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2. 一个用铁制作的球形工件，质量为790 g，体积为150 cm³。
(1)该工件是否为实心的？若为空心，其空心部分的体积为多少？($\rho_{铁}=7.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$)
(2)为减轻工件的质量，若用铝等体积替换原来的铁，则替换后该工件的质量较原来减少了多少？($\rho_{铝}=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$)
(1)该工件是否为实心的？若为空心，其空心部分的体积为多少？($\rho_{铁}=7.9×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$)
(2)为减轻工件的质量，若用铝等体积替换原来的铁，则替换后该工件的质量较原来减少了多少？($\rho_{铝}=2.7×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$)
答案
(1)由$\rho=\frac{m}{V}$可得，工件中铁的体积$V_{\mathrm{铁}}=\frac{m}{\rho_{\mathrm{铁}}}=\frac{790\ \mathrm{g}}{7.9\ \mathrm{g/cm}^3}=100\ \mathrm{cm}^3$，
因为$V_{\mathrm{铁}}＜V$，所以工件是空心的。
空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}=V-V_{\mathrm{铁}}=150\ \mathrm{cm}^3-100\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2)因用铝等体积替换原来的铁，所以铝的体积$V_{\mathrm{铝}}=V_{\mathrm{铁}}=100\ \mathrm{cm}^3$，
需要铝的质量$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}V_{\mathrm{铝}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=270\ \mathrm{g}$，
替换后该工件的质量较原来减少的质量$\Delta m=m-m_{\mathrm{铝}}=790\ \mathrm{g}-270\ \mathrm{g}=520\ \mathrm{g}$。
因为$V_{\mathrm{铁}}＜V$，所以工件是空心的。
空心部分的体积$V_{\mathrm{空}}=V-V_{\mathrm{铁}}=150\ \mathrm{cm}^3-100\ \mathrm{cm}^3=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2)因用铝等体积替换原来的铁，所以铝的体积$V_{\mathrm{铝}}=V_{\mathrm{铁}}=100\ \mathrm{cm}^3$，
需要铝的质量$m_{\mathrm{铝}}=\rho_{\mathrm{铝}}V_{\mathrm{铝}}=2.7\ \mathrm{g/cm}^3×100\ \mathrm{cm}^3=270\ \mathrm{g}$，
替换后该工件的质量较原来减少的质量$\Delta m=m-m_{\mathrm{铝}}=790\ \mathrm{g}-270\ \mathrm{g}=520\ \mathrm{g}$。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用密度公式ρ=m/V分析：（1）判断工件是否实心，可计算出790g铁的体积，与工件实际体积比较，若铁的体积小于工件体积则为空心，空心体积为两者差值；（2）等体积替换铁时，替换铝的体积等于铁的体积，算出铝的质量后，用原铁的质量减去铝的质量即可得到减少的质量。
【解析】
（1）先统一密度单位：ρ铁=7.9×10³kg/m³=7.9g/cm³，ρ铝=2.7×10³kg/m³=2.7g/cm³。
根据密度公式ρ=m/V，可得工件中铁的体积：V铁=m/ρ铁=790g÷7.9g/cm³=100cm³。
因为V铁=100cm³＜工件实际体积V=150cm³，所以该工件是空心的。
空心部分体积：V空=V - V铁=150cm³ - 100cm³=50cm³。
（2）用铝等体积替换铁，故铝的体积V铝=V铁=100cm³。
替换后铝的质量：m铝=ρ铝V铝=2.7g/cm³×100cm³=270g。
质量减少量：Δm=m - m铝=790g - 270g=520g。
【答案】
(1)该工件是空心的，空心部分体积为50cm³；(2)替换后该工件的质量较原来减少了520g。
【知识点】
密度公式的应用，空心体积计算，质量差计算
【点评】
本题是密度知识在实际问题中的基础应用，主要考查密度公式的灵活运用，步骤明确，计算简单，能帮助学生巩固密度相关知识点。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需利用密度公式ρ=m/V分析：（1）判断工件是否实心，可计算出790g铁的体积，与工件实际体积比较，若铁的体积小于工件体积则为空心，空心体积为两者差值；（2）等体积替换铁时，替换铝的体积等于铁的体积，算出铝的质量后，用原铁的质量减去铝的质量即可得到减少的质量。
【解析】
（1）先统一密度单位：ρ铁=7.9×10³kg/m³=7.9g/cm³，ρ铝=2.7×10³kg/m³=2.7g/cm³。
根据密度公式ρ=m/V，可得工件中铁的体积：V铁=m/ρ铁=790g÷7.9g/cm³=100cm³。
