11. 跨 物理 光的折射 「2025 山东滨州期中，★☆」如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射. 在图中，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 相交于水面上的点 $ F $ 处，一束光线沿 $ CD $ 斜射向水面，在点 $ F $ 处发生折射，沿 $ FE $ 方向射入水中. 如果 $ ∠ 1 = 42° $，$ ∠ 2 = 29° $，那么光的传播方向改变了 ()

A.$ 42° $
B.$ 29° $
C.$ 21° $
D.$ 13° $

11.D　因为∠1 = 42°，∠1与∠BFD是对顶角，所以∠BFD = ∠1 = 42°.因为∠2 = 29°，所以∠DFE = ∠DFB - ∠2 = 42° - 29° = 13°，所以光的传播方向改变了13°，故选D.

12. 「2025 河北衡水桃城期中，★☆」如图，点 $ O $ 在直线 $ AB $ 上，$ ∠ AOD = 22.5° $，$ ∠ BOC = 45° $，$ OE $ 平分 $ ∠ BOC $，则 $ ∠ EOC $ 的补角是 ()

A.$ ∠ AOC $
B.$ ∠ AOE $ 和 $ ∠ DOB $
C.$ ∠ AOE $ 和 $ ∠ DOB $ 和 $ ∠ AOC + ∠ DOE $
D.以上都不对

12.B　因为∠BOC = 45°，OE平分∠BOC，所以∠BOE = ∠COE = $\frac{1}{2}$ ∠BOC = 22.5°.因为∠AOD = 22.5°，所以∠BOE = ∠COE = ∠AOD.因为∠AOD + ∠BOD = 180° = ∠BOE + ∠AOE，所以∠EOC + ∠BOD = 180° = ∠EOC + ∠AOE，所以∠EOC的补角为∠AOE和∠DOB.故选B.

13. 「2025 重庆北碚期末，★☆」如图，点 $ A $，$ O $，$ B $ 在同一条直线上，$ ∠ COD = \frac{1}{3} ∠ AOC $，$ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，若 $ ∠ COD = 10° $，则 $ ∠ COE $ 的度数为 ()

A.$ 80° $
B.$ 70° $
C.$ 60° $
D.$ 50° $

13.A　因为∠COD = $\frac{1}{3}$ ∠AOC，∠COD = 10°，所以∠AOC = 3∠COD = 30°.所以∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 140°.因为OE平分∠BOD，所以∠DOE = $\frac{1}{2}$ ∠BOD = 70°，所以∠COE = ∠COD + ∠DOE = 80°.故选A.

14. 「2025 河南南阳期末，★☆」如图，已知直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，$ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，$ OF $ 平分 $ ∠ BOC $，$ ∠ BOE = 36° $，有下列结论：① $ ∠ AOC = 72° $；② $ ∠ EOF = 90° $；③ $ ∠ AOD = 2 ∠ COF $；④ $ ∠ AOD = 3 ∠ BOE $. 其中正确的个数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

14.D　因为OE平分∠BOD，∠BOE = 36°，所以∠DOB = 2∠BOE = 36° × 2 = 72°，所以∠AOC = ∠BOD = 72°，故①正确；因为∠AOC = 72°，所以∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 72° = 108°，因为OF平分∠BOC，所以∠BOF = ∠COF = 108° ÷ 2 = 54°，所以∠EOF = ∠BOE + ∠BOF = 36° + 54° = 90°，故②正确；因为∠AOD = ∠BOC，∠BOF = ∠COF，所以∠AOD = 2∠COF，故③正确；因为∠AOD = ∠BOC = 108°，∠BOE = 36°，所以∠AOD = 3∠BOE，故④正确.综上所述，正确的结论有4个.

15. 学科 易错题 特色 「2025 重庆南开中学开学测试，★☆」如图，已知 $ O $ 为直线 $ AC $ 上一点，以 $ O $ 为起点作射线 $ OB $，$ OD $，满足 $ ∠ AOB = 2 ∠ BOC $，且 $ ∠ BOD = \frac{2}{3} ∠ AOB $，则 $ ∠ AOD = $.

15.答案　40°或160°
解析　因为∠AOB = 2∠BOC，∠AOB + ∠BOC = 180°，所以∠AOB = $\frac{2}{3}$ × 180° = 120°，∠BOC = $\frac{1}{3}$ × 180° = 60°，所以∠BOD = $\frac{2}{3}$ ∠AOB = 80°.
如图1，当点D在AC上方时，∠AOD = ∠AOB - ∠BOD = 40°；

如图2，当点D在AC下方时，∠AOD = 360° - ∠AOB - ∠BOD = 160°.
综上所述，∠AOD = 40°或160°.
易错警示　本题容易忽略OD在AC下方的情况，导致漏解.

16. 学科 分类讨 特色 论思想 「2025 山西吕梁月考，★☆」如图，直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，三角尺 $ EOF $ 的直角顶点与点 $ O $ 重合，回答下列问题：
(1) 如图，若 $ OE $ 平分 $ ∠ AOC $，判断 $ OF $ 是否平分 $ ∠ AOD $，请说明理由.
(2) 绕点 $ O $ 转动三角尺，在三角尺转动的过程中，若 $ ∠ AOC : ∠ BOC = 2 : 3 $，且 $ ∠ DOF = 50° $，求 $ ∠ AOE $ 的度数.

16.解析　(1)OF平分∠AOD.理由如下：因为∠EOF = 90°，所以∠AOE + ∠AOF = 90°，∠COE + ∠DOF = 180° - ∠EOF = 90°，所以∠AOE + ∠AOF = ∠COE + ∠DOF，因为OE平分∠AOC，所以∠AOE = ∠COE.所以∠AOF = ∠DOF，所以OF平分∠AOD.
(2)因为∠AOC + ∠BOC = 180°，且∠AOC : ∠BOC = 2 : 3，所以∠AOC = 180° × $\frac{2}{5}$ = 72°，∠BOC = 180° × $\frac{3}{5}$ = 108°.因为∠BOD = ∠AOC，∠AOD = ∠BOC，所以∠BOD = 72°，∠AOD = 108°.
分两种情况：①当OF在CD左侧时，因为∠DOF = 50°，所以∠AOF = ∠AOD - ∠DOF = 108° - 50° = 58°.因为∠AOF + ∠AOE = ∠EOF = 90°，所以∠AOE = ∠EOF - ∠AOF = 90° - 58° = 32°；
②如图，当OF在CD右侧时，

因为∠DOF + ∠EOD = ∠EOF = 90°，∠DOF = 50°，所以∠EOD = ∠EOF - ∠DOF = 40°.因为∠AOD = 108°，所以∠AOE = ∠AOD - ∠EOD = 108° - 40° = 68°.
综上所述，∠AOE的度数为32°或68°.

17. 新课标 几何直观 「2025 山东日照五莲期中」如图，直线 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 两两相交，图中共有对顶角 ()


A.9 对
B.10 对
C.11 对
D.12 对

17.D　直线a，b相交有两对对顶角，直线d，b相交有两对对顶角，直线b，c相交有两对对顶角，直线a，c，d相交有六对对顶角，所以题图中的对顶角有2 + 2 + 2 + 6 = 12（对），故选D.