7.(2025·连云港一模)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,直角边长是 2,若将此三角形绕直角顶点 C 顺时针旋转 $90°$,那么斜边 AB 扫过的面积为（）

A.$π$
B.$\displaystyle \frac{3}{2}π-2$
C.$2π$
D.$2π-2$

第7题图
第8题图
第9题图
第10题图

7.B

【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：
1. 先明确已知条件：这是直角边长为2的等腰直角三角形，直角顶点为C，绕C顺时针旋转90°，要求斜边AB扫过的面积。
2. 先计算基础参数：利用勾股定理算出斜边AB长度，再通过面积法求出直角顶点C到斜边AB的距离，为后续扇形面积计算做准备。
3. 拆分扫过区域：旋转过程中AB扫过的图形是不规则图形，我们可以把它拆成两部分：第一象限内AB外侧（远离点C）的区域，和第四象限内AB旋转经过的环形区域，分别计算两部分面积再相加即可。
4. 利用割补法，把每部分面积转化为规则的扇形、三角形面积的差，避免直接计算不规则图形的复杂运算。
【解析】
解：已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2：
1. 计算基础边长和高：
由勾股定理得斜边长度：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
设点C到斜边AB的距离为h，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· h$，代入数值解得：
$h=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{2×2}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
2. 拆分计算两部分扫过面积：
△ABC绕C顺时针旋转90°得到△A'B'C，斜边AB扫过的区域分为两部分：
① 第一象限部分：以C为圆心、AC为半径的90°扇形，减去△ABC的面积：
$S_1=\frac{90°}{360°}·π· AC^2 - S_{△ ABC}=\frac{1}{4}×π×2^2 - \frac{1}{2}×2×2=π-2$
② 第四象限部分：以C为圆心、CB为半径的90°扇形，减去以C为圆心、h为半径的90°小扇形的面积：
$S_2=\frac{90°}{360°}·π· CB^2 - \frac{90°}{360°}·π· h^2=\frac{1}{4}×π×2^2 - \frac{1}{4}×π×(\sqrt{2})^2=π-\frac{π}{2}=\frac{π}{2}$
3. 总面积求和：
$S=S_1+S_2=(π-2)+\frac{π}{2}=\frac{3}{2}π-2$
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，扇形面积计算，等腰直角三角形性质
【点评】
本题的核心难点是准确识别斜边扫过区域的边界组成，很多同学会误将扫过区域直接当成90°扇环得到错误结果π，通过割补法把不规则区域拆分为规则图形的组合，是解决这类动态扫过面积问题的通用技巧。
【难度系数】
0.4

8. 如图,在$5 × 3$的网格图中,每个小正方形的边长均为 1,设经过图中格点 A,C,B 的圆弧与 AE交于点 H,则$\overset{\frown}{AH}$的长为（）

A.$\dfrac{\sqrt{13}}{6}π$
B.$\dfrac{\sqrt{13}}{4}π$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{3}π$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}π$

8.B

【分析】
这道题要求圆弧$\overset{\frown}{AH}$的长度，我们知道弧长计算公式为$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$是弧对应的圆心角度数，$r$是圆弧所在圆的半径，因此解题思路分为三步：第一，借助网格建立平面直角坐标系，标注各点坐标，利用“不在同一直线的三点确定一个圆”，通过作线段垂直平分线的交点找到过A、C、B三点的圆弧的圆心，计算出半径$r$；第二，连接圆心与A、圆心与H，通过勾股定理逆定理或向量点积计算出圆心角的度数$n$；第三，将$n$和$r$代入弧长公式即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，通过作线段AB、BC的垂直平分线，得到过A、C、B三点的圆弧的圆心O，计算可得圆心O到A、B、C三点的距离相等，即该圆半径$r=\sqrt{13}$。
2. 结合直线AE的方程与圆的方程求出交点H，进一步计算可得弧$\overset{\frown}{AH}$对应的圆心角为$45°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AH}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{45×π×\sqrt{13}}{180}=\frac{\sqrt{13}}{4}π$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧长公式，三点确定圆，坐标与图形
【点评】
本题是网格背景下的弧长计算问题，核心难点是定位圆弧对应的圆心，需要学生掌握利用垂直平分线找外接圆圆心的方法，结合网格坐标运算得到半径和圆心角，综合考察了几何作图和公式应用能力。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$O$在边$AC$上,以点$O$为圆心,$4$为半径的圆恰好过点$C$,且与边$AB$相切于点$D$,交$BC$于点$E$,则劣弧$DE$的长是.(结果保留$π$)

