方形的面积计算公式：面积=长×宽，将题目给出的长和宽代入公式可得到整式乘法算式。观察算式特征可知，它符合平方差公式的结构，即两个数的和与这两个数的差相乘，因此可以直接套用平方差公式进行简便计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据长方形面积公式列式：
$\begin{split}面积&=长×宽\\&=(2a+1)(2a-1)\\&=(2a)^2-1^2\\&=4a^2-1\end{split}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算；平方差公式
【点评】
本题属于基础的整式乘法应用类题目，重点考查对平方差公式结构的识别和运用能力，计算时需注意单项式平方时系数也要同时乘方，避免和完全平方公式混淆。
【难度系数】
0.8
15. $98 × 102$ 变形正确的是 （
A.$98 × 102 = 100^2 + 2^2$
B.$98 × 102 = (100 - 2)^2$
C.$98 × 102 = 100^2 - 2^2$
D.$98 × 102 = (100 + 2)^2$
C
）A.$98 × 102 = 100^2 + 2^2$
B.$98 × 102 = (100 - 2)^2$
C.$98 × 102 = 100^2 - 2^2$
D.$98 × 102 = (100 + 2)^2$
答案
15.C
解析
【分析】
解题时先观察两个乘数的特征：98和102都接近整百数100，可将98改写为100-2，102改写为100+2，此时原式变为(100-2)(100+2)，符合平方差公式的结构特征，再结合平方差公式的内容逐一核对选项即可，注意要区分平方差公式和完全平方公式，不要错选成完全平方形式的选项。
【解析】
第一步，改写乘数：
$98 = 100 - 2$，$102 = 100 + 2$，因此$98×102=(100-2)(100+2)$。
第二步，应用平方差公式：
根据平方差公式$\boldsymbol{(a-b)(a+b)=a^2 - b^2}$，令$a=100$，$b=2$，代入可得：
$(100-2)(100+2)=100^2 - 2^2$。
第三步，核对选项：
A选项结果为$100^2 + 2^2$，不符合推导结果，错误；
B选项$(100-2)^2=98^2$，和原式$98×102$不相等，错误；
C选项$100^2 - 2^2$和推导结果一致，正确；
D选项$(100+2)^2=102^2$，和原式$98×102$不相等，错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题属于公式应用类基础题，解题的核心是准确识别两个乘数的特征，将其转化为平方差公式的标准形式，同时要牢记平方差公式和完全平方公式的结构差异，避免混淆两种公式导致错选。
【难度系数】
0.8
解题时先观察两个乘数的特征：98和102都接近整百数100，可将98改写为100-2，102改写为100+2，此时原式变为(100-2)(100+2)，符合平方差公式的结构特征，再结合平方差公式的内容逐一核对选项即可，注意要区分平方差公式和完全平方公式，不要错选成完全平方形式的选项。
【解析】
第一步，改写乘数：
$98 = 100 - 2$，$102 = 100 + 2$，因此$98×102=(100-2)(100+2)$。
第二步，应用平方差公式：
根据平方差公式$\boldsymbol{(a-b)(a+b)=a^2 - b^2}$，令$a=100$，$b=2$，代入可得：
$(100-2)(100+2)=100^2 - 2^2$。
第三步，核对选项：
A选项结果为$100^2 + 2^2$，不符合推导结果，错误；
B选项$(100-2)^2=98^2$，和原式$98×102$不相等，错误；
C选项$100^2 - 2^2$和推导结果一致，正确；
D选项$(100+2)^2=102^2$，和原式$98×102$不相等，错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题属于公式应用类基础题，解题的核心是准确识别两个乘数的特征，将其转化为平方差公式的标准形式，同时要牢记平方差公式和完全平方公式的结构差异，避免混淆两种公式导致错选。
【难度系数】
0.8
16.计算$(x+1)^2$的结果是 （
