1[2025河北唐山期中,中]已知$∠ AOB = 90°$，$OA = OB$，直线$l$是经过$∠ AOB$顶点$O$的一条直线($l$不与角的两边重合)，作$AC ⊥ l$，$BD ⊥ l$，垂足分别为$C,D$。甲、乙两位同学给出自己的结论:
甲:当直线$l$过$∠ AOB$内部时，$DC = BD - AC$；
乙:当直线$l$在$∠ AOB$外部时，$DC = BD + AC$。
对于上述的两个结论，下列说法正确的是 ()

A.只有甲正确
B.只有乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都不正确

1. B 【解析】如图(1), 当直线 $l$ 过 $∠AOB$ 内部, 且点 $C$ 在点 $D$ 的左侧时, $\because AC ⊥ l, BD ⊥ l, \therefore ∠ACO = ∠ODB = 90°, \therefore ∠A + ∠AOC = 90°.$
$\because ∠AOB = 90°, \therefore ∠AOC + ∠BOD = 90°, \therefore ∠A = ∠BOD.$ 在 $△ ACO$ 和 $△ ODB$ 中,
$\begin{cases}∠ACO=∠ODB,\\∠A=∠BOD,\\OA=OB,\end{cases}$
$\therefore △ ACO≌△ ODB(AAS),$
$\therefore AC = OD, OC = BD, \therefore$ 此时 $CD = OD-OC = AC-BD$, 故甲不正确.
如图(2), 当直线 $l$ 在 $∠AOB$ 外部时, $\because AC ⊥ l, BD ⊥ l, \therefore ∠ACO = ∠ODB = 90°, \therefore ∠A + ∠AOC = 90°. \because ∠AOB = 90°, \therefore ∠AOC + ∠BOD = 90°, \therefore ∠A = ∠BOD.$ 在 $△ ACO$ 和 $△ ODB$ 中,
$\begin{cases}∠ACO=∠ODB,\\∠A=∠BOD,\\OA=OB,\end{cases}$
$\therefore △ ACO≌△ ODB(AAS), \therefore AC = OD, OC = BD, \therefore CD = OD+OC = AC+BD$, 故乙正确. 故选 B.

2[2025江苏南京质检,中]如图,在正方形ABCD中,AB=11,E在AB边上,F在BC边上,且BF=3,将EF绕着点F顺时针旋转90°得到GF,连接DG,则DG的长的最小值为.

2. 8 【解析】如图, 过点 $G$ 作 $GH ⊥ BC$, 垂足为 $H, \therefore ∠GHF = 90°. \because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore AB = CD = 11, ∠B = 90°, \therefore ∠B = ∠GHF = 90°.$ 由旋转得 $EF = FG, ∠EFG = 90°, \therefore ∠EFB + ∠GFH = 90°.$
$\because ∠BEF + ∠BFE = 90°, \therefore ∠BEF = ∠GFH,$
$\therefore △ EBF≌△ FHG(AAS), \therefore BF = GH = 3, \therefore$ 点 $G$ 在与 $BC$ 平行且与 $BC$ 的距离为 3 的直线上, $\therefore$ 当点 $G$ 在 $CD$ 边上时, $DG$ 的长最小, 此时 $DG = 11-3 = 8, \therefore DG$ 的长的最小值为 8, 故答案为 8.

3 新考法[2026黑龙江哈尔滨质检,中]如图，AB=AC且AB⊥AC，CD=DE且CD⊥DE，点B，C，E共线，并且点B，C，E到直线AD的距离分别为4,2,1，则四边形ABED的面积为。

