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1.寻找下列一组数的特点:0,1,-4,9,-16,25,….第11个数是().
A.121
B.100
C.-121
D.-100
A.121
B.100
C.-121
D.-100
答案
D
解析
【分析】
解决这类数列规律题可分两步走：第一步先观察各数的绝对值和对应序号的关系，第二步再分析符号的变化规律，总结出通用表达式后代入对应序号即可求出结果。
先将数和对应序号对应：第1个是0，第2个是1，第3个是-4，第4个是9，第5个是-16，第6个是25。先看绝对值：第1个数绝对值是$0=(1-1)^2$，第2个是$1=(2-1)^2$，第3个是$4=(3-1)^2$，第4个是$9=(4-1)^2$，可得绝对值规律为第n个数的绝对值是$(n-1)^2$。再看符号：序号为奇数时（除第1个数是0外）数为负，序号为偶数时数为正，用$(-1)^n$即可表示该符号规律，代入第1个序号也符合结果。
【解析】
对应序号列出每个数的表达式：
第1个数：$0 = (-1)^1 × (1-1)^2$
第2个数：$1 = (-1)^2 × (2-1)^2$
第3个数：$-4 = (-1)^3 × (3-1)^2$
第4个数：$9 = (-1)^4 × (4-1)^2$
第5个数：$-16 = (-1)^5 × (5-1)^2$
……
由此可得第n个数的通用规律为：$(-1)^n · (n-1)^2$
将n=11代入表达式求第11个数：
$(-1)^{11} × (11-1)^2 = -1 × 10^2 = -100$
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究、有理数乘方
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是分别拆解绝对值规律和符号规律，得出通项后可代入已知项验证规律是否正确，避免忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7
解决这类数列规律题可分两步走：第一步先观察各数的绝对值和对应序号的关系，第二步再分析符号的变化规律，总结出通用表达式后代入对应序号即可求出结果。
先将数和对应序号对应：第1个是0，第2个是1，第3个是-4，第4个是9，第5个是-16，第6个是25。先看绝对值：第1个数绝对值是$0=(1-1)^2$，第2个是$1=(2-1)^2$，第3个是$4=(3-1)^2$，第4个是$9=(4-1)^2$，可得绝对值规律为第n个数的绝对值是$(n-1)^2$。再看符号：序号为奇数时（除第1个数是0外）数为负，序号为偶数时数为正，用$(-1)^n$即可表示该符号规律，代入第1个序号也符合结果。
【解析】
对应序号列出每个数的表达式：
第1个数：$0 = (-1)^1 × (1-1)^2$
第2个数：$1 = (-1)^2 × (2-1)^2$
第3个数：$-4 = (-1)^3 × (3-1)^2$
第4个数：$9 = (-1)^4 × (4-1)^2$
第5个数：$-16 = (-1)^5 × (5-1)^2$
……
由此可得第n个数的通用规律为：$(-1)^n · (n-1)^2$
将n=11代入表达式求第11个数：
$(-1)^{11} × (11-1)^2 = -1 × 10^2 = -100$
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究、有理数乘方
【点评】
本题是典型的数列规律探究题，解题核心是分别拆解绝对值规律和符号规律，得出通项后可代入已知项验证规律是否正确，避免忽略符号导致失分。
【难度系数】
0.7
2. 观察下列一组数：$\frac{1}{4},\frac{3}{9},\frac{5}{16},\frac{7}{25},\frac{9}{36},\dots$. 它们按一定规律排列，那么这一组数的第$n$个数是().
