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1.给定一列按规律排列的数：1，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{9}$，…，它的第10个数是（）.
A.$\frac{1}{15}$
B.$\frac{1}{17}$
C.$\frac{1}{19}$
D.$\frac{1}{21}$
A.$\frac{1}{15}$
B.$\frac{1}{17}$
C.$\frac{1}{19}$
D.$\frac{1}{21}$
答案
C
解析
【分析】
解决这道找规律的题目，我们可以分两步观察数列特征：第一步先看分子，发现所有数的分子都是1，所以只需要分析分母的规律；第二步看分母，依次是1、3、5、7、9，都是连续的奇数，我们把分母和项数对应起来看：第1项的分母是1=2×1-1，第2项的分母是3=2×2-1，第3项的分母是5=2×3-1，以此类推，就能得到第n项的分母是2n-1，再代入n=10就能算出第10个数的分母，进而得到答案。
【解析】
解：观察这列数的特征：
1. 所有数的分子均为1；
2. 分母依次为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，且第n项的分母为2n-1；
因此这列数的第n个数可表示为$\frac{1}{2n-1}$。
当n=10时，分母=2×10 - 1 = 19，即第10个数是$\frac{1}{19}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究；代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类的基础题型，解题核心是分别观察分子、分母与项数的对应关系，归纳出通用的表达式，再代入对应项数计算即可，是培养观察归纳能力的典型习题。
【难度系数】
0.8
解决这道找规律的题目，我们可以分两步观察数列特征：第一步先看分子，发现所有数的分子都是1，所以只需要分析分母的规律；第二步看分母，依次是1、3、5、7、9，都是连续的奇数，我们把分母和项数对应起来看：第1项的分母是1=2×1-1，第2项的分母是3=2×2-1，第3项的分母是5=2×3-1，以此类推，就能得到第n项的分母是2n-1，再代入n=10就能算出第10个数的分母，进而得到答案。
【解析】
解：观察这列数的特征：
1. 所有数的分子均为1；
2. 分母依次为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，且第n项的分母为2n-1；
因此这列数的第n个数可表示为$\frac{1}{2n-1}$。
当n=10时，分母=2×10 - 1 = 19，即第10个数是$\frac{1}{19}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究；代数式表示规律
【点评】
本题属于规律探究类的基础题型，解题核心是分别观察分子、分母与项数的对应关系，归纳出通用的表达式，再代入对应项数计算即可，是培养观察归纳能力的典型习题。
【难度系数】
0.8
2.把黑色棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗棋子，第②个图案中有3颗棋子，第③个图案中有6颗棋子……按此规律排列下去，则第⑥个图案中棋子的颗数为().
A.19
B.21
C.23
D.25
A.19
B.21
C.23
D.25
答案
B
解析
【分析】解决本题首先要观察给出的图案，对比图案序号和对应棋子数的关系：第①个图案对应序号1，棋子数是1；第②个图案对应序号2，棋子数是1+2=3；第③个图案对应序号3，棋子数是1+2+3=6；第④个图案对应序号4，棋子数是1+2+3+4=10。由此可归纳出规律：第n个图案的棋子数等于从1到n的所有正整数的和，将n=6代入计算即可得到答案。
【解析】
第一步：梳理前4个图案的棋子数，寻找规律：
第①个图案：棋子数为$1$；
第②个图案：棋子数为$1+2=3$；
第③个图案：棋子数为$1+2+3=6$；
第④个图案：棋子数为$1+2+3+4=10$；
第二步：总结规律：第$n$个图案的棋子数为$1+2+3+\dots+n$。
第三步：计算第⑥个图案的棋子数，即$n=6$时的和：
$1+2+3+4+5+6=21$。
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】图形规律探究，有理数加法
【点评】本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知图形的数量特征，归纳出数量与图形序号的对应关系，再代入计算即可，侧重考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：梳理前4个图案的棋子数，寻找规律：
