11 (易错题)(2024 扬州宝应期中)如图,在$\odot O$中,点 A,B,C 在圆上,且弧 AB 的长等于弧 AC长的 2 倍,则下列结论中正确的是 ( )
A. $AB=2AC$
B. $AB＞2AC$
C. $AB＜2AC$
D. 以上结论都不对

(第11题)

(第12题)

(第13题)

(第14题)

C

12 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D为半圆的三等分点，$CE⊥ AB$于点E，则$∠ ACE$的度数为 （ ）
A. $30°$
B. $40°$
C. $50°$
D. $60°$

A

13 如图,已知 C 是$\odot O$的直径 AB 上的一点,过点 C 作弦 DE,使$CD=CO$.若$\overset{\frown}{AD}$的度数为$35°$,则$\overset{\frown}{BE}$的度数是______.

$105^{\circ}$

14 如图,在扇形$OAB$中,$∠ AOB=110°$,将扇形$OAB$沿过点$B$的直线折叠,点$O$恰好落在弧$AB$上的点$D$处,折痕交$OA$于点$C$,则$\overset{\frown}{AD}$的度数为______.

$50^{\circ}$

15 如图,以平行四边形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作$\odot A$,分别交BC,AD于点E,F,交BA的延长线于点G,连接GE.
(1) 求证:$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FG}$;
(2) 若$\overset{\frown}{EFG}$的度数为$140°$,求$∠ EGB$的度数.

​$ (1)$​证明：连接​$AE$​∵四边形​$ABCD$​是平行四边形∴​$AD// BC，$​∴​$∠EAF=∠AEB，$​​$∠G AF=∠B$​∵​$AE = AB，$​∴​$∠B=∠AEB$​∴​$∠EAF=∠G AF，$​∴​$\widehat {EF}=\widehat {FG}$​​$ (2)$​解：∵​$\widehat {EFG}$​的度数为​$140°$​∴​$∠EAG = 140°$​∵​$AE = AG，$​∴​$∠EG B = 20°$​ ;

16 (1) 如图1,在$\odot O$中,$∠ AOB=90°$,且$C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$AB$分别交$OC,OD$于点$E,F$.
求证:$AE=BF=CD$;
(2) 在(1)中,如果$∠ AOB=120°$,其他条件不变,如图2所示,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

​$ (1)$​证明：如图​$1，$​连接​$AC，$​​$BD$​∵​$C，$​​$D$​是​$\widehat {AB}$​的三等分点∴​$\widehat {AC}=\widehat {CD}=\widehat {BD}$​∴​$AC = CD = BD$​∵​$∠AOB = 90°，$​∴​$∠AOC=∠COD=∠BOD = 30°$​∵​$OA = OB，$​∴​$∠OAB=∠OBA = 45°$​∴​$∠AEC=∠AOC+∠OAB = 75°$​∵​$OA = OC，$​​$∠AOC = 30°$​∴​$∠ACE=\frac 12×(180°-30°) = 75°=∠AEC$​∴​$AE = AC$​同理可得​$BF = BD$​∴​$AE = BF = CD$​​$ (2)$​解：成立，理由如下：如图​$2，$​连接​$AC，$​​$BD$​∵​$C，$​​$D$​是​$\widehat {AB}$​的三等分点∴​$\widehat {AC}=\widehat {CD}=\widehat {BD}$​∴​$AC = CD = BD$​∵​$∠AOB = 120°，$​∴​$∠AOC=∠COD=∠BOD = 40°$​∵​$OA = OB，$​∴​$∠OAB=∠OBA = 30°$​∴​$∠AEC=∠AOC+∠OAB = 70°$​∵​$OA = OC，$​​$∠AOC = 40°$​∴​$∠ACE=\frac 12×(180°-40°) = 70°=∠AEC$​∴​$AE = AC$​同理可得​$BF = BD$​∴​$AE = BF = CD$​ ;