1 如图,已知$∠ BAC=∠ DCA$.若添加一个条件后,可得$△ ABC≌△ CDA$,则在下列条件中,不能添加的是 ()

A.$AB=CD$
B.$∠ B=∠ D$
C.$BC// AD$
D.$BC=DA$

(第1题图)
(第2题图)

1. D 【解析】
$\because AB = CD, ∠BAC = ∠ACD, AC = CA,$
$\therefore △ ABC≌△ CDA(SAS),\therefore$ 选项 A 不符合题意
$\because ∠B = ∠D, ∠BAC = ∠ACD, AC = CA,$
$\therefore △ ABC≌△ CDA(AAS),\therefore$ 选项 B 不符合题意
$\because BC// AD,\therefore ∠ACB = ∠CAD. \because ∠BAC = ∠ACD, AC = CA, \therefore △ ABC ≌ △ CDA(ASA),\therefore$ 选项 C 不符合题意
添加 $BC=DA$ 不能判定 $△ ABC≌△ CDA$，$\therefore$ 选项 D 符合题意

2[2025江苏宿迁期中]如图,龙龙用长方体积木垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一块三角板($AC=BC$,$∠ ACB=90°$),点$C$在$DE$上,点$A$,$B$恰好与木墙的顶端重合,$AD=6$,$BE=14$,则两堵木墙之间的距离$DE$的长为（）

A.6
B.10
C.14
D.20

2. D 【解析】由题意得 $∠ADC = ∠CEB = ∠ACB = 90°, \therefore ∠ACD + ∠BCE = ∠ACD + ∠CAD = 90°, \therefore ∠CAD = ∠BCE.$ 在 $△ ACD$ 和 $△ CBE$ 中,
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB,\\∠CAD=∠BCE,\\AC=BC,\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ CBE(AAS), \therefore AD = CE = 6, CD = BE = 14,$
$\therefore DE = CD+CE = 14+6 = 20,$ 故选 D.

3[2026江苏南京调研]如图，AB⊥CD，且AB=CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD。若CE=a，AD=b，BF=c，则EF的长为。

3. $a+c-b$ 【解析】如图所示.
$\because AB ⊥ CD, CE ⊥ AD, BF ⊥ AD, \therefore ∠CED = ∠DFB = ∠AFB = ∠BMD = 90°. \because$ 在 $△ MBN$ 中, $∠B + ∠BMN + ∠BNM = 180°$, 在 $△ DFN$ 中, $∠D + ∠NFD + ∠DNF = 180°, ∠BNM = ∠DNF, \therefore ∠B = ∠D.$
在 $△ ABF$ 和 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases}∠AFB=∠CED,\\∠B=∠D,\\AB=CD,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CDE(AAS), \therefore AF = CE = a, ED = BF = c, \therefore AF+ED = a+c.$ 又 $\because AD = b, \therefore EF = AF+ED-AD = a+c-b.$ 故答案为 $a+c-b.$

4 已知:如图,线段AC,BD相交于点O,分别连接AB,CD,BC,则$△ ABC ≌ △ DCB$.求证:$△ ABO ≌ △ DCO$.

4.【证明】$\because △ ABC≌△ DCB, \therefore AB = DC, ∠A = ∠D.$ 在 $△ ABO$ 与 $△ DCO$ 中,
$\begin{cases}∠AOB=∠DOC,\\∠A=∠D,\\AB=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ DCO(AAS).$

5[2025江苏扬州质检]如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在直线l异侧,测得AB=DE,AB//DE,∠ACB=∠DFC.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=10 m,BF=3 m,求FC的长度.