第①个图案：棋子数为$1$；
第②个图案：棋子数为$1+2=3$；
第③个图案：棋子数为$1+2+3=6$；
第④个图案：棋子数为$1+2+3+4=10$；
第二步：总结规律：第$n$个图案的棋子数为$1+2+3+\dots+n$。
第三步：计算第⑥个图案的棋子数，即$n=6$时的和：
$1+2+3+4+5+6=21$。
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】图形规律探究，有理数加法
【点评】本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知图形的数量特征，归纳出数量与图形序号的对应关系，再代入计算即可，侧重考查学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】0.7
3.有一种密码，将英文26个字母$a,b,c,···,z$（不论大小写）依次对应$1,2,3,···,26$，这26个自然数（见表），当明文对应的序号$x$为奇数时，密文对应的序号为$\frac{|x-25|}{2}$，当明文对应的序号$x$为偶数时，密文对应的序号为$\frac{x}{2}+3$。按上述规定，将明文“agfo”译成密文是（）。
A.like
B.life
C.look
D.love
A.like
B.life
C.look
D.love
答案
B
解析
【分析】
解题时按清晰的步骤思考即可：第一步，先把明文的每个字母对照表格找到对应的序号x；第二步，判断x是奇数还是偶数，选择对应密文序号的计算公式；第三步，代入公式计算得到密文的序号，再对照表格转换为字母；第四步，把得到的字母拼接就是最终密文。
【解析】
我们逐个翻译明文“agfo”的每个字母：
1. 字母a：对应序号$x=1$，是奇数，代入公式$\frac{|x-25|}{2}$，得$\frac{|1-25|}{2}=\frac{24}{2}=12$，序号12对应字母$l$；
2. 字母g：对应序号$x=7$，是奇数，代入公式$\frac{|x-25|}{2}$，得$\frac{|7-25|}{2}=\frac{18}{2}=9$，序号9对应字母$i$；
3. 字母f：对应序号$x=6$，是偶数，代入公式$\frac{x}{2}+3$，得$\frac{6}{2}+3=3+3=6$，序号6对应字母$f$；
4. 字母o：对应序号$x=15$，是奇数，代入公式$\frac{|x-25|}{2}$，得$\frac{|15-25|}{2}=\frac{10}{2}=5$，序号5对应字母$e$。
将得到的字母拼接为$life$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，绝对值运算，分类讨论
【点评】
本题结合趣味密码情境考查基础计算能力，解题关键是严格按照给定的分类规则分步计算，注意字母和序号的对应关系不要混淆，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时按清晰的步骤思考即可：第一步，先把明文的每个字母对照表格找到对应的序号x；第二步，判断x是奇数还是偶数，选择对应密文序号的计算公式；第三步，代入公式计算得到密文的序号，再对照表格转换为字母；第四步，把得到的字母拼接就是最终密文。
【解析】
我们逐个翻译明文“agfo”的每个字母：
1. 字母a：对应序号$x=1$，是奇数，代入公式$\frac{|x-25|}{2}$，得$\frac{|1-25|}{2}=\frac{24}{2}=12$，序号12对应字母$l$；
2. 字母g：对应序号$x=7$，是奇数，代入公式$\frac{|x-25|}{2}$，得$\frac{|7-25|}{2}=\frac{18}{2}=9$，序号9对应字母$i$；
3. 字母f：对应序号$x=6$，是偶数，代入公式$\frac{x}{2}+3$，得$\frac{6}{2}+3=3+3=6$，序号6对应字母$f$；
4. 字母o：对应序号$x=15$，是奇数，代入公式$\frac{|x-25|}{2}$，得$\frac{|15-25|}{2}=\frac{10}{2}=5$，序号5对应字母$e$。
将得到的字母拼接为$life$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，绝对值运算，分类讨论
【点评】
本题结合趣味密码情境考查基础计算能力，解题关键是严格按照给定的分类规则分步计算，注意字母和序号的对应关系不要混淆，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
4.如图,四位同学站成一排,按图中所示规律数数,数2025下方对应的同学是.
