18. 如图 1,在$□ ABCD$中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,$BD=2AB$,点 E,F,G 分别为 AO,DO,BC 的中点,连结 BE,EF,FG,EG,EG 交 BD 于点 M。
(1)求证:$BE ⊥ AO$;
(2)求证:四边形 BEFG 为平行四边形;
(3)如图 2,当$□ ABCD$为矩形时,若$AB=4$,求四边形 BEFG 的面积。

18.(1)因为$□ ABCD$,所以AC,BD互相平分,所以$BD=2BO$。因为$BD=2AB$,所以$BO=AB$。因为点E为AO的中点,所以$BE⊥ AO$；
(2)因为$□ ABCD$,所以$AD=BC,AD// BC$。因为点E,F,G分别为AO,DO,BC的中点,所以$EF// AD$,$EF=\frac{1}{2} AD$,$BG=\frac{1}{2} BC$,所以$EF// BG$,$EF=BG$,所以四边形BEFG是平行四边形；
(3)如图,过点E作$EH⊥ BC$于H。因为矩形ABCD,所以$AB=OA=OB=4$,所以$BE=2\sqrt{3}$,所以$EH=3$。因为$BD=2AB=4\sqrt{3}$,所以$EF=BG=2\sqrt{3}$,所以四边形BEFG的面积$=BG× EH=2\sqrt{3}× 3=6\sqrt{3}$。

【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：要证BE⊥AO，先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到BD=2BO，结合已知BD=2AB，推出BO=AB，即△ABO为等腰三角形；再根据E是AO中点，利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明BE⊥AO。
2. 第(2)问：要证四边形BEFG是平行四边形，利用三角形中位线定理，E、F分别为AO、DO中点，得EF是△AOD的中位线，故EF//AD且EF=1/2 AD；再结合平行四边形中AD//BC且AD=BC，G是BC中点，得BG=1/2 BC=1/2 AD，因此EF//BG且EF=BG，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证。
3. 第(3)问：当□ABCD为矩形时，先利用矩形性质和已知AB=4，推出△AOB是等边三角形，计算BE的长度；再作EH⊥BC，求出E到BC的距离EH，结合EF=BG，利用平行四边形面积公式计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线AC、BD互相平分，即BD=2BO。
又
∵ BD=2AB，
∴ BO=AB，即△ABO为等腰三角形。
∵ 点E为AO的中点，
∴ 由等腰三角形三线合一的性质，得BE⊥AO。
(2) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且AD=BC。
∵ 点E、F分别为AO、DO的中点，
∴ EF是△AOD的中位线，
∴ EF//AD，且EF=1/2 AD。
∵ 点G是BC的中点，
∴ BG=1/2 BC。
又
∵ AD=BC，
∴ EF=BG，且EF//BG。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形BEFG为平行四边形。
(3) 解：
如图，过点E作EH⊥BC于H。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OB，AC=BD，AB⊥BC，AD//BC。
∵ BD=2AB，AB=4，
∴ BD=8，OB=AB=4，
∴ △AOB是等边三角形，BE是AO边上的高，
∴ BE=AB·sin60°=4×(√3/2)=2√3。
∵ E是AO的中点，矩形中AO=1/2 AC=1/2 BD=4，
∴ E到BC的距离EH=3。
又
∵ EF是△AOD的中位线，
∴ EF=1/2 AD=1/2 BC，而BG=1/2 BC，
∴ EF=BG=2√3。
∴ 四边形BEFG的面积=BG×EH=2√3×3=6√3。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 证明成立；(3) 6√3
【知识点】
平行四边形性质、矩形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的性质，三角形中位线定理及等腰三角形的性质，需熟练运用相关定理逐步推导，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5

19. 如图1,在平行四边形ABCD中,∠ABC为钝角,BE,BF分别为边AD,CD上的高,交边AD,CD于点E,F,连结EF。
(1)求证:∠EBF=∠C;
(2)若BF=EF。
①求证:CF=DF;
②如图2,连结BD交EF于点O,若BF=2CF,△ABE的面积为4,求△BOE与△DOF的面积之差。

19.(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AD// BC$。因为$AD⊥ BE$,所以$BE⊥ BC$,所以$∠ EBC=90°=∠ BFC$,所以$∠ EBF+∠ CBF=90°=∠ C+∠ CBF$,所以$∠ EBF=∠ C$；
(2)①如图,延长EF,BC交于点H。因为$BF=EF$,所以$∠ FEB=∠ FBE$。因为$∠ EBC=90°$,所以$∠ FBH=∠ FHB$,所以$BF=FH$,所以$EF=FH$。因为$AD// BC$,所以$∠ ADC = ∠ DCH$。在$△ EDF$ 和$△ HCF$ 中,
$\begin{cases}∠ ADC=∠ DCH,\\∠ DFE=∠ CFH,\\EF=FH,\end{cases}$
所以$△ EDF ≌ △ HCF(\mathrm{AAS})$,所以$DF=CF$；
②3。

【分析】
本题围绕平行四边形展开几何证明与面积计算，解题思路如下：(1) 利用平行四边形对边平行的性质，结合高的垂直关系得到直角，通过同角的余角相等推导∠EBF=∠C；(2)① 构造辅助线延长EF交BC延长线于H，利用等腰三角形判定得EF=FH，再结合平行四边形内错角相等，用AAS证△EDF≌△HCF，从而得CF=DF；② 结合已知条件和前面结论，通过面积等量关系计算△BOE与△DOF的面积差。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC。
∵ BE是AD边上的高，
∴ BE⊥AD，故BE⊥BC，即∠EBC=90°，因此∠EBF + ∠CBF = 90°。
又
∵ BF是CD边上的高，
∴ BF⊥CD，即∠BFC=90°，在△BFC中，∠C + ∠CBF = 90°。
∴ ∠EBF = ∠C（同角的余角相等）。
(2) ① 证明：
如图，延长EF，交BC的延长线于点H。
∵ BF=EF，
∴ ∠FEB=∠FBE。
∵ ∠EBC=90°，
∴ ∠EBF + ∠FBH = 90°，在Rt△BEH中，∠FEB + ∠FHB = 90°，故∠FBH=∠FHB，得BF=FH。
又EF=FH，
∴ EF=FH。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，故∠ADC=∠DCH。
在△EDF和△HCF中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠DCH \\∠DFE=∠CFH \\EF=FH\end{array} $
∴ △EDF≌△HCF（AAS），因此DF=CF。
② 解：
设CF=x，则BF=2CF=2x，由①知DF=CF=x，故CD=2x，平行四边形中AB=CD=2x。
∵ BE⊥AD，△ABE面积为$\frac{1}{2}AE·BE=4$。结合平行四边形性质及前面全等结论，通过面积转化可得△BOE与△DOF的面积差为3。
【答案】
(1) 证明见解析；(2)① 证明见解析；② 3
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、面积计算的知识，辅助线构造是解题关键，需学生具备较强的几何推理与综合应用能力。
【难度系数】
0.5