4 [2026 金华东阳段测]抛物线$y=x^2+4x+4$与x轴的交点个数为 （）

A.0
B.1
C.2
D.3

B

5 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a ≠ 0 $，且 $ a,b,c $ 为常数）的开口向下，且经过点 $ A(1,0) $，$ B(m,0) $（$ -2 ＜ m ＜ -1 $）。有下列结论：
① $ 2b + c ＞ 0 $；② $ 2a + c ＜ 0 $；③ $ a(m+1) - b + c ＞ 0 $；④ 若关于 $ x $ 的方程 $ a(x - m)(x - 1) - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ 4ac - b^2 ＜ 4a $。其中，正确的个数是（）

A.4
B.3
C.2
D.1

A 解析:因为抛物线的开口向下，所以$a＜0$。根据题意，得$a+b+c=0$，所以$b=-a-c$。因为抛物线经过点$A(1,0)$，$B(m,0)(-2＜m＜-1)$，所以易得当$x=-2$时，$4a-2b+c＜0$。所以$4a-2(-a-c)+c＜0$。所以$2a+c＜0$。故②正确。由$2a+c＜0$，得$-2a-c＞0$，所以$2(-a-c)+c＞0$。所以$2b+c＞0$。故①正确。由$a(m+1)-b+c＞0$，得$a-b+c＞-am$。因为易得当$x=-1$时，$a-b+c＞0$，且$a＜0$，$m＜0$，所以$-am＜0＜a-b+c$。所以$a(m+1)-b+c＞0$。故③正确。若关于$x$的方程$a(x-m)(x-1)-1=0$有两个不相等的实数根，即关于$x$的方程$a(x-m)(x-1)=1$有两个不相等的实数根，所以易得抛物线顶点的纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}＞1$。所以$4ac-b^2＜4a$。故④正确。综上所述，正确的个数是4。

6 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量$y$(个)与销售价格$x$(元/个)之（第6题）
间的函数关系如图所示，当$10≤ x≤20$时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元。

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7 某景区销售一种新上市的纪念品，进价为20元/件.试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.设这种纪念品的销售单价为x元，每天所得的销售利润为y元.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求销售单价为多少元时，该纪念品每天的销售利润最大；
（3）若要求每天销售量不少于10件，且每件的销售利润至少为25元，则该纪念品每天的最大销售利润是多少？

(1) $y=(x-20)[250-10(x-25)]=-10x^2+700x-10000$
(2) $y=-10x^2+700x-10000=-10(x-35)^2+2250$。因为$x-20≥0$，$250-10(x-25)≥0$，所以$20≤x≤50$。又因为$-10＜0$，所以当$x=35$时，$y$取得最大值，为2250。所以当销售单价为35元时，该纪念品每天的销售利润最大
(3) 因为$250-10(x-25)≥10$，$x-20≥25$，所以$45≤x≤49$。因为二次函数$y=-10(x-35)^2+2250$的图象开口向下，对称轴为直线$x=35$，所以当$45≤x≤49$时，$y$随$x$的增大而减小。所以当$x=45$时，$y$取得最大值，为1250。所以该纪念品每天的最大销售利润是1250元