答案
解：观察数数规律，每6个数为一个循环，依次对应的同学为：小吉、小祥、小平、小安、小平、小祥。
计算得：$2025÷6=337······3$
余数为3，对应循环中的第3位同学。
答：数2025下方对应的同学是小平。
计算得：$2025÷6=337······3$
余数为3，对应循环中的第3位同学。
答：数2025下方对应的同学是小平。
解析
【分析】
解题时首先观察数字与下方同学的对应规律：从1开始，1对应小吉、2对应小祥、3对应小平、4对应小安、5对应小平、6对应小祥，到7又对应小吉，可知每6个数为一个循环周期，周期内同学的对应顺序固定。接下来只需计算2025除以周期长度的余数，根据余数就能匹配到对应同学，余数是几就对应周期内第几个位置的同学，若没有余数则对应周期最后一个位置的同学。
【解析】
1. 确定循环周期：观察可得每6个数为一个循环，周期内对应的同学依次为：小吉、小祥、小平、小安、小平、小祥。
2. 计算余数：列算式计算$2025÷6=337······3$，即2025个数里包含337个完整周期，还剩余3个数。
3. 匹配对应同学：余数为3，对应循环周期里第3位同学。
【答案】
小平
【知识点】
周期规律，有余数的除法，规律探究
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，解题的关键是通过观察归纳出数字排列的循环周期，结合简单的除法运算就能求解，能够很好地锻炼学生的观察能力和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数字与下方同学的对应规律：从1开始，1对应小吉、2对应小祥、3对应小平、4对应小安、5对应小平、6对应小祥，到7又对应小吉，可知每6个数为一个循环周期，周期内同学的对应顺序固定。接下来只需计算2025除以周期长度的余数，根据余数就能匹配到对应同学，余数是几就对应周期内第几个位置的同学，若没有余数则对应周期最后一个位置的同学。
【解析】
1. 确定循环周期：观察可得每6个数为一个循环，周期内对应的同学依次为：小吉、小祥、小平、小安、小平、小祥。
2. 计算余数：列算式计算$2025÷6=337······3$，即2025个数里包含337个完整周期，还剩余3个数。
3. 匹配对应同学：余数为3，对应循环周期里第3位同学。
【答案】
小平
【知识点】
周期规律，有余数的除法，规律探究
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，解题的关键是通过观察归纳出数字排列的循环周期，结合简单的除法运算就能求解，能够很好地锻炼学生的观察能力和归纳能力。
【难度系数】
0.7
5.观察下列各式：
$1×5 + 4 = 3^2$,①
$3×7 + 4 = 5^2$,②
$5×9 + 4 = 7^2$,③
…
探索以上式子的规律，试写出第ⓝ个等式：
.
$1×5 + 4 = 3^2$,①
$3×7 + 4 = 5^2$,②
$5×9 + 4 = 7^2$,③
…
探索以上式子的规律，试写出第ⓝ个等式：
.
答案
解：
观察各式对应项的规律：
第1式：$1=2×1-1$，$5=2×1+3$，$3=2×1+1$；
第2式：$3=2×2-1$，$7=2×2+3$，$5=2×2+1$；
第3式：$5=2×3-1$，$9=2×3+3$，$7=2×3+1$；
验证左边：$(2n-1)(2n+3)+4=4n^2+6n-2n-3+4=4n^2+4n+1$，
右边：$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$，左边与右边相等。
第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n-1)×(2n+3)+4=(2n+1)^2}$
观察各式对应项的规律：
第1式：$1=2×1-1$，$5=2×1+3$，$3=2×1+1$；
第2式：$3=2×2-1$，$7=2×2+3$，$5=2×2+1$；
第3式：$5=2×3-1$，$9=2×3+3$，$7=2×3+1$；
验证左边：$(2n-1)(2n+3)+4=4n^2+6n-2n-3+4=4n^2+4n+1$，
右边：$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$，左边与右边相等。
第$n$个等式为：$\boldsymbol{(2n-1)×(2n+3)+4=(2n+1)^2}$
解析
【分析】
解决此类式子规律探究题，需先把每个等式中对应位置的数和等式的序号n建立联系：首先分别观察等式左边两个乘数、固定加数，以及右边幂的底数随序号变化的规律，再用含n的代数式表示出各部分，最后通过计算验证左右两边是否相等，确认规律正确即可得到第n个等式。
【解析】
我们先将各等式的项与序号对应分析：
第1个等式（n=1）：第一个乘数$1=2×1-1$，第二个乘数$5=2×1+3$，右边幂的底数$3=2×1+1$；
第2个等式（n=2）：第一个乘数$3=2×2-1$，第二个乘数$7=2×2+3$，右边幂的底数$5=2×2+1$；