9.$2π$

【分析】
要计算劣弧DE的长，首先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，已知圆O半径r=4，因此只需要求出劣弧DE对应的圆心角∠DOE的度数即可。解题思路如下：1. 连接辅助线OD、OE，利用切线的性质得到OD⊥AB；2. 结合AB=AC、OE=OC的等腰性质，推导同位角相等，得到OE//AB；3. 由平行线的垂直传递性，得到OD⊥OE，即∠DOE=90°；4. 代入弧长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵ 圆O与AB相切于点D，
∴ OD⊥AB，OD=4（圆的半径）。
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠ACB，
又
∵ OE=OC，都是圆O的半径，
∴ ∠OEC = ∠ACB，
∴ ∠B = ∠OEC，
∴ OE // AB（同位角相等，两直线平行）。
∵ OD⊥AB，OE//AB，
∴ OD⊥OE，即∠DOE=90°。
根据弧长公式，劣弧DE的长为：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{nπ r}{180}=\frac{90×π×4}{180}=2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
切线的性质，平行线判定，弧长公式
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心是通过等腰三角形性质和平行线判定推导出圆心角的度数，无需额外角度条件即可得到90°的圆心角，引导学生掌握遇到切线优先连接过切点半径的常规辅助线构造思路，难度适中。
【难度系数】
0.6

10.(2025·灌南县一模)如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=90^{ \circ }$,以$OA$为直径在扇形$OAB$内部作半圆,圆心为点$E$,$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接$OC$交半圆于点$D$.若$OA=2$,则阴影部分的面积为.

10.$\frac{π -2}{2}$

【分析】
这是一道不规则阴影面积求解的几何题，解题思路如下：1. 先梳理已知条件：扇形OAB圆心角为90°，OA=2，C是弧AB中点，可推出∠AOC=45°；2. 观察到OA是半圆的直径，优先想到直径所对的圆周角为直角，因此连接辅助线AD，得到∠ADO=90°，进而判定△ADO是等腰直角三角形；3. 不需要分别计算两块分散的阴影面积，通过割补转化可发现，阴影部分的总面积恰好等于圆心角为45°的扇形OAC的面积减去等腰直角三角形ADO的面积，大幅简化计算流程。
【解析】
解：连接AD，
∵ OA是半圆E的直径，
∴ ∠ADO=90°（直径所对的圆周角为直角），
∵ ∠AOB=90°，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 45°，
在Rt△ADO中，∠AOD=45°，OA=2，
∴ AD = OD = OA·sin45° = 2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\sqrt{2}$，
∴ $S_{△ ADO}$ = $\frac{1}{2}$ × OD × AD = $\frac{1}{2}$ × $\sqrt{2}$ × $\sqrt{2}$ = 1，
计算扇形OAC的面积：
$S_{扇形OAC}$ = $\frac{45°}{360°}$ × π × OA² = $\frac{1}{8}$ × π × 2² = $\frac{π}{2}$，
通过图形割补可得，阴影部分面积 = $S_{扇形OAC} - S_{△ ADO}$ = $\frac{π}{2} - 1$ = $\frac{π-2}{2}$。
【答案】
$\frac{π -2}{2}$
【知识点】
扇形面积计算，圆周角定理，割补法求面积
【点评】
本题核心考察不规则图形面积的转化能力，避免了分别计算两个分散阴影的复杂弓形运算，通过辅助线构造直角三角形，将分散的阴影面积整合为扇形与三角形的面积差，思路巧妙，对学生的几何转化思维有一定要求。
【难度系数】
0.4

11. 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=90°$,半径$OA=6$. 将扇形$OAB$沿过点$B$的直线折叠,点$O$恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上点$D$处,折痕交$OA$于点$C$,求整个阴影部分的周长和面积.

11. 解:如答图,连接 OD.
根据折叠的性质可知,$CD=CO$,$BD=BO$,$∠ DBC=∠ OBC$,
$\therefore OB=OD=BD$,即$△ OBD$是等边三角形,
$\therefore ∠ DBO=60^{\circ },\therefore ∠ CBO=\frac{1}{2}∠ DBO=30^{\circ }$.
$\because ∠ AOB=90^{\circ }$,
$\therefore OC=OB· \tan ∠ CBO=6× \frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ BDC}=S_{△ OBC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}× 6× 2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$,
$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90}{360}π × 6^{2}=9π$,$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{90}{180}π × 6=3π$,
$\therefore$ 整个阴影部分的周长为$AC+CD+BD+\overset{\frown}{AB}=AC+OC+OB+\overset{\frown}{AB}=OA+OB+\overset{\frown}{AB}=6+6+3π =12+3π$;
整个阴影部分的面积为$S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ BDC}-S_{△ OBC}=9π -6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π -12\sqrt{3}$.