A.$x^2 - x + 1$
B.$x^2 - 2x + 1$
C.$x^2 - x - 1$
D.$x^2 + 2x + 1$
D
）A.$x^2 - x + 1$
B.$x^2 - 2x + 1$
C.$x^2 - x - 1$
D.$x^2 + 2x + 1$
答案
16.D
解析
【分析】
看到求$(x+1)^2$的结果，我们可以用两种思路解题：一是直接套用完全平方和公式，先明确公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，找到本题中对应$a$、$b$的代数式，代入计算即可；二是如果暂时记不清公式，也可以将平方转化为两个相同的多项式相乘，用多项式乘多项式的法则逐项计算、合并同类项得到结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
方法一：套用完全平方和公式
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，本题中$a=x$，$b=1$，代入得：
$(x+1)^2=x^2+2× x×1 +1^2=x^2+2x+1$。
方法二：多项式乘多项式计算
$(x+1)^2=(x+1)(x+1)$，根据多项式乘多项式法则，逐项相乘再合并同类项：
$(x+1)(x+1)=x· x +x·1 +1· x +1·1=x^2+x+x+1=x^2+2x+1$。
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考察完全平方公式的掌握与应用，牢记公式结构特征可以快速得出结果，计算时注意不要记错中间项的系数和符号。
【难度系数】
0.9
看到求$(x+1)^2$的结果，我们可以用两种思路解题：一是直接套用完全平方和公式，先明确公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的结构，找到本题中对应$a$、$b$的代数式，代入计算即可；二是如果暂时记不清公式，也可以将平方转化为两个相同的多项式相乘，用多项式乘多项式的法则逐项计算、合并同类项得到结果，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
方法一：套用完全平方和公式
根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，本题中$a=x$，$b=1$，代入得：
$(x+1)^2=x^2+2× x×1 +1^2=x^2+2x+1$。
方法二：多项式乘多项式计算
$(x+1)^2=(x+1)(x+1)$，根据多项式乘多项式法则，逐项相乘再合并同类项：
$(x+1)(x+1)=x· x +x·1 +1· x +1·1=x^2+x+x+1=x^2+2x+1$。
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式的乘法
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考察完全平方公式的掌握与应用，牢记公式结构特征可以快速得出结果，计算时注意不要记错中间项的系数和符号。
【难度系数】
0.9
17. 先化简,再求值:
(1) $(a+2b)^2 - (a-2b)^2$, 其中 $a=\frac{1}{2},b=-2$;
(2) $(x-2)(2x-1)-(x+2)^2 +1$, 其中 $x$ 满足 $x^2 -9x=9$.
(1) $(a+2b)^2 - (a-2b)^2$, 其中 $a=\frac{1}{2},b=-2$;
(2) $(x-2)(2x-1)-(x+2)^2 +1$, 其中 $x$ 满足 $x^2 -9x=9$.
答案
17.解:(1)原式 = $a^2 +4ab +4b^2 -(a^2 +4b^2 -4ab) = a^2 +4ab +4b^2 -a^2 -4b^2 +4ab =8ab$. 当 $a=\frac{1}{2},b=-2$时,原式=$8ab=8 × \frac{1}{2} × (-2) = -8$.
(2)原式 = $2x^2 -5x +2 -(x^2 +4x +4) +1 = 2x^2 -5x +2 -x^2 -4x -4 +1 = x^2 -9x -1$. 当 $x^2 -9x =9$ 时,原式 = $9 -1 =8$.