A.$\frac{2n-1}{n^2}$
B.$\frac{2n+1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{(n+1)^2}$
D.$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$
A.$\frac{2n-1}{n^2}$
B.$\frac{2n+1}{n^2}$
C.$\frac{2n+1}{(n+1)^2}$
D.$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$
答案
D
解析
【分析】
要推导这组数的第n个表达式，可分别观察分子、分母与项数n的对应规律：首先看分子，给出的数的分子是连续的奇数，第n个奇数可表示为2n-1；再看分母，给出的分母均为平方数，底数比项数n大1，因此分母可表示为(n+1)²，组合两部分即可得到第n个数的表达式，也可通过代入n=1等特殊值排除错误选项快速解题。
【解析】
我们分别分析分子、分母和项数n的规律：
1. 分子规律：第1个数的分子是$1=2×1-1$，第2个数的分子是$3=2×2-1$，第3个数的分子是$5=2×3-1$……以此类推，第n个数的分子为$2n-1$；
2. 分母规律：第1个数的分母是$4=(1+1)^2$，第2个数的分母是$9=(2+1)^2$，第3个数的分母是$16=(3+1)^2$……以此类推，第n个数的分母为$(n+1)^2$；
因此这组数的第n个数是$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代数式规律探索，列代数式，奇数的表示
【点评】
这类数列规律题通常拆分各组成部分分别找规律，分别确定分子、分母和项数的对应关系即可求解，也可代入特殊项验证选项，快速排除错误答案，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
要推导这组数的第n个表达式，可分别观察分子、分母与项数n的对应规律：首先看分子，给出的数的分子是连续的奇数，第n个奇数可表示为2n-1；再看分母，给出的分母均为平方数，底数比项数n大1，因此分母可表示为(n+1)²，组合两部分即可得到第n个数的表达式，也可通过代入n=1等特殊值排除错误选项快速解题。
【解析】
我们分别分析分子、分母和项数n的规律：
1. 分子规律：第1个数的分子是$1=2×1-1$，第2个数的分子是$3=2×2-1$，第3个数的分子是$5=2×3-1$……以此类推，第n个数的分子为$2n-1$；
2. 分母规律：第1个数的分母是$4=(1+1)^2$，第2个数的分母是$9=(2+1)^2$，第3个数的分母是$16=(3+1)^2$……以此类推，第n个数的分母为$(n+1)^2$；
因此这组数的第n个数是$\frac{2n-1}{(n+1)^2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代数式规律探索，列代数式，奇数的表示
【点评】
这类数列规律题通常拆分各组成部分分别找规律，分别确定分子、分母和项数的对应关系即可求解，也可代入特殊项验证选项，快速排除错误答案，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
3.如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:
按照以上规律排列,第8行从左向右的第5个数为().
A.30
B.31
C.32
D.33
按照以上规律排列,第8行从左向右的第5个数为().
A.30
B.31
C.32
D.33
答案
D
解析
【分析】
要确定第8行从左向右第5个数，首先观察数阵规律：①每行的数字个数等于行数，即第n行有n个数字；②所有数字是从1开始的连续正整数。因此我们可以先计算出前7行的总数字个数，也就是前7行最后一个数的数值，再往后数5个，就能得到第8行第5个数。
【解析】
第一步：分析每行数字个数规律
观察数阵可得：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，以此类推，第n行有n个数。
第二步：计算前7行的总数字个数
前7行的数字总个数为1+2+3+4+5+6+7，利用连续整数求和方法：(首项+末项)×项数÷2，可得：
(1+7)×7÷2 = 28
即前7行最后一个数是28，所有数是连续正整数，因此第8行的数从29开始依次排列。
第三步：确定第8行第5个数
第8行第1个数是29，从左往右数第5个为：28+5=33
【答案】
D
【知识点】
数字规律探索，连续整数求和
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是先明确每行数字的数量规律，通过计算前若干行的数字总数确定所求行的起始数字，即可快速得到对应位置的数值。
【难度系数】
0.7
要确定第8行从左向右第5个数，首先观察数阵规律：①每行的数字个数等于行数，即第n行有n个数字；②所有数字是从1开始的连续正整数。因此我们可以先计算出前7行的总数字个数，也就是前7行最后一个数的数值，再往后数5个，就能得到第8行第5个数。
【解析】
第一步：分析每行数字个数规律
观察数阵可得：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，以此类推，第n行有n个数。
第二步：计算前7行的总数字个数
前7行的数字总个数为1+2+3+4+5+6+7，利用连续整数求和方法：(首项+末项)×项数÷2，可得：
(1+7)×7÷2 = 28
即前7行最后一个数是28，所有数是连续正整数，因此第8行的数从29开始依次排列。
第三步：确定第8行第5个数
第8行第1个数是29，从左往右数第5个为：28+5=33
【答案】
D
【知识点】
数字规律探索，连续整数求和
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题核心是先明确每行数字的数量规律，通过计算前若干行的数字总数确定所求行的起始数字，即可快速得到对应位置的数值。
【难度系数】
0.7
4. 观察下列等式：$7^0 = 1, 7^1 = 7, 7^2 = 49, 7^3 = 343, 7^4 = 2401, 7^5 = 16807, \dots,$ 根据其中的规律可得 $7^0 + 7^1 + 7^2 + \dots + 7^{2026}$ 的结果的个位数字是().
