三、解答题(共45分)
11 AI DPSK原创
新考法 如图是一个长方体，长、宽、高如图中标注的数据，求$A'C$的长度。

11.【解】在 Rt△B'BC 中,B'C=√(12²+9²)=15,在 Rt△A'B'C 中,A'C=√(15²+8²)=17,故 A'C 的长度为 17.

12[2025江苏宿迁质检]如图，$△ ABC$是等边三角形，$AB = 2\ \mathrm{cm}$，求高$AD$的长和$△ ABC$的面积.

12.【解】
∵ △ABC 是等边三角形,AD 是△ABC 的高,AB=2 cm,
∴ BC=AB=2 cm,
∴ BD=1/2 BC=1 cm,
∴ AD=√(AB²−BD²)=√3 cm,
∴ △ABC 的面积=1/2 BC · AD=1/2×2×√3=√3 (cm²).

13 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$.
(1)若$P$为$BC$的中点,求证:$AB^2 - AP^2 = BP · CP$.
(2)若$P$为$BC$上的任意一点,(1)中的结论是否还成立?请说明理由.
(3)若$P$为$BC$延长线上一点,说明$AB$,$AP$,$BP$,$CP$之间的数量关系.

13. (1)【证明】如图(1)所示,连接 AP.
∵ AB=AC,P 是 BC 中点,
∴ AP ⊥ BC,BP=CP. 在 Rt△ABP 中,AB²=BP²+AP²,
∴ AB²−AP²=BP². 又
∵ BP=CP,
∴ BP · CP=BP²,
∴ AB²−AP²=BP · CP.
【解】(2)成立. 理由:如图(2)所示,连接 AP,作 AD ⊥ BC 交 BC 于 D.
∵ AB=AC,AD ⊥ BC,
∴ BD=CD. 在 Rt△ABD 中,AB²=AD²+BD². 同理,AP²=AD²+DP²,
∴ AB²−AP²=AD²+BD²−(AD²+DP²)=BD²−DP². 又
∵ BP=BD+DP,CP=CD−DP=BD−DP,
∴ BP · CP=(BD+DP)(BD−DP)=BD²−DP²,
∴ AB²−AP²=BP · CP.
(3)AP²−AB²=BP · CP. 如图(3),P 是 BC 延长线上任意一点,连接 AP,并作 AD ⊥ BC 交 BC 于 D.
∵ AB=AC,AD ⊥ BC,
∴ BD=CD. 在 Rt△ABD 中,AB²=AD²+BD²,在 Rt△ADP 中,AP²=AD²+DP²,
∴ AP²−AB²=(AD²+PD²)−(AD²+DB²)=PD²−BD². 又
∵ BP=BD+DP,CP=DP−CD=DP−BD,
∴ BP · CP=(BD+DP)(DP−BD)=DP²−BD²,
∴ AP²−AB²=BP · CP.
关键点拨
结合等腰三角形“三线合一”的性质和勾股定理即可得出结论.

14[2026江苏盐城期中]【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法,先阅读以下材料,然后解答后面的问题.
例:求代数式$\sqrt{x^2+3^2} + \sqrt{(12-x)^2+2^2}$的最小值.
分析:$\sqrt{x^2+3^2}$和$\sqrt{(12-x)^2+2^2}$可以看成是利用勾股定理求直角三角形的斜边长,$\sqrt{x^2+3^2}$是直角边长分别是$x$和3的直角三角形的斜边长,$\sqrt{(12-x)^2+2^2}$是直角边长分别是$12-x$和2的直角三角形的斜边长,因此,我们构造$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$,并使直角边$BC$和$EF$在同一直线上,且使点$B$和$E$重合(图(1)),这时$CF=x+12-x=12$,$AC=3$,$DF=2$,问题就变成点$B$在线段$CF$的何处时,$AB+DB$最短?连接$AD$,根据两点之间线段最短,得到线段$AD$的长就是$AB+DB$的最小值,即所求代数式的最小值.
【模型应用】
(1)代数式$\sqrt{x^2+3^2} + \sqrt{(12-x)^2+2^2}$的最小值为;
(2)变式训练:利用图(2),求代数式$\sqrt{x^2+4} + \sqrt{(5-x)^2+1}$的最小值;
【模型拓展】
(3)已知正数$x$满足$\sqrt{36-x^2} + \sqrt{64-x^2}=10$,求$x$的值.

14.【解】(1)由题图(1)得,AD=√((3+2)²+12²)=13,
∴ √(x²+3²)+√((12−x)²+2²) 的最小值是 13,故答案为 13.
(2)由题意知 AC=2,DF=1,CF=x+5−x=5,
∴ AH=2+1=3,HD=5,
∴ AD=√(3²+5²)=√34,
∴ √(x²+4)+√((5−x)²+1) 的最小值是 √34.
(3)构造 Rt△ABC,其中∠ACB=90°,CD ⊥ AB 于 D,AC=6,BC=8,如图所示,则 AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10.
∵ AB=AD+BD,
∴ √(AC²−CD²)+√(BC²−CD²)=√(36−CD²)+√(64−CD²)=10. 又
∵ √(36−x²)+√(64−x²)=10,x＞0,
∴ CD=x,
∴ 1/2×6×8=1/2×10×x,
∴ x=4.8.
关键点拨
(2)仿照题中材料将所求代数式的最小值转化为直角三角形的斜边长是解题关键.