5.(1)【证明】$\because AB// DE, \therefore ∠ABC = ∠DEF.$ 在 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ACB=∠DFC,\\∠ABC=∠DEF,\\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(AAS).$
(2)【解】$\because △ ABC≌△ DEF, \therefore BC = EF,$
$\therefore BF+FC = EC+FC, \therefore BF = EC. \because BE = 10\ \mathrm{m}, BF = 3\ \mathrm{m}, \therefore FC = 10-3-3 = 4(\mathrm{m}).$

6 如图，E在$△ ABC$的边AC上，且$∠ AEB = ∠ ABC$。
(1)求证：$∠ ABE = ∠ C$。
(2)若$∠ BAE$的平分线AF交BE于点F，$FD // BC$交AC于点D，$AB=8$，$AC=10$，求DC的长。

6.(1)【证明】在 $△ ABE$ 中, $∠ABE = 180°-∠BAE-∠AEB.$ 在 $△ ABC$ 中, $∠C = 180°-∠BAC-∠ABC. \because ∠AEB = ∠ABC, ∠BAE = ∠BAC, \therefore ∠ABE = ∠C.$
(2)【解】$\because FD// BC, \therefore ∠ADF = ∠C.$ 又 $\because ∠ABE = ∠C, \therefore ∠ABE = ∠ADF. \because AF$ 平分 $∠BAE, \therefore ∠BAF = ∠DAF.$ 在 $△ ABF$ 和 $△ ADF$ 中,
$\begin{cases}∠ABF=∠ADF,\\∠BAF=∠DAF,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ ADF(AAS), \therefore AB = AD. \because AB = 8, AC = 10,$
$\therefore DC = AC-AD = AC-AB = 10-8 = 2.$
思路分析
(2) 由 $FD// BC$ 得到 $∠ADF = ∠C$, 再结合(1)的结论等量代换得到一对角相等, 然后根据 $AF$ 为 $∠BAE$ 的平分线得到一对角相等, 结合 $AF=AF$, 利用“AAS”证明 $△ ABF≌△ ADF$, 利用全等三角形对应边相等得到 $AB=AD$, 由 $DC = AC-AD$ 即可求解.
关键点拨
本题考查全等三角形的实际应用, 识别出“一线三等角”模型并用合适的方法证明三角形全等是解本题的关键.

7 [2026 天津和平区期中]如图,已知在$△ ACB$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$E$为$BC$上一点,连接$AE$,作$AF ⊥ AE$且$AF=AE$,连接$BF$交$AC$于点$D$.
(1)求证:点$D$为$BF$中点;
(2)求证:$BE=2CD$;
(3)若$\frac{BE}{CE}=\frac{2}{3}$,则$\frac{AD}{CD}=$.

7.(1)【证明】过点 $F$ 作 $FG⊥ AC$ 于点 $G$, 如图,
则 $∠FGD = ∠FGA = 90°.$
$\because AF ⊥ AE, ∠ACB = 90°,$
$\therefore ∠CAE + ∠AEC = 90°,$
$∠CAE + ∠FAG = 90°,$
$∠ACE = ∠FGA, \therefore ∠AEC = ∠FAG.$ 在 $△ AFG$ 和 $△ EAC$ 中,
$\begin{cases}∠FGA=∠ACE,\\∠FAG=∠AEC,\\AF=AE,\end{cases}$
$\therefore △ AFG≌△ EAC(AAS), \therefore FG = AC. \because AC = BC, \therefore FG = BC.$ 在 $△ DFG$ 和 $△ DBC$ 中,
$\begin{cases}∠FDG=∠BDC,\\∠FGD=∠BCD=90°,\\FG=BC,\end{cases}$
$\therefore △ DFG≌△ DBC(AAS), \therefore DF = DB, \therefore$ 点 $D$ 为 $BF$ 中点.
(2)【证明】由(1)可知 $△ AFG≌△ EAC$, $△ DFG≌△ DBC, \therefore AG = CE, CD = DG$, 即 $CG = 2CD.$ 又 $\because AC = BC, \therefore CG = BE, \therefore BE = 2CD.$
(3)【解】$\because \frac{BE}{CE}=\frac{2}{3}, \therefore$ 设 $BE = 2k, CE = 3k$,
$\therefore AC = BC = 5k, AG = CE = 3k, \therefore CG = AC-AG = 2k, \therefore CD = GD = \frac{1}{2}CG = k, \therefore \frac{AD}{CD} = \frac{3k+k}{k} = 4.$ 故答案为 4.