A.0
B.1
C.7
D.8
A.0
B.1
C.7
D.8
答案
C
解析
【分析】
要求这个算式结果的个位数字，不需要计算每个幂的完整结果，只需观察7的n次幂的个位数字规律即可。首先先归纳出7的n次幂个位数字的循环周期，再计算一个周期内个位数字和的个位，接着统计总共有多少项，除以周期得到完整周期数和剩余项数，最后结合完整周期的个位和剩余项的个位和即可得出答案。
【解析】
步骤1：观察7的n次幂的个位数字规律：
$7^0$的个位是1，$7^1$的个位是7，$7^2$的个位是9，$7^3$的个位是3，$7^4$的个位是1，$7^5$的个位是7……
可得个位数字每4个为一个循环，循环节为：1、7、9、3。
步骤2：计算一个循环的个位数字之和：$1+7+9+3=20$，即每个完整循环的和的个位数字是0。
步骤3：统计总项数：算式是从$7^0$到$7^{2026}$，总项数为$2026 - 0 + 1 = 2027$项。
步骤4：计算周期数和余数：$2027 ÷ 4 = 506······3$，即共有506个完整循环，还剩余3个项，对应循环节的前3个数字：1、7、9。
步骤5：计算总和的个位数字：506个完整循环的和的个位是$506 × 0 = 0$，剩余3项的个位和为$1+7+9=17$，个位是7，因此整个算式结果的个位数字是7。
【答案】
C
【知识点】
乘方规律探索，周期规律应用，有理数加法
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是通过观察归纳出个位数字的循环规律，避开复杂的大数计算，利用周期和余数快速求解，能有效提升观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
要求这个算式结果的个位数字，不需要计算每个幂的完整结果，只需观察7的n次幂的个位数字规律即可。首先先归纳出7的n次幂个位数字的循环周期，再计算一个周期内个位数字和的个位，接着统计总共有多少项，除以周期得到完整周期数和剩余项数，最后结合完整周期的个位和剩余项的个位和即可得出答案。
【解析】
步骤1：观察7的n次幂的个位数字规律：
$7^0$的个位是1，$7^1$的个位是7，$7^2$的个位是9，$7^3$的个位是3，$7^4$的个位是1，$7^5$的个位是7……
可得个位数字每4个为一个循环，循环节为：1、7、9、3。
步骤2：计算一个循环的个位数字之和：$1+7+9+3=20$，即每个完整循环的和的个位数字是0。
步骤3：统计总项数：算式是从$7^0$到$7^{2026}$，总项数为$2026 - 0 + 1 = 2027$项。
步骤4：计算周期数和余数：$2027 ÷ 4 = 506······3$，即共有506个完整循环，还剩余3个项，对应循环节的前3个数字：1、7、9。
步骤5：计算总和的个位数字：506个完整循环的和的个位是$506 × 0 = 0$，剩余3项的个位和为$1+7+9=17$，个位是7，因此整个算式结果的个位数字是7。
【答案】
C
【知识点】
乘方规律探索，周期规律应用，有理数加法
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题核心是通过观察归纳出个位数字的循环规律，避开复杂的大数计算，利用周期和余数快速求解，能有效提升观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
5.将正方形做如下操作，第1次分别连接各边中点，如图(2)，得到5个正方形；第2次将图(2)左上角的正方形按上述方法连线分割，如图(3)，得到9个正方形……以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数为().