因为V铁=100cm³＜工件实际体积V=150cm³，所以该工件是空心的。
空心部分体积：V空=V - V铁=150cm³ - 100cm³=50cm³。
（2）用铝等体积替换铁，故铝的体积V铝=V铁=100cm³。
替换后铝的质量：m铝=ρ铝V铝=2.7g/cm³×100cm³=270g。
质量减少量：Δm=m - m铝=790g - 270g=520g。
【答案】
(1)该工件是空心的，空心部分体积为50cm³；(2)替换后该工件的质量较原来减少了520g。
【知识点】
密度公式的应用，空心体积计算，质量差计算
【点评】
本题是密度知识在实际问题中的基础应用，主要考查密度公式的灵活运用，步骤明确，计算简单，能帮助学生巩固密度相关知识点。
【难度系数】
0.7
3. 某酒厂生产的一种瓶装白酒，瓶上标有“500 mL，40％vol”的字样，“40％vol”表示白酒的度数，即100 mL的酒液中含有40 mL的酒精。不考虑白酒中除水和酒精外的其他物质，不计酒精和水混合后体积的变化，求：($\rho_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3$，$\rho_{酒精}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$)
(1)这瓶白酒中酒精的质量。
(2)这瓶白酒中水的质量。
(3)这瓶白酒的密度。
(1)这瓶白酒中酒精的质量。
(2)这瓶白酒中水的质量。
(3)这瓶白酒的密度。
答案
(1)已知白酒的体积$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$，酒精的体积占比为40％，则酒精的体积$V_{\mathrm{酒精}}=500\ \mathrm{cm}^3×40\%=200\ \mathrm{cm}^3$，
根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，这瓶白酒中酒精的质量$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×200\ \mathrm{cm}^3=160\ \mathrm{g}$。
(2)这瓶白酒中水的体积$V_{\mathrm{水}}=500\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$，
这瓶白酒中水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×300\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{g}$。
(3)这瓶白酒的总质量$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{酒精}}+m_{\mathrm{水}}=160\ \mathrm{g}+300\ \mathrm{g}=460\ \mathrm{g}$，这瓶白酒的密度$\rho_{\mathrm{白酒}}=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\frac{460\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.92\ \mathrm{g/cm}^3$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，这瓶白酒中酒精的质量$m_{\mathrm{酒精}}=\rho_{\mathrm{酒精}}V_{\mathrm{酒精}}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3×200\ \mathrm{cm}^3=160\ \mathrm{g}$。
(2)这瓶白酒中水的体积$V_{\mathrm{水}}=500\ \mathrm{cm}^3-200\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{cm}^3$，
这瓶白酒中水的质量$m_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}V_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g/cm}^3×300\ \mathrm{cm}^3=300\ \mathrm{g}$。
(3)这瓶白酒的总质量$m_{\mathrm{总}}=m_{\mathrm{酒精}}+m_{\mathrm{水}}=160\ \mathrm{g}+300\ \mathrm{g}=460\ \mathrm{g}$，这瓶白酒的密度$\rho_{\mathrm{白酒}}=\frac{m_{\mathrm{总}}}{V}=\frac{460\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3}=0.92\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】首先明确“40％vol”的含义：100mL白酒中含40mL酒精，因此500mL白酒中酒精体积为总体积的40%；解题时需利用密度公式ρ=m/V，先求出酒精和水的体积，再分别计算它们的质量，最后通过总质量和总体积计算白酒的密度，注意单位统一（1mL=1cm³）。
【解析】
(1) 已知白酒体积$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$，酒精体积占比为40%，则酒精体积：
$V_{\mathrm{酒精}} = V × 40\% = 500\ \mathrm{cm}^3 × 40\% = 200\ \mathrm{cm}^3$