（第3题图）
（第4题图）

3. $\frac{35}{2}$ 【解析】如图, 分别过点 $B,C,E$ 作 $AD$ 的垂线, 交直线 $AD$ 于点 $F,G,H$, 则 $BF = 4, CG = 2, EH = 1.$
$\because AB ⊥ AC, BF ⊥ FH, CG ⊥ FH, \therefore ∠BAF + ∠CAG = 90°, ∠BAF + ∠ABF = 90°, ∠AFB = ∠AGC = 90°, \therefore ∠CAG = ∠ABF.$ 在 $△ ABF$ 与 $△ CAG$ 中,
$\begin{cases}∠AFB=∠AGC,\\∠ABF=∠CAG,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ CAG(AAS),$
$\therefore BF = AG = 4, AF = CG = 2, S_{△ ABF} = S_{△ ACG}.$ 同理可得 $△ CGD≌△ DHE(AAS), \therefore DG = EH = 1, CG = DH = 2, S_{△ CDG} = S_{△ DEH}, \therefore S_{\mathrm{四边形}ABED} = S_{\mathrm{梯形}BEHF} - (S_{△ ABF} + S_{△ DEH}) = S_{\mathrm{梯形}BEHF} - (S_{△ ACG} + S_{△ CDG}) = S_{\mathrm{梯形}BEHF} - S_{△ ACD}. \because FH = AF+AG+DG+DH = 2+4+1+2 = 9, AD = AG+DG = 4+1 = 5,$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABED} = \frac{1}{2}(EH+BF)· FH - \frac{1}{2}AD· CG = \frac{1}{2}×(1+4)×9 - \frac{1}{2}×5×2 = \frac{35}{2}.$ 故答案为 $\frac{35}{2}.$
易错警示
注意点 $E$ 的位置有两种情况, 可以在线段 $BC$ 的延长线上, 也可以在线段 $CB$ 的延长线上.
思路分析
本题主要考查全等三角形的性质与判定, 分别过点 $B,C,E$ 作 $AD$ 的垂线, 交直线 $AD$ 于点 $F,G,H$, 证明 $△ ABF≌△ CAG, △ CGD≌△ DHE$, 根据全等三角形的性质, 结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案.

4[2026湖北武汉调研,较难]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$E$,$F$分别为$AB$,$AC$上的动点,且$CF=AE$,连接$CE$,$BF$,当$CE+BF$取得最小值时,$\frac{BE}{AB}$的值为.

4. $\frac{1}{2}$ 【解析】如图,
过点 $C$ 作 $NC ⊥ AC$, 且 $NC = AC$, 连接 $BN, FN, BN$ 交 $AC$ 于点 $M, \therefore ∠ACN = ∠BAC = 90°. \because AB = AC, \therefore AB = CN.$ 在 $△ ACE$ 和 $△ CNF$ 中,
$\begin{cases}AC=CN,\\∠CAE=∠NCF,\\AE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ CNF(SAS), \therefore CE = NF, \therefore CE+BF = NF+BF.$ 由两点之间线段最短可知, 当点 $B,F,N$ 共线, 即点 $F$ 与点 $M$ 重合时, $NF+BF$ 的值最小, 即 $CE+BF$ 的值最小, 此时 $AE = CM.$ 在 $△ ABM$ 和 $△ CNM$ 中,
$\begin{cases}∠A=∠MCN,\\∠AMB=∠CMN,\\AB=CN,\end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ CNM(AAS), \therefore AM = CM. \because AM+CM = AC = AB, \therefore AM = CM = \frac{1}{2}AB, \therefore AE = \frac{1}{2}AB, \therefore \frac{BE}{AB} = \frac{AB-AE}{AB} = \frac{\frac{1}{2}AB}{AB} = \frac{1}{2}$, 即当 $CE+BF$ 取得最小值时, $\frac{BE}{AB}$ 的值为 $\frac{1}{2}$, 故答案为 $\frac{1}{2}.$

5[较难]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=7\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,$CD$为$AB$边上的高,点$E$从点$B$出发,在直线$BC$上以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,过点$E$作$BC$的垂线交直线$CD$于点$F$,当点$E$运动s时,$CF=AB$.