A.503
B.504
C.505
D.506
A.503
B.504
C.505
D.506
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先探究操作次数和正方形总个数之间的规律：首先统计前几次操作后得到的正方形数量，对比相邻两次数量的变化，找到通用的数量关系式，再根据“得到2025个正方形”的条件列方程求解即可。
首先观察：
第0次操作（即初始图1）：正方形共1个；
第1次操作后（图2）：正方形共5个，比初始多了4个；
第2次操作后（图3）：正方形共9个，比第1次操作后又多了4个；
可以发现规律：每操作1次，正方形的总个数就增加4个，据此我们可以写出操作n次后正方形总个数的表达式，再解方程求n。
【解析】
设操作的次数为$n$，根据观察得到的规律：
初始有1个正方形，每操作1次增加4个正方形，因此操作$n$次后，正方形的总个数为$1 + 4n$。
根据题意要得到2025个正方形，列方程：
$1 + 4n = 2025$
移项得：$4n = 2025 - 1$
计算得：$4n = 2024$
两边同时除以4得：$n = 506$
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是从简单的操作案例中归纳出数量变化的通用规律，再结合方程求解，重点考查学生的归纳总结能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先探究操作次数和正方形总个数之间的规律：首先统计前几次操作后得到的正方形数量，对比相邻两次数量的变化，找到通用的数量关系式，再根据“得到2025个正方形”的条件列方程求解即可。
首先观察：
第0次操作（即初始图1）：正方形共1个；
第1次操作后（图2）：正方形共5个，比初始多了4个；
第2次操作后（图3）：正方形共9个，比第1次操作后又多了4个；
可以发现规律：每操作1次，正方形的总个数就增加4个，据此我们可以写出操作n次后正方形总个数的表达式，再解方程求n。
【解析】
设操作的次数为$n$，根据观察得到的规律：
初始有1个正方形，每操作1次增加4个正方形，因此操作$n$次后，正方形的总个数为$1 + 4n$。
根据题意要得到2025个正方形，列方程：
$1 + 4n = 2025$
移项得：$4n = 2025 - 1$
计算得：$4n = 2024$
两边同时除以4得：$n = 506$
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是从简单的操作案例中归纳出数量变化的通用规律，再结合方程求解，重点考查学生的归纳总结能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 下列图形均是由长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成的，拼搭第1个图形需要4根小木棒，拼搭第2个图形需要10根小木棒……依此规律，拼搭第8个图形需要小木棒的根数为（）。
A.84
B.88
C.108
D.144
A.84
B.88
C.108
D.144
答案
B
解析
【分析】
遇到图形规律探索题，我们可以先把已知的前几个图形对应的小棒数量和图形序号对应罗列，再观察数量和序号的运算关系。本题已知第1个图形（序号n=1）小棒数为4，第2个（n=2）小棒数为10，我们先数出第3、4个图形的小棒数分别为18、28，再对比序号找规律：4=1×4，10=2×5，18=3×6，28=4×7，可见每个式子第一个乘数就是图形序号n，第二个乘数比序号大3（即n+3），因此得到第n个图形的小棒数为n(n+3)，最后代入n=8计算即可。
【解析】
解：整理前4个图形的小棒数量与对应序号n的关系：
当n=1时，小棒数：$ 4 = 1×(1+3) $
当n=2时，小棒数：$ 10 = 2×(2+3) $
当n=3时，数得小棒数：$ 18 = 3×(3+3) $
当n=4时，数得小棒数：$ 28 = 4×(4+3) $
归纳可得规律：第n个图形需要的小棒根数为 $ n(n+3) $。
当n=8时，代入公式得：$ 8×(8+3) = 8×11 = 88 $
即拼搭第8个图形需要88根小木棒。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，归纳推理
【点评】
本题是规律探索类的常见题型，核心考查观察能力和归纳总结能力，解题关键是找到小棒数量和图形序号的对应关系，再代入所求序号计算即可。