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，酒精质量：
$m_{\mathrm{酒精}} = \rho_{\mathrm{酒精}} V_{\mathrm{酒精}} = 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 × 200\ \mathrm{cm}^3 = 160\ \mathrm{g}$
(2) 白酒中水的体积：
$V_{\mathrm{水}} = V - V_{\mathrm{酒精}} = 500\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 300\ \mathrm{cm}^3$
水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} = 1.0\ \mathrm{g/cm}^3 × 300\ \mathrm{cm}^3 = 300\ \mathrm{g}$
(3) 白酒总质量：
$m_{\mathrm{总}} = m_{\mathrm{酒精}} + m_{\mathrm{水}} = 160\ \mathrm{g} + 300\ \mathrm{g} = 460\ \mathrm{g}$
白酒密度：
$\rho_{\mathrm{白酒}} = \frac{m_{\mathrm{总}}}{V} = \frac{460\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3} = 0.92\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】(1)160g；(2)300g；(3)0.92g/cm³
【知识点】密度公式应用、质量计算
【点评】本题结合白酒度数的生活实际，考查密度公式的基础运用，关键是理解体积占比的含义，步骤清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 已知白酒体积$V=500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$，酒精体积占比为40%，则酒精体积：
$V_{\mathrm{酒精}} = V × 40\% = 500\ \mathrm{cm}^3 × 40\% = 200\ \mathrm{cm}^3$
根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，酒精质量：
$m_{\mathrm{酒精}} = \rho_{\mathrm{酒精}} V_{\mathrm{酒精}} = 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 × 200\ \mathrm{cm}^3 = 160\ \mathrm{g}$
(2) 白酒中水的体积：
$V_{\mathrm{水}} = V - V_{\mathrm{酒精}} = 500\ \mathrm{cm}^3 - 200\ \mathrm{cm}^3 = 300\ \mathrm{cm}^3$
水的质量：
$m_{\mathrm{水}} = \rho_{\mathrm{水}} V_{\mathrm{水}} = 1.0\ \mathrm{g/cm}^3 × 300\ \mathrm{cm}^3 = 300\ \mathrm{g}$
(3) 白酒总质量：
$m_{\mathrm{总}} = m_{\mathrm{酒精}} + m_{\mathrm{水}} = 160\ \mathrm{g} + 300\ \mathrm{g} = 460\ \mathrm{g}$
白酒密度：
$\rho_{\mathrm{白酒}} = \frac{m_{\mathrm{总}}}{V} = \frac{460\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{cm}^3} = 0.92\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】(1)160g；(2)300g；(3)0.92g/cm³
【知识点】密度公式应用、质量计算
【点评】本题结合白酒度数的生活实际，考查密度公式的基础运用，关键是理解体积占比的含义，步骤清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
4. 有密度分别为$\rho_A$、$\rho_B$的两种金属($\rho_A＞\rho_B$)，用这两种金属来熔炼合金材料：一是取等体积配制，所得合金的密度为$\rho_1$；二是取等质量配制，所得合金的密度为$\rho_2$。请计算出两种情况下合金材料的密度。(设混合前后总体积保持不变)
答案
两种金属熔炼成合金材料后，其密度等于两种金属的质量之和与总体积的比值。
第一种情况：假设两种金属体积均为$V$，则合金的总体积为$2V$，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，合金材料的总质量$m_1=\rho_A V+\rho_B V$，所得合金的密度$\rho_1=\frac{m_1}{2V}=\frac{\rho_A V+\rho_B V}{2V}=\frac{\rho_A+\rho_B}{2}$；