【分析】
解题思路如下：①首先处理折叠条件，连接辅助线OD，利用折叠前后对应边相等的性质，结合扇形半径相等的特点，判定△OBD为等边三角形，得到对应角的度数，进而在Rt△OBC中求出OC的长度；②计算周长时，利用CD=CO、BD=OB的等线段替换，将分散的阴影部分边长转化为OA+OB加上弧AB的长度，简化计算，无需单独求各段线段长；③计算面积时采用整体减空白的思路，用扇形AOB的总面积减去折叠得到的两个全等直角三角形的面积，直接得到阴影部分总面积，避免拆分两块阴影分别计算的复杂操作。
【解析】
解：连接OD，
1. 由折叠的性质可得：$CD=CO$，$BD=BO$，$∠ DBC=∠ OBC$，
已知扇形OAB半径$OA=OB=OD=6$，因此$OB=OD=BD$，即$△ OBD$是等边三角形，
可得$∠ DBO=60°$，因此$∠ CBO=\frac{1}{2}∠ DBO=30°$。
2. 在$Rt△ OBC$中，$∠ AOB=90°$，$OB=6$，
因此$OC=OB·\tan∠ CBO=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，
可得$S_{△ BDC}=S_{△ OBC}=\frac{1}{2}· OB· OC=\frac{1}{2}×6×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
3. 计算扇形相关参数：
扇形OAB的面积$S_{\mathrm{扇形}AOB}=\frac{90°}{360°}π×6^2=9π$，
弧$\overset{\frown}{AB}$的长度$l_{\overset{\frown}{AB}}=\frac{90°}{180°}π×6=3π$。
4. 计算阴影部分周长：
阴影部分周长$=AC+CD+BD+\overset{\frown}{AB}$，代入$CD=CO$、$BD=OB$替换得：
$=AC+OC+OB+\overset{\frown}{AB}=OA+OB+\overset{\frown}{AB}=6+6+3π=12+3π$。
5. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积$=S_{\mathrm{扇形}AOB}-S_{△ BDC}-S_{△ OBC}=9π-6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=9π-12\sqrt{3}$。
【答案】
阴影部分周长为$12+3π$，面积为$9π-12\sqrt{3}$。

【知识点】
折叠的性质，扇形弧长计算，扇形面积计算
【点评】
本题核心是利用等线段替换和整体减空白的转化思想简化运算，避免拆分两块阴影分别计算的繁琐步骤，解题的突破口是通过折叠性质结合扇形半径相等，快速判定出等边三角形得到30°角，不少同学容易忽略等边三角形的判定条件，导致卡壳无法求出OC的长度。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$分别与$BC$,$AC$交于点$D$,$E$,过点$D$作$DF ⊥ AC$于点$F$,连接$AD$,$DE$.
(1)若$\odot O$的半径为$3$,$∠ CDF=15^{ \circ }$,求阴影部分的面积;
(2)求证:$DF$是$\odot O$的切线;
(3)求证:$∠ EDF= ∠ DAC$.

12. (1) 解:如答图,过点 O 作$OM⊥ AE$于点 M,连接 OE.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore AD⊥ BC,\therefore ∠ DAC+∠ C=90^{\circ }$.
$\because AB=AC,\therefore DB=DC,∠ DAB=∠ DAC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore ∠ CDF+∠ C=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ DAC=∠ CDF=15^{\circ },\therefore ∠ OAE=30^{\circ }$.
$\because OA=OE,\therefore ∠ AOE=120^{\circ }$.
$\because OM⊥ AE,\therefore OM=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2},AM=\frac{3}{2}\sqrt{3}$,
$\therefore AE=2AM=3\sqrt{3},\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAE}-S_{△ OAE}=\frac{120π × 3^{2}}{360}-\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}=3π -\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

(2) 证明:如答图,连接 OD.
$\because OA=OB,DB=DC,\therefore OD// AC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore ∠ DFC=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ ODF=∠ DFC=90^{\circ },\therefore DF⊥ OD$.
$\because OD$为$\odot O$的半径,$\therefore DF$是$\odot O$的切线.
(3) 证明:$\because ∠ DAB=∠ DAC,\therefore DB=DE$.
$\because DB=DC,\therefore DE=DC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore ∠ EDF=∠ CDF$.
$\because ∠ CDF=∠ DAC,\therefore ∠ EDF=∠ DAC$.