(2)原式 = $2x^2 -5x +2 -(x^2 +4x +4) +1 = 2x^2 -5x +2 -x^2 -4x -4 +1 = x^2 -9x -1$. 当 $x^2 -9x =9$ 时,原式 = $9 -1 =8$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：先利用完全平方公式分别展开$(a+2b)^2$和$(a-2b)^2$，去括号时注意符号变化，合并同类项得到最简整式，再将$a=\frac{1}{2},b=-2$代入最简式计算结果即可。
(2) 解题思路：先分别计算多项式乘多项式$(x-2)(2x-1)$和完全平方$(x+2)^2$，去括号后合并同类项得到最简整式，观察最简式发现含有和已知条件一致的$x^2-9x$，利用整体代入的方法代入求值，无需单独求解$x$的值，简化计算。
【解析】
(1) 利用完全平方公式展开：
原式 $= a^2 +4ab +4b^2 -(a^2 -4ab +4b^2)$
去括号：
$= a^2 +4ab +4b^2 -a^2 +4ab -4b^2$
合并同类项得：
$=8ab$
将$a=\frac{1}{2},b=-2$代入：
原式$=8 × \frac{1}{2} × (-2) = -8$
(2) 分别计算多项式乘法和完全平方：
原式 $= 2x^2 -x -4x +2 -(x^2 +4x +4) +1$
去括号：
$= 2x^2 -5x +2 -x^2 -4x -4 +1$
合并同类项得：
$= x^2 -9x -1$
已知$x^2 -9x=9$，整体代入：
原式 $= 9 -1 =8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，第一问侧重考查完全平方公式的应用、去括号及合并同类项的基础运算能力，需要注意去括号时的符号变化；第二问考查整体代入的思想，化简后观察式子与已知条件的关联，可避免求解未知数，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.75
(1) 解题思路：先利用完全平方公式分别展开$(a+2b)^2$和$(a-2b)^2$，去括号时注意符号变化，合并同类项得到最简整式，再将$a=\frac{1}{2},b=-2$代入最简式计算结果即可。
(2) 解题思路：先分别计算多项式乘多项式$(x-2)(2x-1)$和完全平方$(x+2)^2$，去括号后合并同类项得到最简整式，观察最简式发现含有和已知条件一致的$x^2-9x$，利用整体代入的方法代入求值，无需单独求解$x$的值，简化计算。
【解析】
(1) 利用完全平方公式展开：
原式 $= a^2 +4ab +4b^2 -(a^2 -4ab +4b^2)$
去括号：
$= a^2 +4ab +4b^2 -a^2 +4ab -4b^2$
合并同类项得：
$=8ab$
将$a=\frac{1}{2},b=-2$代入：
原式$=8 × \frac{1}{2} × (-2) = -8$
(2) 分别计算多项式乘法和完全平方：
原式 $= 2x^2 -x -4x +2 -(x^2 +4x +4) +1$
去括号：
$= 2x^2 -5x +2 -x^2 -4x -4 +1$
合并同类项得：
$= x^2 -9x -1$
已知$x^2 -9x=9$，整体代入：
原式 $= 9 -1 =8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，第一问侧重考查完全平方公式的应用、去括号及合并同类项的基础运算能力，需要注意去括号时的符号变化；第二问考查整体代入的思想，化简后观察式子与已知条件的关联，可避免求解未知数，大幅降低计算量。
【难度系数】
0.75
18. 大米是我国居民重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上.将2亿用科学记数法表示为 （
A.$2×10^{9}$
B.$2×10^{8}$
C.$0.2×10^{8}$
D.$2×10^{7}$
B
）A.$2×10^{9}$
B.$2×10^{8}$
C.$0.2×10^{8}$
D.$2×10^{7}$
答案
18.B
解析
【分析】
解题时首先要明确科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1≤ |a| ＜ 10$，当表示大于10的正整数时，n为正整数。第一步先将“2亿”转化为具体的阿拉伯数字，再按照规则确定a和n的取值，也可以通过排除法排除不符合a的取值范围、n数值错误的选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先将2亿改写为具体数字：$2亿 = 200000000$。
根据科学记数法的定义，其表示形式为$a × 10^n$，要求$1≤ a ＜ 10$，n为整数。
把200000000转化为满足要求的a，即$a=2$，此时小数点需要向左移动8位，因此$n=8$。
所以2亿用科学记数法表示为$2× 10^8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较大数的方法，属于基础题型，掌握科学记数法中a的取值要求和n的确定规则是解题的核心。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1≤ |a| ＜ 10$，当表示大于10的正整数时，n为正整数。第一步先将“2亿”转化为具体的阿拉伯数字，再按照规则确定a和n的取值，也可以通过排除法排除不符合a的取值范围、n数值错误的选项，最终得到正确答案。
【解析】
首先将2亿改写为具体数字：$2亿 = 200000000$。
根据科学记数法的定义，其表示形式为$a × 10^n$，要求$1≤ a ＜ 10$，n为整数。
把200000000转化为满足要求的a，即$a=2$，此时小数点需要向左移动8位，因此$n=8$。
所以2亿用科学记数法表示为$2× 10^8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法表示较大数的方法，属于基础题型，掌握科学记数法中a的取值要求和n的确定规则是解题的核心。
【难度系数】
0.9
