6. 如图,在等边三角形$ABC$中,以点$A$为坐标原点,$AB$边所在的直线为$x$轴建立平面直角坐标系.若点$B$的坐标为$(2,0)$,求点$C$的坐标.

如图,过点C作CD⊥x轴于点D,则CD是等边三角形ABC的垂直平分线,则AD=BD,∠ADC=90°.
∵A(0,0),B(2,0),
∴AB=2,
∴AC=AB=2,
AD=1.
在Rt△ACD中,由勾股定理,得
AD²+CD²=AC².
∴CD=√(AC²-AD²)=√(2²-1²)=√3.
∴点C的坐标为(1,√3).

7. 如图,已知点 A 和点 B 的坐标分别为$(1,3)$和$(1,-1)$,在线段 AB 上存在一点 E,若 OE 把$△ AOB$的面积分成$1:2$的两部分,求点 E 的坐标.

设AB交x轴于点C.
∵A(1,3),B(1,-1),
∴AB=4.
∵△AOE与△BOE同高,
∴S△AOE:S△BOE=AE:BE.
∵OE把△AOB的面积分成1:2的两部分,
∴S△AOE:S△BOE=1:2或2:1.
当S△AOE:S△BOE=1:2时,AE:BE=1:2,
∴AE=1/3 AB=4/3,EC=3-4/3=5/3,
即点E的坐标为(1,5/3);
当S△AOE:S△BOE=2:1时,AE:BE=2:1,
∴AE=2/3 AB=8/3,EC=3-8/3=1/3,
即点E的坐标为(1,1/3).
综上所述,点E的坐标为(1,5/3)或(1,1/3).

8. 分类讨论思想 如图，$A(-1,0)$，$C(1,4)$，点 $B$ 在$x$ 轴上，且 $AB=3$.
(1)求点 $B$ 的坐标；
(2)求$△ ABC$的面积；
(3)在 $y$ 轴上是否存在点 $P$，使以 $A,B,P$ 三点为顶点的三角形的面积为 10？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

精题详解

(1)当点B在点A的右边时,-1+3=2;
当点B在点A的左边时,-1-3=-4,
所以点B的坐标为(2,0)或(-4,0).
(2)S△ABC=1/2 ×3×4=6.
(3)存在.理由如下:
设点P到x轴的距离为h,
则1/2 ×3h=10,解得h=20/3.
故点P的坐标为(0,20/3)或(0,-20/3).

9. (2024·贵州中考)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团. 小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为$(-2,0)$，$(0,0)$，则“技”所在的象限为().


A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

A [解析]如图,建立平面直角坐标系,则“技”在第一象限.故选A.