【分析】
我们分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问求阴影面积：首先AB是圆O直径，根据直径所对圆周角为直角，可得AD⊥BC，结合AB=AC的等腰条件，AD同时是BC中线和∠BAC的角平分线。已知DF⊥AC，∠CDF=15°，可推出∠DAC=15°，进而得到∠BAC=30°。连接OE，由OA=OE可得圆心角∠AOE=120°，阴影部分面积用割补法，转化为扇形OAE的面积减去△OAE的面积即可计算。
2. 第(2)问证明DF是切线：切线判定的常规思路是“连半径，证垂直”，连接OD，由O是AB中点、D是BC中点，可得OD是△ABC的中位线，OD平行于AC，结合DF⊥AC，可推出DF⊥OD，OD是半径即可得证。
3. 第(3)问证明角相等：先由∠DAB=∠DAC，得到对应的弦BD=DE，结合等腰△ABC中BD=DC，可得DE=DC，即△DEC是等腰三角形，DF⊥AC，由三线合一得DF平分∠EDC，即∠EDF=∠CDF，再结合之前推导的∠CDF=∠DAC，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：过点 O 作$OM⊥ AE$于点 M，连接 OE。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore AD⊥ BC$，可得$∠ DAC+∠ C=90^{\circ }$。
$\because AB=AC$，等腰三角形三线合一，$\therefore DB=DC$，$∠ DAB=∠ DAC$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore ∠ CDF+∠ C=90^{\circ }$，
因此$∠ DAC=∠ CDF=15^{\circ }$，可得$∠ BAC=2∠ DAC=30^{\circ }$，即$∠ OAE=30^{\circ }$。
$\because OA=OE$，等腰△OAE中，$∠ OEA=∠ OAE=30^{\circ }$，因此$∠ AOE=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$。
$\because OM⊥ AE$，在Rt△OAM中，$OM=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2}$，由勾股定理得$AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore AE=2AM=3\sqrt{3}$，
阴影部分面积为扇形OAE减去△OAE的面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAE}-S_{△ OAE}=\frac{120π × 3^{2}}{360}-\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}=3π -\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
(2) 证明：连接 OD。
$\because OA=OB$，$DB=DC$，$\therefore OD$是△ABC的中位线，可得$OD// AC$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore ∠ DFC=90^{\circ }$，因此$∠ ODF=∠ DFC=90^{\circ }$，即$DF⊥ OD$。
又$\because OD$为$\odot O$的半径，$\therefore DF$是$\odot O$的切线。
(3) 证明：$\because ∠ DAB=∠ DAC$，在同圆中相等的圆周角对应的弦相等，$\therefore DB=DE$。
又$\because DB=DC$，$\therefore DE=DC$，即△DEC为等腰三角形。
$\because DF⊥ AC$，等腰三角形三线合一，$\therefore DF$平分$∠ EDC$，即$∠ EDF=∠ CDF$。
由之前推导可知$∠ CDF=∠ DAC$，因此$∠ EDF=∠ DAC$。
【答案】
12. (1) 解:如答图,过点 O 作$OM⊥ AE$于点 M,连接 OE.
$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore AD⊥ BC,\therefore ∠ DAC+∠ C=90^{\circ }$.
$\because AB=AC,\therefore DB=DC,∠ DAB=∠ DAC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore ∠ CDF+∠ C=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ DAC=∠ CDF=15^{\circ },\therefore ∠ OAE=30^{\circ }$.
$\because OA=OE,\therefore ∠ AOE=120^{\circ }$.
$\because OM⊥ AE,\therefore OM=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2},AM=\frac{3}{2}\sqrt{3}$,
$\therefore AE=2AM=3\sqrt{3},\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAE}-S_{△ OAE}=\frac{120π × 3^{2}}{360}-\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}=3π -\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

(2) 证明:如答图,连接 OD.
$\because OA=OB,DB=DC,\therefore OD// AC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore ∠ DFC=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ ODF=∠ DFC=90^{\circ },\therefore DF⊥ OD$.
$\because OD$为$\odot O$的半径,$\therefore DF$是$\odot O$的切线.
(3) 证明:$\because ∠ DAB=∠ DAC,\therefore DB=DE$.
$\because DB=DC,\therefore DE=DC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore ∠ EDF=∠ CDF$.
$\because ∠ CDF=∠ DAC,\therefore ∠ EDF=∠ DAC$.
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，扇形面积计算
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的综合基础题，覆盖了圆的核心基础考点，切线证明采用常规的“连半径证垂直”思路，阴影面积用割补法转化为规则图形的面积差，角相等的推导结合了等腰三角形三线合一和圆周角的性质，整体逻辑连贯，能有效考察学生对圆基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6