【难度系数】
0.7
遇到图形规律探索题，我们可以先把已知的前几个图形对应的小棒数量和图形序号对应罗列，再观察数量和序号的运算关系。本题已知第1个图形（序号n=1）小棒数为4，第2个（n=2）小棒数为10，我们先数出第3、4个图形的小棒数分别为18、28，再对比序号找规律：4=1×4，10=2×5，18=3×6，28=4×7，可见每个式子第一个乘数就是图形序号n，第二个乘数比序号大3（即n+3），因此得到第n个图形的小棒数为n(n+3)，最后代入n=8计算即可。
【解析】
解：整理前4个图形的小棒数量与对应序号n的关系：
当n=1时，小棒数：$ 4 = 1×(1+3) $
当n=2时，小棒数：$ 10 = 2×(2+3) $
当n=3时，数得小棒数：$ 18 = 3×(3+3) $
当n=4时，数得小棒数：$ 28 = 4×(4+3) $
归纳可得规律：第n个图形需要的小棒根数为 $ n(n+3) $。
当n=8时，代入公式得：$ 8×(8+3) = 8×11 = 88 $
即拼搭第8个图形需要88根小木棒。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值，归纳推理
【点评】
本题是规律探索类的常见题型，核心考查观察能力和归纳总结能力，解题关键是找到小棒数量和图形序号的对应关系，再代入所求序号计算即可。
【难度系数】
0.7
7.如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案.
(1)第1个图案中有6根小棒;第2个图案中有根小棒;第3个图案中有根小棒;
(2)第n个图案中有根小棒;
(3)第25个图案中有根小棒.
(1)第1个图案中有6根小棒;第2个图案中有根小棒;第3个图案中有根小棒;
(2)第n个图案中有根小棒;
(3)第25个图案中有根小棒.
答案
解：
(1) 第2个图案中有11根小棒；第3个图案中有16根小棒；
(2) 观察可得：第1个图案小棒数为$5×1+1=6$，第2个图案小棒数为$5×2+1=11$，第3个图案小棒数为$5×3+1=16$，因此第$n$个图案中有$(5n+1)$根小棒；
(3) 把$n=25$代入$5n+1$，得$5×25+1=126$，即第25个图案中有126根小棒。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{11}$，$\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{5n+1}$；(3) $\boldsymbol{126}$。
(1) 第2个图案中有11根小棒；第3个图案中有16根小棒；
(2) 观察可得：第1个图案小棒数为$5×1+1=6$，第2个图案小棒数为$5×2+1=11$，第3个图案小棒数为$5×3+1=16$，因此第$n$个图案中有$(5n+1)$根小棒；
(3) 把$n=25$代入$5n+1$，得$5×25+1=126$，即第25个图案中有126根小棒。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{11}$，$\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{5n+1}$；(3) $\boldsymbol{126}$。
解析
【分析】
解决本题首先从已知图案入手，先明确前3个图案的小棒数量，观察相邻图案的小棒数量变化规律，可发现每增加1个图案，小棒固定增加5根，属于增量恒定的规律类问题；接下来根据前几个图案的小棒数和对应序号的关系，推导得出第n个图案的小棒数量表达式，最后将n=25代入表达式即可计算出第25个图案的小棒数。
【解析】
(1) 观察图案可知：第1个图案有6根小棒，第2个图案比第1个图案多5根小棒，即$6+5=11$根；第3个图案比第2个图案多5根小棒，即$11+5=16$根。
(2) 梳理前3个图案的小棒数与对应序号的关系：
第1个图案：$6=5×1+1$
第2个图案：$11=5×2+1$
第3个图案：$16=5×3+1$
由此归纳可得，第n个图案的小棒数量为$5n+1$。
(3) 把$n=25$代入$5n+1$计算，可得：
$5×25+1=125+1=126$