第3个等式（n=3）：第一个乘数$5=2×3-1$，第二个乘数$9=2×3+3$，右边幂的底数$7=2×3+1$；
由此可推导出第n个等式的结构，再验证左右两边是否相等：
左边：$(2n-1)(2n+3)+4=4n^2+6n-2n-3+4=4n^2+4n+1$
右边：$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$
左边等于右边，规律成立。
【答案】
$(2n-1)×(2n+3)+4=(2n+1)^2$
【知识点】
数字规律探究；整式乘法运算；完全平方公式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，核心解题思路是建立式子各部分与序号的对应关系，再通过运算验证规律的合理性，能够很好地考查观察、归纳和运算能力。
【难度系数】
0.7
解决此类式子规律探究题，需先把每个等式中对应位置的数和等式的序号n建立联系：首先分别观察等式左边两个乘数、固定加数，以及右边幂的底数随序号变化的规律，再用含n的代数式表示出各部分，最后通过计算验证左右两边是否相等，确认规律正确即可得到第n个等式。
【解析】
我们先将各等式的项与序号对应分析：
第1个等式（n=1）：第一个乘数$1=2×1-1$，第二个乘数$5=2×1+3$，右边幂的底数$3=2×1+1$；
第2个等式（n=2）：第一个乘数$3=2×2-1$，第二个乘数$7=2×2+3$，右边幂的底数$5=2×2+1$；
第3个等式（n=3）：第一个乘数$5=2×3-1$，第二个乘数$9=2×3+3$，右边幂的底数$7=2×3+1$；
由此可推导出第n个等式的结构，再验证左右两边是否相等：
左边：$(2n-1)(2n+3)+4=4n^2+6n-2n-3+4=4n^2+4n+1$
右边：$(2n+1)^2=4n^2+4n+1$
左边等于右边，规律成立。
【答案】
$(2n-1)×(2n+3)+4=(2n+1)^2$
【知识点】
数字规律探究；整式乘法运算；完全平方公式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，核心解题思路是建立式子各部分与序号的对应关系，再通过运算验证规律的合理性，能够很好地考查观察、归纳和运算能力。
【难度系数】
0.7
6.将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第$n$($n$为正整数)个图形中字母“H”的个数为（用含$n$的代数式表示）。
答案
$\boldsymbol{2n+2}$
解析
【分析】
我们可以先统计前几个图形中字母“H”的个数，再观察H的个数和图形序号n的对应关系，推导通用规律。首先数出第1个图形中H有4个，第2个图形中H有6个，第3个图形中H有8个，可发现每往后一个图形，H的个数就比前一个多2，结合序号和对应H的数量的关系即可推出第n个图形的H的个数表达式。
【解析】
观察图形统计数量：
当n=1（第1个图形）时，H的个数为4，可得4=2×1+2；
当n=2（第2个图形）时，H的个数为6，可得6=2×2+2；
当n=3（第3个图形）时，H的个数为8，可得8=2×3+2；
由此归纳规律：每增加1个C，H的数量就增加2个，因此第n个图形中字母“H”的个数为2n+2。
【答案】
$2n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的基础题型，解题关键是准确统计前几个图形的目标元素数量，分析数量随序号的变化特征，进而归纳出通用表达式，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
我们可以先统计前几个图形中字母“H”的个数，再观察H的个数和图形序号n的对应关系，推导通用规律。首先数出第1个图形中H有4个，第2个图形中H有6个，第3个图形中H有8个，可发现每往后一个图形，H的个数就比前一个多2，结合序号和对应H的数量的关系即可推出第n个图形的H的个数表达式。
【解析】
观察图形统计数量：
当n=1（第1个图形）时，H的个数为4，可得4=2×1+2；
当n=2（第2个图形）时，H的个数为6，可得6=2×2+2；
当n=3（第3个图形）时，H的个数为8，可得8=2×3+2；
由此归纳规律：每增加1个C，H的数量就增加2个，因此第n个图形中字母“H”的个数为2n+2。
【答案】
$2n+2$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题是图形类规律探究的基础题型，解题关键是准确统计前几个图形的目标元素数量，分析数量随序号的变化特征，进而归纳出通用表达式，能有效锻炼学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
7.观察一组式子：$2x, -4x^2, 6x^3, -8x^4, \dots, 38x^{19}, -40x^{20}, \dots$，回答下列问题：
(1)请分别写出第5个、第6个式子；
(2)根据上面的归纳，你可以猜想出，第$n$个式子是什么？