第二种情况：假设两种金属质量均为$m$，则合金的总质量为$2m$，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，合金材料的总体积$V_1=\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}$，所得合金的密度$\rho_2=\frac{2m}{V_1}=\frac{2m}{\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}}=\frac{2\rho_A\rho_B}{\rho_A+\rho_B}$。
第一种情况：假设两种金属体积均为$V$，则合金的总体积为$2V$，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，合金材料的总质量$m_1=\rho_A V+\rho_B V$，所得合金的密度$\rho_1=\frac{m_1}{2V}=\frac{\rho_A V+\rho_B V}{2V}=\frac{\rho_A+\rho_B}{2}$；
第二种情况：假设两种金属质量均为$m$，则合金的总质量为$2m$，根据$\rho=\frac{m}{V}$可得，合金材料的总体积$V_1=\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}$，所得合金的密度$\rho_2=\frac{2m}{V_1}=\frac{2m}{\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}}=\frac{2\rho_A\rho_B}{\rho_A+\rho_B}$。
解析
【分析】要计算合金的密度，需依据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，明确合金密度等于两种金属的总质量与总体积的比值。题目分两种配制情况：①等体积混合，②等质量混合，分别对两种情况设定合适的物理量（体积或质量），求出总质量和总体积后代入公式即可求解。
【解析】
1. 等体积配制（求$\rho_1$）：
设两种金属的体积均为$V$，则合金的总体积$V_{总1}=V+V=2V$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得A金属的质量$m_A=\rho_A V$，B金属的质量$m_B=\rho_B V$，合金总质量$m_{总1}=m_A+m_B=\rho_A V+\rho_B V$。
因此合金密度$\rho_1=\frac{m_{总1}}{V_{总1}}=\frac{\rho_A V+\rho_B V}{2V}=\frac{\rho_A+\rho_B}{2}$。
2. 等质量配制（求$\rho_2$）：
设两种金属的质量均为$m$，则合金的总质量$m_{总2}=m+m=2m$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得A金属的体积$V_A=\frac{m}{\rho_A}$，B金属的体积$V_B=\frac{m}{\rho_B}$，合金总体积$V_{总2}=V_A+V_B=\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}$。
因此合金密度$\rho_2=\frac{m_{总2}}{V_{总2}}=\frac{2m}{\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}}=\frac{2\rho_A\rho_B}{\rho_A+\rho_B}$。
【答案】$\rho_1=\frac{\rho_A+\rho_B}{2}$，$\rho_2=\frac{2\rho_A\rho_B}{\rho_A+\rho_B}$
【知识点】密度公式的应用、合金密度计算
【点评】本题考查密度公式的灵活运用，核心是明确合金密度为总质量与总体积的比值，分等体积、等质量两种情况分别处理，需注意混合前后总体积不变的条件，是密度章节的典型基础题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 等体积配制（求$\rho_1$）：
设两种金属的体积均为$V$，则合金的总体积$V_{总1}=V+V=2V$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得A金属的质量$m_A=\rho_A V$，B金属的质量$m_B=\rho_B V$，合金总质量$m_{总1}=m_A+m_B=\rho_A V+\rho_B V$。
因此合金密度$\rho_1=\frac{m_{总1}}{V_{总1}}=\frac{\rho_A V+\rho_B V}{2V}=\frac{\rho_A+\rho_B}{2}$。
2. 等质量配制（求$\rho_2$）：
设两种金属的质量均为$m$，则合金的总质量$m_{总2}=m+m=2m$。
根据$\rho=\frac{m}{V}$，可得A金属的体积$V_A=\frac{m}{\rho_A}$，B金属的体积$V_B=\frac{m}{\rho_B}$，合金总体积$V_{总2}=V_A+V_B=\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}$。
因此合金密度$\rho_2=\frac{m_{总2}}{V_{总2}}=\frac{2m}{\frac{m}{\rho_A}+\frac{m}{\rho_B}}=\frac{2\rho_A\rho_B}{\rho_A+\rho_B}$。
【答案】$\rho_1=\frac{\rho_A+\rho_B}{2}$，$\rho_2=\frac{2\rho_A\rho_B}{\rho_A+\rho_B}$
【知识点】密度公式的应用、合金密度计算
【点评】本题考查密度公式的灵活运用，核心是明确合金密度为总质量与总体积的比值，分等体积、等质量两种情况分别处理，需注意混合前后总体积不变的条件，是密度章节的典型基础题。
【难度系数】0.6