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$，$\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{5n+1}$；(3) $\boldsymbol{126}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过观察对比相邻图案的小棒数量变化，找到固定增量，再归纳出通用的代数式，最后代入数值计算即可，能有效提升观察、归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从已知图案入手，先明确前3个图案的小棒数量，观察相邻图案的小棒数量变化规律，可发现每增加1个图案，小棒固定增加5根，属于增量恒定的规律类问题；接下来根据前几个图案的小棒数和对应序号的关系，推导得出第n个图案的小棒数量表达式，最后将n=25代入表达式即可计算出第25个图案的小棒数。
【解析】
(1) 观察图案可知：第1个图案有6根小棒，第2个图案比第1个图案多5根小棒，即$6+5=11$根；第3个图案比第2个图案多5根小棒，即$11+5=16$根。
(2) 梳理前3个图案的小棒数与对应序号的关系：
第1个图案：$6=5×1+1$
第2个图案：$11=5×2+1$
第3个图案：$16=5×3+1$
由此归纳可得，第n个图案的小棒数量为$5n+1$。
(3) 把$n=25$代入$5n+1$计算，可得：
$5×25+1=125+1=126$
【答案】
(1) $\boldsymbol{11}$，$\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{5n+1}$；(3) $\boldsymbol{126}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题核心是通过观察对比相邻图案的小棒数量变化，找到固定增量，再归纳出通用的代数式，最后代入数值计算即可，能有效提升观察、归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8.观察下列等式:3=4-1,5=9-4,7=16-9,9=25-16,….依此规律,第n个等式(n为整数)为.
答案
解：
观察等式左边：第1个等式左边为$3=2×1+1$，第2个为$5=2×2+1$，第3个为$7=2×3+1$，第4个为$9=2×4+1$，可得第$n$个等式左边为$2n+1$；
观察等式右侧的被减数：第1个为$4=(1+1)^2$，第2个为$9=(2+1)^2$，第3个为$16=(3+1)^2$，第4个为$25=(4+1)^2$，可得第$n$个等式的被减数为$(n+1)^2$；
观察等式右侧的减数：第1个为$1=1^2$，第2个为$4=2^2$，第3个为$9=3^2$，第4个为$16=4^2$，可得第$n$个等式的减数为$n^2$；
因此第$n$个等式为$\boldsymbol{2n+1=(n+1)^2 - n^2}$。
观察等式左边：第1个等式左边为$3=2×1+1$，第2个为$5=2×2+1$，第3个为$7=2×3+1$，第4个为$9=2×4+1$，可得第$n$个等式左边为$2n+1$；
观察等式右侧的被减数：第1个为$4=(1+1)^2$，第2个为$9=(2+1)^2$，第3个为$16=(3+1)^2$，第4个为$25=(4+1)^2$，可得第$n$个等式的被减数为$(n+1)^2$；
观察等式右侧的减数：第1个为$1=1^2$，第2个为$4=2^2$，第3个为$9=3^2$，第4个为$16=4^2$，可得第$n$个等式的减数为$n^2$；
因此第$n$个等式为$\boldsymbol{2n+1=(n+1)^2 - n^2}$。
解析
【分析】
解决这类等式规律探究题，可将等式拆分为左边、右侧被减数、右侧减数三个独立部分，分别寻找每部分与序号n的对应关系：第一步先观察等式左边的数字特征，都是连续的奇数，推导第n个奇数的表达式；第二步分别观察右侧两个平方数的底数和序号的对应关系，分别写出被减数和减数的代数式；最后将三部分组合即可得到第n个等式。
【解析】
我们分三部分分析规律：
1. 观察等式左边：
第1个等式左边为$3=2×1+1$，
第2个等式左边为$5=2×2+1$，
第3个等式左边为$7=2×3+1$，
第4个等式左边为$9=2×4+1$，
由此可得第n个等式左边的表达式为$2n+1$。
2. 观察等式右侧的被减数：
第1个等式被减数为$4=(1+1)^2$，
第2个等式被减数为$9=(2+1)^2$，
第3个等式被减数为$16=(3+1)^2$，