5. 2 或 5 【解析】$\because ∠ACB = 90°, \therefore ∠A + ∠CBD = 90°. \because CD$ 为 $AB$ 边上的高, $\therefore ∠CDB = 90°, \therefore ∠BCD + ∠CBD = 90°, \therefore ∠A = ∠BCD. \because ∠BCD = ∠ECF, \therefore ∠ECF = ∠A. \because$ 过点 $E$ 作 $BC$ 的垂线交直线 $CD$ 于点 $F, \therefore ∠CEF = 90° = ∠ACB.$ 在 $△ CEF$ 和 $△ ACB$ 中,
$\because \begin{cases}∠ECF=∠A,\\∠CEF=∠ACB,\\CF=AB,\end{cases}$
$\therefore △ CEF≌△ ACB(AAS),$
$\therefore CE = AC = 7\ \mathrm{cm}.$ 如图, 分两种情况: ①当点 $E$ 在线段 $BC$ 的延长线上运动时, $BE = CE+BC = 7+3 = 10(\mathrm{cm}). \because$ 点 $E$ 从点 $B$ 出发, 在直线 $BC$ 上以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动, $\therefore E$ 运动了 $\frac{10}{2} = 5(\mathrm{s})$; ②当点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上运动时, $BE' = CE'-BC = 7-3 = 4(\mathrm{cm}), \therefore E$ 运动了 $\frac{4}{2} = 2(\mathrm{s}).$ 故答案为 2 或 5.

6 核心素养几何直观[2025江苏泰州调研,较难]小聪同学学了《全等三角形的判定》后,在已知条件不变的情况下,对一道练习题进行了拓展探究.
【原题呈现】如图(1),$AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC$.图中AE,BD有怎样的数量关系和位置关系?试证明你的结论.
(1)解决上述问题;
(2)如图(2),连接BE,若BC,EC分别平分$∠DBE,∠AEB$,求$∠BCE$的度数;
(3)如图(3),连接AD,BE,过点C作$CF⊥BE$于点F,延长FC交AD于点G,求证:点G是AD的中点.

6.(1)【解】$AE=BD, AE⊥ BD.$ 证明: 如图(1), 设 $AE, BD$ 相交于点 $P, AE, CD$ 相交于点 $K.$
$\because AC ⊥ BC, DC ⊥ EC, \therefore ∠ACB = ∠DCE = 90°,$
$\therefore ∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD$, 即 $∠BCD = ∠ACE.$ 在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中,
$\begin{cases}AC=BC,\\∠ACE=∠BCD,\\EC=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BCD(SAS),$
$\therefore AE = BD, ∠AEC = ∠BDC. \because ∠CKE = ∠PKD, \therefore ∠DPK = ∠DCE = 90°, \therefore AE ⊥ BD.$
(2)【解】$\because BC, EC$ 分别平分 $∠DBE, ∠AEB, \therefore ∠CBD = ∠CBE, ∠CEA = ∠CEB.$ 由(1)知 $△ ACE≌△ BCD, \therefore ∠CAE = ∠CBD, \therefore ∠CAE = ∠CBE.$ 又 $\because CE = CE, \therefore △ CAE≌△ CBE(AAS), \therefore ∠ACE = ∠BCE. \because ∠ACB = 90°, \therefore ∠BCE = ∠ACE = \frac{360°-90°}{2} = 135°.$
(3)【证明】如图(2), 过点 $D$ 作 $DH ⊥ FG$ 交 $FG$ 的延长线于点 $H$, 过点 $A$ 作 $AM ⊥ FG$ 于点 $M$, 则 $∠DHG = ∠AMG = ∠AMC = 90°. \because CF ⊥ BE, \therefore ∠CFE = ∠CFB = 90°, \therefore ∠FCE + ∠CEF = 90°. \because ∠DCE = 90°, \therefore ∠DCH + ∠FCE = 90°, \therefore ∠DCH = ∠CEF.$ 又 $\because ∠CHD = ∠CFE = 90°, DC = EC, \therefore △ CHD≌△ EFC(AAS), \therefore DH = CF.$ 同理可得 $△ AMC≌△ CFB, \therefore AM = CF, \therefore DH = AM. \because ∠DHG = ∠AMG = 90°, ∠DGH = ∠AGM, \therefore △ DGH≌△ AGM(AAS), \therefore DG = AG$, 即点 $G$ 是 $AD$ 的中点.