(3)请你根据猜想，分别写出第2025个、第2026个式子。
(1)请分别写出第5个、第6个式子；
(2)根据上面的归纳，你可以猜想出，第$n$个式子是什么？
(3)请你根据猜想，分别写出第2025个、第2026个式子。
答案
解：
(1) 观察已知式子的排列规律，可得第5个式子是$10x^5$，第6个式子是$-12x^6$。
(2) 归纳规律：式子的符号按正、负交替排列，系数的绝对值为对应序号的2倍，x的次数等于对应序号，因此第$n$个式子是$(-1)^{n+1}· 2n x^n$。
(3) 将$n=2025$代入规律式，得第2025个式子为：
$(-1)^{2025+1}× 2×2025 x^{2025}=4050x^{2025}$
将$n=2026$代入规律式，得第2026个式子为：
$(-1)^{2026+1}× 2×2026 x^{2026}=-4052x^{2026}$
(1) 观察已知式子的排列规律，可得第5个式子是$10x^5$，第6个式子是$-12x^6$。
(2) 归纳规律：式子的符号按正、负交替排列，系数的绝对值为对应序号的2倍，x的次数等于对应序号，因此第$n$个式子是$(-1)^{n+1}· 2n x^n$。
(3) 将$n=2025$代入规律式，得第2025个式子为：
$(-1)^{2025+1}× 2×2025 x^{2025}=4050x^{2025}$
将$n=2026$代入规律式，得第2026个式子为：
$(-1)^{2026+1}× 2×2026 x^{2026}=-4052x^{2026}$
解析
【分析】
解决这道题我们可以把每个单项式拆成符号、系数绝对值、x的次数三个部分分别找规律：1.符号规律：奇数项为正，偶数项为负；2.系数绝对值规律：第几个式子，系数绝对值就是2乘对应序号；3.x的次数规律：第几个式子，x的次数就等于对应序号。找到规律后，第（1）问直接按规律写出对应式子，第（2）问把三个规律组合成第n个式子的表达式，第（3）问将序号代入表达式计算即可。
【解析】
(1) 第5个式子是奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×5=10$，x的次数为5，即$10x^5$；第6个式子是偶数项，符号为负，系数绝对值为$2×6=12$，x的次数为6，即$-12x^6$。
(2) 符号规律可表示为$(-1)^{n+1}$，系数绝对值规律为$2n$，x的次数规律为$x^n$，因此第n个式子为$(-1)^{n+1}·2nx^n$。
(3) 把$n=2025$代入规律式：$(-1)^{2025+1}×2×2025x^{2025}=4050x^{2025}$；把$n=2026$代入规律式：$(-1)^{2026+1}×2×2026x^{2026}=-4052x^{2026}$。
【答案】
(1) 第5个式子是$10x^5$，第6个式子是$-12x^6$；
(2) 第$n$个式子是$(-1)^{n+1}·2nx^n$；
(3) 第2025个式子是$4050x^{2025}$，第2026个式子是$-4052x^{2026}$。
【知识点】
单项式规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是将单项式拆分为符号、系数、字母指数三个独立部分分别找规律，掌握拆分法可快速解决同类整式规律问题。
【难度系数】
0.75
解决这道题我们可以把每个单项式拆成符号、系数绝对值、x的次数三个部分分别找规律：1.符号规律：奇数项为正，偶数项为负；2.系数绝对值规律：第几个式子，系数绝对值就是2乘对应序号；3.x的次数规律：第几个式子，x的次数就等于对应序号。找到规律后，第（1）问直接按规律写出对应式子，第（2）问把三个规律组合成第n个式子的表达式，第（3）问将序号代入表达式计算即可。
【解析】
(1) 第5个式子是奇数项，符号为正，系数绝对值为$2×5=10$，x的次数为5，即$10x^5$；第6个式子是偶数项，符号为负，系数绝对值为$2×6=12$，x的次数为6，即$-12x^6$。
(2) 符号规律可表示为$(-1)^{n+1}$，系数绝对值规律为$2n$，x的次数规律为$x^n$，因此第n个式子为$(-1)^{n+1}·2nx^n$。
(3) 把$n=2025$代入规律式：$(-1)^{2025+1}×2×2025x^{2025}=4050x^{2025}$；把$n=2026$代入规律式：$(-1)^{2026+1}×2×2026x^{2026}=-4052x^{2026}$。
【答案】
(1) 第5个式子是$10x^5$，第6个式子是$-12x^6$；
(2) 第$n$个式子是$(-1)^{n+1}·2nx^n$；
(3) 第2025个式子是$4050x^{2025}$，第2026个式子是$-4052x^{2026}$。
【知识点】
单项式规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是将单项式拆分为符号、系数、字母指数三个独立部分分别找规律，掌握拆分法可快速解决同类整式规律问题。
【难度系数】
0.75