第4个等式被减数为$25=(4+1)^2$，
由此可得第n个等式的被减数为$(n+1)^2$。
3. 观察等式右侧的减数：
第1个等式减数为$1=1^2$，
第2个等式减数为$4=2^2$，
第3个等式减数为$9=3^2$，
第4个等式减数为$16=4^2$，
由此可得第n个等式的减数为$n^2$。
将三部分组合，得到第n个等式。
【答案】
$2n+1=(n+1)^2 - n^2$
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的等式类规律探究题，核心解题方法是拆分法，把复杂的等式拆成多个简单部分分别找规律，能有效降低解题难度，考察学生的观察能力和归纳总结能力，掌握拆分找规律的思路后就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这类等式规律探究题，可将等式拆分为左边、右侧被减数、右侧减数三个独立部分，分别寻找每部分与序号n的对应关系：第一步先观察等式左边的数字特征，都是连续的奇数，推导第n个奇数的表达式；第二步分别观察右侧两个平方数的底数和序号的对应关系，分别写出被减数和减数的代数式；最后将三部分组合即可得到第n个等式。
【解析】
我们分三部分分析规律：
1. 观察等式左边：
第1个等式左边为$3=2×1+1$，
第2个等式左边为$5=2×2+1$，
第3个等式左边为$7=2×3+1$，
第4个等式左边为$9=2×4+1$，
由此可得第n个等式左边的表达式为$2n+1$。
2. 观察等式右侧的被减数：
第1个等式被减数为$4=(1+1)^2$，
第2个等式被减数为$9=(2+1)^2$，
第3个等式被减数为$16=(3+1)^2$，
第4个等式被减数为$25=(4+1)^2$，
由此可得第n个等式的被减数为$(n+1)^2$。
3. 观察等式右侧的减数：
第1个等式减数为$1=1^2$，
第2个等式减数为$4=2^2$，
第3个等式减数为$9=3^2$，
第4个等式减数为$16=4^2$，
由此可得第n个等式的减数为$n^2$。
将三部分组合，得到第n个等式。
【答案】
$2n+1=(n+1)^2 - n^2$
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的等式类规律探究题，核心解题方法是拆分法，把复杂的等式拆成多个简单部分分别找规律，能有效降低解题难度，考察学生的观察能力和归纳总结能力，掌握拆分找规律的思路后就能快速解题。
【难度系数】
0.8
9.观察下列等式：
第1个等式是$(2×1+1)^2=(2×2+1)^2-(2×2)^2$；
第2个等式是$(2×2+1)^2=(3×4+1)^2-(3×4)^2$；
第3个等式是$(2×3+1)^2=(4×6+1)^2-(4×6)^2$；
第4个等式是$(2×4+1)^2=(5×8+1)^2-(5×8)^2$；
……
按照以上规律，第5个等式是
，第n个等式
是
(用含n的式子表示)。
第1个等式是$(2×1+1)^2=(2×2+1)^2-(2×2)^2$；
第2个等式是$(2×2+1)^2=(3×4+1)^2-(3×4)^2$；
第3个等式是$(2×3+1)^2=(4×6+1)^2-(4×6)^2$；
第4个等式是$(2×4+1)^2=(5×8+1)^2-(5×8)^2$；
……
按照以上规律，第5个等式是
，第n个等式
是
(用含n的式子表示)。
答案
解：
观察等式规律：
第5个等式左侧为$(2×5+1)^2$，右侧对应项依次为$(6×10+1)^2$、$(6×10)^2$，因此第5个等式是：
$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$
归纳可得第$n$个等式左侧为$(2n+1)^2$，右侧对应项依次为$[2n(n+1)+1]^2$、$[2n(n+1)]^2$，因此第$n$个等式是：
$(2n+1)^2=[2n(n+1)+1]^2-[2n(n+1)]^2$
观察等式规律：
第5个等式左侧为$(2×5+1)^2$，右侧对应项依次为$(6×10+1)^2$、$(6×10)^2$，因此第5个等式是：
$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$
归纳可得第$n$个等式左侧为$(2n+1)^2$，右侧对应项依次为$[2n(n+1)+1]^2$、$[2n(n+1)]^2$，因此第$n$个等式是：
$(2n+1)^2=[2n(n+1)+1]^2-[2n(n+1)]^2$
解析
【分析】
解决这类等式规律题，可拆分等式左右两部分分别对应序号找规律：
1. 先看左边：第1个等式左边为$(2×1+1)^2$、第2个为$(2×2+1)^2$、第3个为$(2×3+1)^2$，可直接得出第k个等式左边为$(2k+1)^2$，第5个等式代入k=5即可得到左边部分。
2. 再看右边：是两个数的平方差，观察底数的规律：第1个等式右边底数乘积部分为$2×2$、第2个为$3×4$、第3个为$4×6$，其中第一个乘数为序号+1，第二个乘数为序号的2倍，即第k个等式右边的乘积部分为$(k+1)×2k=2k(k+1)$，因此右边两个平方的底数分别为$2k(k+1)+1$和$2k(k+1)$。
3. 最后可通过平方差公式验证规律是否成立，确保结论正确。
【解析】
1. 求第5个等式：
将序号$n=5$代入规律：
左边为$(2×5+1)^2$，右边乘积部分为$(5+1)×(2×5)=6×10$，因此右边为$(6×10+1)^2-(6×10)^2$，即第5个等式为$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$。
2. 求第n个等式：
结合上述规律，第n个等式左边为$(2n+1)^2$，右边乘积部分为$2n(n+1)$，因此右边为$[2n(n+1)+1]^2-[2n(n+1)]^2$。
验证：右边用平方差公式展开得$[2n(n+1)+1-2n(n+1)]×[2n(n+1)+1+2n(n+1)]=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$，和左边相等，规律成立。
【答案】
$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$；$(2n+1)^2=[2n(n+1)+1]^2-[2n(n+1)]^2$
【知识点】
规律探索，列代数式，平方差公式
【点评】
本题是典型的等式规律探究题，解题核心是拆分等式各部分对应序号寻找变化特征，得出结论后可通过整式运算验证规律正确性，能有效锻炼观察、归纳与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决这类等式规律题，可拆分等式左右两部分分别对应序号找规律：
1. 先看左边：第1个等式左边为$(2×1+1)^2$、第2个为$(2×2+1)^2$、第3个为$(2×3+1)^2$，可直接得出第k个等式左边为$(2k+1)^2$，第5个等式代入k=5即可得到左边部分。
2. 再看右边：是两个数的平方差，观察底数的规律：第1个等式右边底数乘积部分为$2×2$、第2个为$3×4$、第3个为$4×6$，其中第一个乘数为序号+1，第二个乘数为序号的2倍，即第k个等式右边的乘积部分为$(k+1)×2k=2k(k+1)$，因此右边两个平方的底数分别为$2k(k+1)+1$和$2k(k+1)$。
3. 最后可通过平方差公式验证规律是否成立，确保结论正确。
【解析】
1. 求第5个等式：
将序号$n=5$代入规律：
左边为$(2×5+1)^2$，右边乘积部分为$(5+1)×(2×5)=6×10$，因此右边为$(6×10+1)^2-(6×10)^2$，即第5个等式为$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$。
2. 求第n个等式：
结合上述规律，第n个等式左边为$(2n+1)^2$，右边乘积部分为$2n(n+1)$，因此右边为$[2n(n+1)+1]^2-[2n(n+1)]^2$。
验证：右边用平方差公式展开得$[2n(n+1)+1-2n(n+1)]×[2n(n+1)+1+2n(n+1)]=4n(n+1)+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$，和左边相等，规律成立。
【答案】
$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$；$(2n+1)^2=[2n(n+1)+1]^2-[2n(n+1)]^2$
【知识点】
规律探索，列代数式，平方差公式
【点评】
本题是典型的等式规律探究题，解题核心是拆分等式各部分对应序号寻找变化特征，得出结论后可通过整式运算验证规律正确性，能有效锻炼观察、归纳与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
